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安徽省合肥一中2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016 学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 sinα= ,并且 α 是第二象限的角,那么 tanα 的值等于( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
2.某交高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任 意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法

3.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最小值为( )

A.3 B.1 C.﹣5 D.﹣6 4.为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动,某学校举办了一次以班级为单位的广播操比 赛,9 位评委给高三.1 班打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分 后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记 分员计算无误,则数字 x 应该是( )

A.2 B.3 C.4 D.5 5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( )

A.105 B.16 C.15 D.1 6.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率为( ) A. B. C. D.
第 1 页(共 19 页)

7.为了得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象,可以将函数 y=cos2x 的图象( )

A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度

C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
8.在等比数列{an}中,a1<0,若对正整数 n 都有 an<an+1,那么公比 q 的取值范围是( ) A.q>1 B.0<q<1 C.q<0 D.q<1

9.函数 y=

的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

10.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,点 P 为矩形 ABCD 内一点,则使得 ? ≥1 的概 率为( )
A. B. C. D.
11.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若﹣3,S5,S10 成等差数列,则 S15﹣S10 的最 小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.12 12.设 2cosx﹣2x+π+4=0,y+siny?cosy﹣1=0,则 sin(x﹣2y)的值为( )
A.1 B. C. D.

二、填空题 13.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2= .

14.若 x,y>0,且

,则 x+3y 的最小值为 .

15.已知非零向量 , 满足| |=1, 与 ﹣ 的夹角为 120°,则| |的取值范围是 .

16.已知 f(x)=

,x∈R,若对任意 θ∈(0, ],都有 f(msinθ)+f(1﹣m)

>0 成立,则实数 m 的取值范围是 .

三、解答题(共 70 分)

第 2 页(共 19 页)

17.设函数 f(x)= ? ,其中向量 =(m,cos2x), =(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f

(x)的图象经过点

(Ⅰ)求实数 m 的值;

(Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的取值集合.

18.某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中 a 的值;

(2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分;

(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)

之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)

x:y

1:1

2:1

3:4

4:5

19.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA)=c. (Ⅰ)求 C;
(Ⅱ)若△ABC 的周长为 5+ ,面积为 ,求 c.
20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an﹣2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设函数 f(x)=( )x,数列{bn}满足条件 b1=2,f(bn+1)=

,(n∈

N*),若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
21.如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分 成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0),ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参 观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明.

第 3 页(共 19 页)

22.已知 f(x)=|x2﹣1|+x2+kx. (Ⅰ)若 k=2,求方程 f(x)=0 的解; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个解 x1,x2,求 k 的取值范围,并证明

第 4 页(共 19 页)

2015-2016 学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 sinα= ,并且 α 是第二象限的角,那么 tanα 的值等于( )

A.﹣ B.﹣ C. D.
【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】由角的正弦值和角所在的象限,求出角的余弦值,然后,正弦值除以余弦值得正切 值.
【解答】解:∵sinα= 且 α 是第二象限的角,









故选 A

2.某交高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任 意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是( ) A.简单随机抽样法 B.抽签法 C.随机数表法 D.分层抽样法 【考点】分层抽样方法. 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样 【解答】解:总体由男生和女生组成,比例为 500:400=5:4,所抽取的比例也是 5:4. 故选 D

3.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最小值为( )

A.3 B.1 C.﹣5 D.﹣6 【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数 得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

第 5 页(共 19 页)

化目标函数 z=x+2y 为

,由图可知当直线

小值为﹣1+2×(﹣2)=﹣5. 故选:C.

过 A(﹣1,﹣2)时 z 有最

4.为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动,某学校举办了一次以班级为单位的广播操比 赛,9 位评委给高三.1 班打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分 后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记 分员计算无误,则数字 x 应该是( )

A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】茎叶图. 【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分 94 和一个最低分 87,余下 7 个数字的平均 数是 91,根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式,得到关于 x 的方程,解方程即可. 【解答】解:∵由题意知记分员在去掉一个最高分 94 和一个最低分 87 后, 余下的 7 个数字的平均数是 91,
=91,
∴635+x=91×7=637, ∴x=2, 故选 A.
5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( )

第 6 页(共 19 页)

A.105 B.16 C.15 D.1 【考点】循环结构. 【分析】本循环结构是当型循环结构,它所表示的算式为 s=1×3×5×…×(2i﹣1),由此 能够求出结果. 【解答】解:如图所示的循环结构是当型循环结构, 它所表示的算式为 s=1×3×5×…×(2i﹣1) ∴输入 n 的值为 6 时,输出 s 的值 s=1×3×5=15. 故选 C.

