9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.2.1 函数的概念课件 新人教A版必修1_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
集合与函数概念

第一章
1.2 函数及其表示

第一章
1.2.1 函数的概念

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

●课标展示
1 .通过丰富的实例,进一步体会函数是描述变量之间关 系的重要数学模型;正确理解函数的概念,通过用集合与对应 的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的应用. 2 .通过实例领悟构成函数的三个要素,掌握一次函数、

二次函数、反比例函数的定义域、值域;会求一些简单函数的
定义域、值域. 3 .了解区间的概念,体会用区间表示数集的意义和作

用.

●温故知新 旧知再现 1 .在初中,同学们已经学习了变量与函数的概念:在一 个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地

就确定唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变
量,y是因变量.

2.在初中我们还学习了几个特殊的函数;一次函数

y=kx+b(k≠0) ,二次函数__________________ y=ax2+bx+c(a≠0) ,正比例函 ________________
k y=x(k≠0) y = kx ( k ≠0) 数_______________和反比例函数_______________,并且知道

了它们的图象和性质.(在练习本上画出它们的图象,写出它的 性质)

新知导学

1.函数的概念
设A,B是非空的_____ 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f, 任意一个 数 x ,在集合 B 中都有 __________ 唯一确定 使对于集合 A 中的 __________

的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个
自变量 , x 的取值范围 A 函数,记作 y =f(x) ,x∈A.其中 x 叫做 ________ 定义域 ; 与 x 的 值 相 对 应 的 y 值 叫 做 叫 做 函 数 y = f(x) 的 ________ 函数值 ,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数y=f(x)的_____ 值域 , ________ 子集 . 则值域是集合B的_____

[ 名师点拨 ]

(1)“A , B 是非空的数集 ” ,一方面强调了

A , B只能是数集,即 A , B 中的元素只能是实数;另一方面指 出了定义域、值域都不能是空集,也就是说定义域为空集的函 数是不存在的.

(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,
即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中 都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应,这三个性质只要

有一个不满足便不能构成函数.

2.常见函数的定义域和值域 函数 正比例 函数 函数关系式 y=kx(k≠0) 定义域 R 值域 R {y|y≠0} R a>0 R
? ? ?y|y≥ ? ?
? ? ?y|y≤ ? ?

k 反比例 x≠0 } {x|_____ y=x(k≠0) 函数 一次 R y=kx+b(k≠0) 函数

二次 函数

y=ax2+bx+ c(a≠0)

4ac-b2 ? ? ? 4a ? ?
4ac-b2 ? ? ? 4a ? ?

a<0

[归纳总结]

有时给出的函数没有明确说明其定义域,这

时,它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范 1 围.例如函数 y= x的定义域为{x|x≥0},函数 y= 的定义 x+1 域为{x|x≠-1}.

3.区间与无穷大

(1)区间的概念.
设a,b是两个实数,且a<b.
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 名称 闭区间 开区间 半闭半 开区间 半开半 闭区间 符号 数轴表示

[a,b] (a,b) [a,b) (a,b]

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

[ 知识拓展 ]

并不是所有的数集都能用区间来表示.例

如,数集 M = {1,2,3,4}就不能用区间表示.由此可见,区间仍 是集合,是一类特殊数集的另一种符号语言.只有所含元素是 “连续不间断”的实数的集合,才适合用区间表示.

(2)无穷大. “ ∞ ”读作“无穷大”,“- ∞ ”读作“负无穷大”, “+∞”读作“正无穷大”,满足 x≥a,x>a ,x≤a, x<a的实

数x的集合可用区间表示,如下表.
定义 符号 R (-∞, +∞) {x|x≥a} [a,+∞) {x|x>a} (a,+∞) {x|x≤a} {x|x<a}

(-∞,a] (-∞,a)

4.函数相等 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中 定义域 和 __________ 对应关系 决定的.如果两个函数的定 值域是由 _________ 对应关系 完全一致,我们就称这两个函数相 义域相同,并且__________

等.

●自我检测 1.函数y=5-2x的定义域是( )

A.R
C.N [答案] A

B.Q
D.?

2.函数y=2x2-x的值域是________.
[答案]
? 1? ? ? ?y|y≥- ? 8? ? ? ?