6.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率为( )

A. B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,基本事件总

数 n= =6,取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数 m=

=4,由此能

求出取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率. 【解答】解:4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,

基本事件总数 n= =6,

取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数 m=
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=4,

∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 = . 故选:C.
7.为了得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象,可以将函数 y=cos2x 的图象( )
A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先根据诱导公式进行化简,再由左加右减上加下减的原则可确定函数 y=sin(2x﹣
)到 y=cos2x 的路线,确定选项.
【解答】解:∵y=sin(2x﹣ )=cos[ ﹣(2x﹣ )]=cos( ﹣2x)=cos(2x﹣ )
= cos[2(x﹣ )],
∴将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位长度. 故选 B.
8.在等比数列{an}中,a1<0,若对正整数 n 都有 an<an+1,那么公比 q 的取值范围是( ) A.q>1 B.0<q<1 C.q<0 D.q<1 【考点】等比数列的性质. 【分析】根据 an<an+1,判断出 an<anq 即 an(1﹣q)<0,且 q>0.进而根据 a1<0,q>0 推知则 an<0,1﹣q>0,最后可得 q 的范围. 【解答】解:在等比数列{an}中,a1<0,若对正整数 n 都有 an<an+1,则 an<anq 即 an(1﹣q)<0 若 q<0,则数列{an}为正负交错数列,上式显然不成立; 若 q>0,则 an<0,故 1﹣q>0,因此 0<q<1

9.函数 y=

的图象大致为( )

第 8 页(共 19 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】余弦函数的图象;奇偶函数图象的对称性.

【分析】由于函数 y=

为奇函数,其图象关于原点对称,可排除 A,利用极限思

想(如 x→0+,y→+∞)可排除 B,C,从而得到答案 D.

【解答】解:令 y=f(x)=



∵f(﹣x)=

=﹣

=﹣f(x),

∴函数 y=

为奇函数,

∴其图象关于原点对称,可排除 A; 又当 x→0+,y→+∞,故可排除 B; 当 x→+∞,y→0,故可排除 C; 而 D 均满足以上分析. 故选 D.

10.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,点 P 为矩形 ABCD 内一点,则使得 ? ≥1 的概 率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型;平面向量数量积的运算. 【分析】将矩形放在坐标系中,设 P(x,y)利用向量的数量积公式,作出对应的区域,求 出对应的面积即可得到结论. 【解答】解:将矩形放在坐标系中,设 P(x,y), 则 A(0,0),C(2,1), 则 ? ≥1 等价为 2x+y≥1, 作出不等式对应的区域,为五边形 DCBE,
当 y=0 时,x= ,即 E( ,0),

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则△ADE 的面积 S=

=,

则五边形 DCBE 的面积 S=2﹣ = ,

则 ? ≥1 的概率 P= = , 故选:D.

11.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若﹣3,S5,S10 成等差数列,则 S15﹣S10 的最 小值为( )
A.8 B.9 C.10 D.12
【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】由题意可得 S10﹣2S5=3,结合等比数列的性质得到(S10﹣S5)2=S5(S15﹣S10), 把 S15﹣S10 转化为含有 S5 的代数式,然后利用基本不等式求得答案. 【解答】解:由题意得 2S5=﹣3+S10,∴S10﹣2S5=3. 由数列{an}为等比数列可知,S5,S10﹣S5,S15﹣S10 成等比数列, ∴(S10﹣S5)2=S5(S15﹣S10),

即 S15﹣S10=

= +S5+6≥2

+6=12,

当且仅当 S5=3 时上式“=”成立. 即有 S15﹣S10 的最小值为 12. 故选 D.

12.设 2cosx﹣2x+π+4=0,y+siny?cosy﹣1=0,则 sin(x﹣2y)的值为( ) A.1 B. C. D. 【考点】三角函数的化简求值. 【分析】由 y+sinycosy﹣1=0,得 y+ sin2y﹣1=0,令 2y=x﹣ ,代入方程上述方程整理满 足已知条件.即可得出. 【解答】解:由 y+sinycosy﹣1=0,得 y+ sin2y﹣1=0,

第 10 页(共 19 页)

令 2y=x﹣ ,代入方程上述方程可得: ﹣ + sin 整理得:2cosy﹣2y+π+4=0,满足已知条件. ∴x﹣2y= ,

﹣1=0,

则 sin(2x﹣y)=sin =1. 故选:A.