3.集合{x|x≥1}用区间表示为( A.(-∞,1) C.(1,+∞) [答案] D

)

B.(-∞,1] D.[1,+∞)

4.区间[5,8)表示的集合是(
A.{x|x≤5,或x>8} C.{x|5≤x<8}

)

B.{x|5<x≤8} D.{x|5≤x≤8}

[答案] C

5.下列各组函数表示相等函数的个数是( x 2 -3 ①y= 与 y=x+3(x≠3) x-3 ②y= x2-1 与 y=x-1 ③y=3x+2,x∈Z 与 y=3x-2,x∈Z A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

)

[答案] A [解析] ①对应法则不同,就不是同一函数②对应法则不 同,不是同一函数③对应法则不同,故不是同一函数,选A.

互动课堂

●典例探究

1 函数概念的理解
1

(1) 下 列 对 应 或 关 系 式 中 是 A 到 B 的 函 数 的 是

(

)
A.A∈R,B∈R,x2+y2=1 B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:

1 C.A=R,B=R,f:x→y= x-2 D.A=Z,B=Z,f:x→y= 2x-1 (2)(2013~2014· 长沙高一检测)设 M={x|-2≤x≤2},N= {y|0≤y≤2},函数 y=f(x)的定义域为 M,值域为 N,对于下列 四个图象,不可作为函数 y=f(x)的图象的是( )

[分析] 解答本题要充分利用函数的定义:对于集合A中的 元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应.

[解析]

(1)对于 A 项,x2+y2=1 可化为 y=± 1-x2,显

然对任 x∈A,y 值不唯一,故不符合.对于 B 项,符合函数的 定义. 对于 C 项, 2∈A, 但在集合 B 中找不到与之相对应的数, 故不符合.对于 D 项,-1∈A,但在集合 B 中找不到与之相对 应的数,故不符合. (2)由函数定义可知,任意作一条直线 x=a,则与函数的图 象至多有一个交点,结合选项可知 C 中图象不表示 y 是 x 的函 数.

[答案] (1)B (2)C

规律总结: 判断一个对应关系是否是函数关系的方 法 从以下三个方面判断:(1)A,B必须都是非空数集;(2)A中

任一实数在B中必须有实数和它对应;(3)A中任一实数在B中和
它对应的实数是唯一的.注意:A中元素无剩余,B中元素允许 有剩余.

(1)下列对应是否为 A 到 B 的函数: ①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; ②A=Z,B=Z,f:x→y=x2; ③A=Z,B=Z,f:x→y= x; ④A=[-1,1],B={0},f:x→y=0.

(2)(2013~2014甘肃兰州高一月考试题 )如图所示,能够作

为函数y=f(x)的图象的有________.

[答案] (1)①③不是

②④是

(2)①⑤

[解析] B的函数;

(1)①A中的元素0在B中没有对应元素,故不是A到

②对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y= x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应,故是集合

A到集合B的函数;
③A中元素负整数没有平方根,故在B中没有对应的元素, 故此对应不是A到B的函数;

④对于集合A中一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在 集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的 函数. (2) 根据函数的定义,一个函数图象与垂直于 x 轴的直线最

多有一个交点,这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.

求函数的定义域 求下列函数的定义域:

1 (1)y=2x+3;(2)f(x)= ; x+1 x+1 (3)y= x-1+ 1-x;(4)y= 2 . x -1
[分析] 求函数的定义域,即是求使函数有意义的那些自

变量x的取值集合.

[解析] (1)函数 y=2x+3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义,即分式有意义,则 x+1≠0,x≠-1. 故函数的定义域为{x|x≠-1}.
? ?x-1≥0 (3)要使函数有意义,则? ? ?1-x≥0 ? ?x≥1 ,即? ? ?x≤1

,所以 x=1,

从而函数的定义域为{x|x=1}. x+1 (4)因为当 x -1≠0,即 x≠± 1 时, 2 有意义,所以原函 x -1
2

数的定义域是{x|x≠± 1,x∈R}.

[易错警示]

求函数的定义域时, 不能对解析式变形. 题(4)

x+1 1 易出现这样的错误:y= 2 = ,使得函数有意义的 x 满 x -1 x-1 足 x-1≠0,即 x≠1,故函数的定义域为{x|x≠1,x∈R}.

规律总结:求函数的定义域: (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意 义的准则一般有:①分式的分母不为 0 ;②偶次根式的被开方 数非负;③y=x0要求x≠0.

(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商
的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集 合. (3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表 示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.