二、填空题
13.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2= ﹣6 . 【考点】等比数列的性质.
【分析】由公差 d 的值为 2,根据等差数列的通项公式分别表示出 a3 和 a4,由 a1,a3,a4 成等比数列,利用等比数列的性质列出关于首项 a1 的值,再由公差 d 的值,利用等差数列 的通项公式即可求出 a2 的值. 【解答】解:由等差数列{an}的公差为 2,得到 a3=a1+4,a4=a1+6, 又 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1?(a1+6), 解得:a1=﹣8, 则 a2=a1+d=﹣8+2=﹣6. 故答案为:﹣6

14.若 x,y>0,且

,则 x+3y 的最小值为 16 .

【考点】基本不等式. 【分析】利用基本不等式的性质和“乘 1 法”即可得出.

【解答】解:∵x,y>0,且



∴x+3y=

=10+

=y 取等号. 因此 x+3y 的最小值为 16. 故答案为 16.

≥10+6

=16,当且仅当 x+3y=1, 即

15.已知非零向量 , 满足| |=1, 与 ﹣ 的夹角为 120°,则| |的取值范围是 (0,

].

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】设

, ,由已知 与 ﹣ 的夹角为 120°可得∠ABC=60°,由正弦定理

=

得| |= sinC≤ ,从而可求| |的取值范围

【解答】解:设





如图所示:

第 11 页(共 19 页)

则由

又∵ 与 ﹣ 的夹角为 120°, ∴∠ABC=60° 又由| |=| |=1

由正弦定理

=

得| |=

∴| |∈(0, ]

故答案为:



sinC≤

16.已知 f(x)=

,x∈R,若对任意 θ∈(0, ],都有 f(msinθ)+f(1﹣m)

>0 成立,则实数 m 的取值范围是 (﹣∞,1] . 【考点】全称命题. 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性,利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转 化,利用参数分离法进行求解即可.

【解答】解:∵f(x)=

,x∈R,

∴f(﹣x)=

=﹣=

=﹣f(x),

则函数 f(x)为奇函数, 且函数 f(x)在(﹣∞,+∞)是为增函数, 由 f(msinθ)+f(1﹣m)>0, 得 f(msinθ)>﹣f(1﹣m)=f(m﹣1), 则 msinθ>m﹣1, 即(1﹣sinθ)m<1,
当 θ= 时,sinθ=1,此时不等式等价为 0<1 成立,

当 θ∈(0, ),0<sinθ<1,

∴m<



∵0<sinθ<1,∴﹣1<﹣sinθ<0,

第 12 页(共 19 页)

0<1﹣sinθ<1,则
则 m≤1, 故答案为:(﹣∞,1].

>1,

三、解答题(共 70 分) 17.设函数 f(x)= ? ,其中向量 =(m,cos2x), =(1+sin2x,1),x∈R,且函数 y=f

(x)的图象经过点

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的最小值及此时 x 的取值集合. 【考点】平面向量的综合题. 【分析】(Ⅰ)由向量的数量积的坐标表示可得,f(x)=

=m(1+sin2x)

+cos2x=m+msin2x+cos2x,由 f( )=2 可求 m

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)= 由已知 ∴2m=2 即 m=1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得

,结合正弦函数的性质可求 =m(1+sin2x)+cos2x=m+msin2x+cos2x


∴当

=﹣1 时,f(x)的最小值为

此时 2x+ =

即{x|

,k∈Z}

18.某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中 a 的值;

(2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分;

(3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)

之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)

x:y

1:1

2:1

3:4

4:5

第 13 页(共 19 页)

【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 【分析】(1)由频率分布直方图的性质可 10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解方程即可得到 a 的值; (2)由平均数加权公式可得平均数为 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05,计算出 结果即得; (3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数,从总人数中减去这些段内的 人数即可得出数学成绩在[50,90)之外的人数. 【解答】解:(1)依题意得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得 a=0.005;

(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73 (分);

(3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5,

数学成绩在[60,70)的人数为:



数学成绩在[70,80)的人数为:



数学成绩在[80,90)的人数为:



所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100﹣5﹣20﹣40﹣25=10.

19.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA)=c. (Ⅰ)求 C;
(Ⅱ)若△ABC 的周长为 5+ ,面积为 ,求 c.
【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】(Ⅰ)利用正弦定理,三角形内角和定理,三角函数恒等变换的应用化简已知可得
2cosCsinC=sinC,结合 C 的范围可得 sinC≠0,可求 cosC= ,即可得解 C 的值.
(Ⅱ)由三角形面积公式可求 ab,利用余弦定理可得(a+b)2﹣18=c2,结合 a+b+c=5+ , 即可解得 c 的值. 【解答】解:(Ⅰ)∵2cosC(acosB+bcosA)=c, ∴2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
第 14 页(共 19 页)

∴2cosCsin(A+B)=sinC,可得:2cosCsinC=sinC, ∵0<C<π,sinC≠0,
∴cosC= ,可得:C= .

(Ⅱ)由题意可得:S= absinC= ,
∴解得:ab=6, 又∵a2+b2﹣2abcos =c2,可得:(a+b)2﹣3ab=c2,可得:(a+b)2﹣18=c2,
又 a+b+c=5+ , ∴(5+ ﹣c)2﹣18=c2, ∴解得:c= .

20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an﹣2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设函数 f(x)=( )x,数列{bn}满足条件 b1=2,f(bn+1)=

,(n∈

N*),若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(Ⅰ)由当 n=1,a1=2,当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,可 知 an=2an﹣1,数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,数列{an}的通项公式 an=2n;

(Ⅱ)f(bn+1)=

,(n∈N*),代入即可求得 bn+1=bn+3,b1=f(﹣1)=2,数

列{bn}是以 2 为首项,3 为公差的等差数列,cn= =

,利用“错位相减法”即可求得,

数列{cn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解:(Ⅰ)当 n=1,a1=2a1﹣2,即 a1=2, 当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2, an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1, ∴an=2an﹣1,
∴数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an=2×2n﹣1=2n, 数列{an}的通项公式 an=2n;

(Ⅱ∵)f(x)=( )x,f(bn+1)=

,(n∈N*),



=


第 15 页(共 19 页)



=

,即 bn+1=bn+3,

∴bn+1﹣bn=3, b1=f(﹣1)=2, ∴数列{bn}是以 2 为首项,3 为公差的等差数列, ∴bn=3n﹣1,

cn= =



∴Tn= + + +…+

+



Tn= + + +…+

+



两式相减得: Tn=1+ + + +…+ ﹣



=1+ ×





=1+ (1﹣

)﹣



∴Tn=2+3(1﹣

)﹣



=2+3?





∴Tn=5?



21.如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分 成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0),ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参 观线路,则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明.

第 16 页(共 19 页)

【考点】基本不等式在最值问题中的应用;解三角形的实际应用.
【分析】(1)先根据 S△ADE= S△ABC 求得 x 和 AE 的关系,进而根据余弦定理把 x 和 AE
的关系代入求得 x 和 y 的关系. (2)根据均值不等式求得 y 的最小值,求得等号成立时的 x 的值,判断出 DE∥BC,且 DE= .进而可得函数 f(x)的解析式,根据其单调性求得函数的最大值. 【解答】解(1)在△ADE 中,y2=x2+AE2﹣2x?AE?cos60°? y2=x2+AE2﹣x?AE,①
又 S△ADE= S△ABC= = x?AE?sin60°? x?AE=2.②

②代入①得 y2=x2+

﹣2(y>0),

∴y=

(1≤x≤2);

(2)如果 DE 是水管 y=





当且仅当 x2= ,即 x= 时“=”成立,故 DE∥BC,且 DE= .

如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x2+ ,

可知函数在[1, ]上递减,在[ ,2]上递增,

故 f(x)max=f(1)=f(2)=5.∴ymax=



即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长.

22.已知 f(x)=|x2﹣1|+x2+kx. (Ⅰ)若 k=2,求方程 f(x)=0 的解; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个解 x1,x2,求 k 的取值范围,并证明

【考点】函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断. 【分析】(1)当 k=2 时,方程是含有绝对值的方程,对绝对值内的值进行分类讨论去掉绝 对值后解之; (2)先将含有绝对值的函数转化为一元一次函数和二元一次函数的分段函数的形式,再利 用一元一次函数与二元 一次函数的单调性加以解决. 【解答】解:(Ⅰ)解:(1)当 k=2 时,f(x)=|x2﹣1|+x2+kx
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①当 x2﹣1≥0 时,即 x≥1 或 x≤﹣1 时,方程化为 2x2+2x﹣1=0

解得

,因为

,故舍去,所以



②当 x2﹣1<0 时,﹣1<x<1 时,方程化为 2x+1=0

解得

由①②得当 k=2 时,方程 f(x)=0 的解所以 (II)解:不妨设 0<x1<x2<2, 因为





所以 f(x)在(0,1]是单调函数,故 f(x)=0 在(0,1]上至多一个解, 若 1<x1<x2<2,则 x1x2= <0,故不符题意,因此 0<x1≤1<x2<2.

由 f(x1)=0 得

,所以 k≤﹣1;

由 f(x2)=0 得

,所以



故当

时,方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个解.

当 0<x1≤1<x2<2 时,

,2x22+kx2﹣1=0

消去 k 得 2x1x22﹣x1﹣x2=0



,因为 x2<2,所以



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2016 年 10 月 29 日
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