求下列函数的定义域: 1 (1)f(x)= ; x +2 (2)f(x)= 3x+2; 1 (3)f(x)= x+1+ . 3-x

[解析] (1)要使函数有意义,须使 x+2≠0,∴x≠-2,∴ 定义域为{x|x≠-2}; 2 (2)要使函数有意义,须使 3x+2≥0,∴x≥-3,∴定义域 2 为{x|x≥-3}.
? ?x+1≥0 (3)要使函数有意义,须使? ? ?3-x≠0

,∴x≥-1 且 x≠3,

∴定义域为:{x|x≥-1 且 x≠3}.

区间

试用区间表示下列实数集:
(1){x|5≤x<6}; (2){x|x≥9}; (3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}; (4){x|x<-9}∪{x|9<x≤20}. [分析] 注意区间的开与闭,能取端点值时为闭,不能取 端点值时为开.

[解析] (1){x|5≤x<6}=[5,6). (2){x|x≥9}=[9,+∞). (3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}={x|-5≤x≤-1}=[-5,-1].

(4){x|x<-9}∪{x|9<x≤20}=(-∞,-9)∪(9,20].

规律总结:规律总结:对于区间的理解应注意: (1)区间的左端点必须小于右端点,有时我们将b-a称之为 区间长度,对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示, 如{a}. (2)注意开区间(a,b)与点(a,b)在具体情景中的区别. 若表

示点(a,b)的集合,应为{(a,b)}.

(3)用数轴来表示区间时,要特别注意实心点与空心圈的区 别. (4) 对于一个不等式的解集,我们既可以用集合形式来表 示,也可以用区间形式来表示.

(5)区间是实数集的另一种表示方法,要注意区间表示实数
集的几条原则,数集是连续的,左小,右大,开或闭不能混 淆.

(1)已知区间[-2a,3a+5],则a的取值范围为________.

(2)用区间表示数集{x|x≤2或x>3}为________.
(3) 已知全集 U = R , A = {x|1 < x≤5} ,则 ? UA 用区间表示为 ________.

[答案] (1)(-1,+∞) (2)(-∞,-2]∪(3,+∞)
(3)(-∞,-1]∪(5,+∞)

[解析]

(1)由题意可知3a+5>-2a,解之得a>-1.故a的

取值范围是(-1,+∞). (2){x|x≤2或x>3}=(-∞,-2]∪(3,+∞) (3)?UA={x|x≤1或x>5}=(-∞,-1]∪(5,+∞).

相等函数的判断 下列各对函数中,是相等函数的序号是_____. ①f(x)=x+1与g(x)=x+x0

②f(x)= ?2x+1?2与 g(x)=|2x+1| ③f(n)=2n+1(n∈Z)与 g(n)=2n-1(n∈Z) ④f(x)=3x+2 与 g(t)=3t+2

[分析]
求解.

解决此类问题,要充分理解相等函数的概念,准

确求出函数的定义域,认准对应关系,按判断相等函数的步骤

[解析] ①中 f(x)=x+1,x∈R,而 y=x+x0 中 x≠0,它 们的定义域不相同,所以不是相等函数. ②中两个函数的定义域都是 R,并且 f(x)= ?2x+1?2=|2x +1|,所以它们是相等函数. ③中 f(n)=2n+1(n∈Z)与 g(n)=2n-1(n∈Z)的定义域都是 Z,值域也相同(都是奇数集),但对应法则不同,所以不是相等 函数.

④中f(x)=3x+2与g(t)=3t+2的定义域都是R,尽管它们表 示自变量的字母不同,但是,对应法则都是“乘3加2”,是相 同的对应法则,所以是相等函数.

[答案] ②④.

规律总结: 从函数的概念可知,函数有定义域、值

域、对应法则三要素,其中,定义域是前提,对应法则是核
心,值域是由定义域和对应法则确定的.因此, (1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同,它们就不是 同一个函数.只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等 函数.

(2) 对应法则 f 是函数关系的本质特征,要深刻理解,准确 把握,它的核心是“法则”.通俗地说,就是给出了一个自变 量后的一种“算法”,至于这个自变量是用x还是用t或者别的 符号表示,那不是“法则”的本质,因此,对应法则与自变量

所用的符号无关.

(3)从本题我们也得到这样的启示:在对函数关系变形或化 简时,一定要注意使函数的定义域保持不变,否则,就变成了 不同的函数.这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一 个重要组成部分.例如f(x)=x2-x (x≥1),f(3)=32-3=6,但

f(-1)是无意义的,不能得出f(-1)=(-1)2-(-1)=2,因为只
有当x取定义域 [1 ,+∞ )内的值时,才能按这个法则 x2 -x 进行 计算.

下列各组式子是否表示相等函数?为什么? (1)f(x)=|x|,φ(t)= t2; (2)y= x2,y=( x)2; (3)y= x+1· x-1,y= x2-1; (4)y= 1+x· 1-x,y= 1-x2.

[解析] (1)f(x)=|x|,φ(t)=|t|,定义域和对应法则都相同, 故是相等函数. (2)y= x2定义域为 R;y=( x)2 定义域为[0,+∞),故不 是相等函数. (3)y= x+1· x-1定义域为[1,+∞),y= x2-1定义域 为(-∞,-1]∪[1,+∞),故不是相等函数. (4)y= 1+x· 1-x= 1-x2,故两函数对应法则相同,又 定义域都是[-1,1],故是相等函数.

5 求函数的值域
5

求下列函数的值域.

(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};

(2)y= x-1; (3)y=x2-4x+6,x∈[1,5); 5x-1 (4)y= ; 4x+2 (5)y=x+ x.

[ 分析 ]

(1) 在函数图象中,函数值 f(x0) 的几何意义是什

么?如何利用函数图象求函数的值域? 5x-1 (2)函数 y= 的分子和分母都含有自变量 x,是否可以 4x+2 将其变形为只有分母含有自变量 x 的形式? (3)对于一些无理函数,可通过换元转化为有理函数,然后 利用有理函数求值域.

[解析] (1)∵x∈{1,2,3,4,5}, ∴y∈{3,5,7,9,11}. ∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)利用我们熟知的 x的取值范围求. ∵ x≥0, ∴ x-1≥-1. ∴函数 y= x-1 的值域为[-1,+∞).

(3)配方:y=x2-4x+6=(x-2)2+2, ∵x∈[1,5),由图所示.

∴所求函数的值域为[2,11).

(4)借助反比例函数的特征求. 5 10 5 14 5x-1 4?4x+2?-1- 4 4?4x+2?- 4 5 7 y= = = =4- . 4x+2 4x+2 4x+2 2?4x+2? 7 ∵ ≠0, 2?4x+2? 5 ∴y≠4.
? 5x-1 5? ∴函数 y= 的值域为?yy∈R,且y≠4?. 4x+2 ? ?

(5)设 u= x(x≥0),则 x=u (u≥0),y=u (u≥0). ∵由
? 1?2 1 u≥0,可知?u+2? ≥4 ? ?

2

2

? 1?2 1 +u=?u+2? -4 ? ?

∴y≥0. ∴函数 y=x+ x的值域为[0,+∞).

规律总结:求函数值域的原则及常用方法

(1)原则:①先确定相应的定义域;②再根据函数的具体形
式及运算确定其值域. (2)常用方法:

①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察
法得到.

②配方法:是求“二次函数”类值域的基本方法. ③换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的 函数, 从而求得原函数的值域. 对于 f(x)=ax+b+ cx+d(其中 a,b,c,d 为常数,且 ac≠0)型的函数常用换元法. ④分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分 式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.

5

1 (1)(2013~2014· 日照高一检测)函数 f(x)= 2(x∈R)的值 1+x 域为( ) B.(0,1] D.[0,1]

A.(0,1) C.[0,1)

(2)求下列函数的值域. ①y=3-4x,x∈(-1,3]. ②y=-x2-4x+6,x∈[-3,1). 3x-1 ③y= . x+1

[答案] (1)B (2)①[-9,7)
[解析] (1)因为 x∈R,

②(1,10] ③{y|y≠3}

1 所以 1+x ∈[1,+∞),所以 f(x)= ∈(0,1]. 1+x2
2

(2)①作出函数y=3-4x,x∈(-1,3]的图象(如图所示).

由图象可知函数y=3-4x,x∈(-1,3]的值域是[-9,7).

②y=-x2-4x+6=-(x+2)2+10.
作出函数y=-x2-4x+6,x∈[-3,1)的图象(如图所示).

由图观察得函数的值域为{y|1<y≤10}.

3?x+1?-4 4 ③y= =3- , x +1 x+1 4 显然 可取 0 以外的一切实数, x+1 即所求函数的值域为{y|y≠3}.

●误区警示 易错点一 制 [易错点辨析 ] 求与实际问题有关的函数的定义域时,除 解决实际问题时,忽略实际问题对自变量的限

考虑使函数的解析式有意义外,还要考虑使实际问题有意义,
不要忽略实际问题对自变量的限制.

6

如图所示,半径为R的圆的内接等腰梯形

ABCD,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆上,写 出这个梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式,并求出其定义 域.

[错解] 设腰长 AD=BC=x,作 DE⊥AB 于点 E, 连接 BD,则∠ADB=90° , 在 Rt△ADB 中,由射影定理得 AD2=AE· AB, x2 所以 AE=2R, x2 所以 CD=AB-2AE=2R- R , 所以
? x2 ? x2 y=2R+2x+?2R- R ?=- R +2x+4R(x∈R). ? ?

[错因分析]

错解中忽略了自变量的取值应使实际问题有

意义,认为定义域为R,而导致错误.

[正解] 设腰长 AD=BC=x, 作 DE⊥AB 于点 E, 连接 BD, 因为 AB 是⊙O 的直径,C,D 在圆上,所以∠ADB=90° . 因为△EDA∽△DBA,所以 AD2=AE· AB, x2 所以 AE=2R, x2 所以 CD=AB-2AE=2R- R , 所以周长 y 与腰长 x 之间的函数关系式为 y=2R+2x+
? x2 ? x2 ?2R- ?=- +2x+4R. R? R ?

因为四边形 ABCD 的各边长都为正数, 所以 AD>0,AE>0,CD>0, ? x >0 , ? 2 ? x >0, 所以?2R ? x2 ?2R- >0, R ?

解得 0<x< 2R,

所以所求函数的定义域为{x|0<x< 2R}.

已知矩形的周长为 1 ,它的面积 S 与矩形的一条边长 x 之间 的函数关系式为________,其定义域为________.

1 [答案] S=2x-x2

? 1? ?0, ? 2? ?

[解析]

1 由题意得,矩形的另外一条边长为 2-x,于是 S

?1 ? 1 ? ? = 2-x x=2x-x2, ? ?

1 ? ? -x>0, 1 2 ? 其中 x 需满足 所以 0<x<2, 所以 S 与 x 之间 ? ?x>0,
? 1? 的函数关系中的定义域为?0,2?. ? ?

易错点二 围

用换元法求值域时,易忽略中间变量的取值范 在用换元法求值域时,必须确定换元之后

[易错点辨析 ]

新元的范围,否则会产生错解.求新元的范围,要根据已知函

数的定义域.

7

求函数 y=x+ 2x+1的值域.

t2-1 [错解] 令 2x+1=t,则 x= 2 . t 2 -1 1 2 1 所以 y= 2 +t=2(t +2t-1)=2(t+1)2-1. 所以值域为[-1,+∞).

[错因分析]

产生错误的原因是在换元过程中忽略了所设

辅助参数的取值范围.若设 t= 2x+1,则应有 t≥0.

[正解] 令 t= 2x+1, t2-1 则 t≥0,-x= 2 , t2-1 1 故 y= 2 +t=2(t+1)2-1,t∈[0,+∞). 1 画出 t∈[0, +∞)时函数 y=2(t+1)2-1 的图象, 如图所示,

1 1 由图象知 t=0 时,y 最小=-2,即 y≥-2,
? 1 ? 所以值域为?-2,+∞?. ? ?

求函数 y=x- x+1的值域.

[解析] 要使函数式有意义,需 x+1≥0,即 x≥-1,故函 数的定义域为{x|x≥-1}.设 t= x+1,则 x=t2-1(t≥0),于 是 y =t
2

? 1?2 5 -1-t=?t-2? -4,又 ? ?

5 t≥0,故 y≥-4,所以函数的值

? 5? 域为?y|y≥-4?. ? ?

随堂测评

1.函数 y= 1-x+ x的定义域为( A.{x|x≤1} C.{x|x≥1,或 x≤0}
[答案] D

)

B.{x|x≥0} D.{x|0≤x≤1}

[解析]

? ?1-x≥0, 要使函数有意义,需? ? ?x≥0,

解得 0≤x≤1.

2.下列式子中,y 不是 x 的函数的是( A.x=y2+1 C.x-2y=6 B.y=2x2+1 D.x= y

)

[答案] A
[解析] 选项B、C、D都满足一个x对应唯一的y,所以y是 x 的函数.对于选项 A ,存在一个 x 对应两个 y 的情况,如 x = 5 时,y=±2.故y不是x的函数.

2 3.已知函数 f(x)= ,当 m≠0 时,f(m+1)=________; x-1 当 m≠1 时,f(m)+1=________.

[答案]

2 m+1 m m-1
2 2 2 f(m + 1) = = m , f(m) + 1 = +1= m+1-1 m-1

[ 解析 ] m+1 . m-1

4.集合{x|-1≤x<5,且x≠3}用区间表示为________. [答案] [-1,3)∪(3,5)

5.判断下列各组的两个函数是否相等,并说明理由. (1)y=x-1,x∈R 与 y=x-1,x∈N; (2)y= x2与 y= x· x; 1 1 (3)y=1+x 与 y=1+n.

[解析] (1)前者的定义域是 R,后者的定义域是 N,由于 它们的定义域不同,故两个函数不相等. (2)前者的定义域是 R,后者的定义域是{x|x≥0},它们的 定义域不同,故两个函数不相等. (3)两个函数的定义域相同(均为非零实数),对应关系相同 (都是自变量取倒数后加 1),故两个函数相等.



更多相关文章:
【成才之路】2014-2015学年高中数学1.2.2函数的表示法....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示方法课件新人教A版必修1 - 成才之路 数学 人教A版 必修1 路漫漫其修远兮 吾将...
...1.2.1函数的概念课件 新人教A版必修1_图文.ppt
【成才之路】2016高中数学 1.2.1函数的概念课件 新人教A版必修1_数学_高中...【成才之路】2014-2015学... 暂无评价 81页 2下载券 2016高中数学 1.2.1...
【成才之路】2014-2015学年高中数学1章 集合与函数....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第1章 集合与函数的概念章末归纳总结课件 新人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 ...
【成才之路】高中数学 1.2.1 函数的概念课后强化作业 ....doc
【成才之路】高中数学 1.2.1 函数的概念课后强化作业 新人教A版必修1 【成才之路】2014-2015 学年高中数学 1.2.1 函数的概念课后强化 作业 新人教 A 版...
【成才之路】2014-2015学年高中数学2章 基本初等函....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学2章 基本初等函数Ⅰ章末归纳总结课件 新人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 ...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)课件:1.2.1 几个常用函数的导数( 2014高考) - 成才之路 数学 人教A版 选修2-2 路漫漫其修远兮...
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.2 系统抽样课....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.2 系统抽样课件 新人教A版必修3_高一数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 必修3 路漫漫其修远...
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.2 对数函数及....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数及其性质课件 新人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数...
...1课时指数函数及其性质课件 新人教A版必修1_图文.ppt
【成才之路】高中数学 2.1.2第1课时指数函数及其性质课件 新人教A版必修1 - 成才之路 数学 人教A版 必修1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 基本...
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3 幂函数课件 新....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3 幂函数课件 新人教A版必修1_高一数学...函数(Ⅰ) 1.1.1 集合的概念 第二章 2.3 幂函数 1.1.1 集合的概念 1...
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.21课时 双曲....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.21课时 双曲线及其标准方程课件 新人教A版选修1-1._中职中专_职业教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学...
【成才之路】2014-2015数学(人教A版)必修1课件:2.2.2 ....ppt
【成才之路】2014-2015数学(人教A版)必修1课件:2.2.2 第1课时 对数函数及其...1.1.1 集合的概念 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 成才之路 高中新课程 ...
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1.1 方程的根与....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 必修1 ...
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.2 函数的表示....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.2 函数的表示法课件 北师大版必修1 - 成才之路 数学 北师大版 必修1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第章 ...
【成才之路】14-2015学年高中数学 2.1.2 指数函数及其....ppt
【成才之路】14-2015学年高中数学 2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 指数函数性质的应用课件 新人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数...
【成才之路】2014-2015数学(人教A版)必修1课件:2.1.1 ....ppt
【成才之路】2014-2015数学(人教A版)必修1课件:2.1.1 第1课时 根式_数学_...1.1.1 集合的概念 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 成才之路 高中新课程 ...
【成才之路】2014-2015学年高中数学2.2.1用样本频率分....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学2.2.1用样本频率分布估计总体分布课件新人教A版必修3 - 成才之路 数学 人教A版 必修3 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索...
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.1 直线的点斜....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.1 直线的点斜式方程课件 新人教A版必修2 - 成才之路 数学 人教A版 必修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第...
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第3课时 函数....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第3课时 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修1-1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修三同....ppt
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修三同步课件1.1.2第3课时循环结构、程序框图的画法 - 成才之路 数学 人教A版 必修3 路漫漫其修远兮 吾...

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图