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江苏省南京金陵中学2014-2015学年高一第一学期期中考试数学试题(wordf版,含解析)

金陵中学 2014-2015 学年度第一学期期中考试 高一数学试卷
命题:高一数学备课组 审核:陶兆龙 张松年


1.

意 事



考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
本试卷共 2 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。本试 卷满分 100 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将答卷纸上交。 2. 答题前,请务必将自己的姓名、班级、学号用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填在指定位置。 3. 作答非选择题必须用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答卷纸上的指定位置,在其他位置作答 一律无效。 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分,请将答案填在答卷纸上) 1. 已知集合 M?? {? 1,0,1} , N?? {0,1, 2},则 M N??? 【答案】 {0,1}. 【解析】直接利用交集定义求解. 的终边经过点 P(3,? 4) ,则 cos 的值等于 .

2. 在平面直角坐标系 xOy 中,若角 【答案】. 3 5 x r ?? 3 3?? (? 4)
2 2

.

【解析】 cos???

??

3 5

.

3. 函数 f (x)???

1 ?? x?? 3 的定义域为 x?? 2

.

【答案】 [? 3, 2) (2,???) . ? x?? 2?? 0 【解析】定义域要求??? ? x?? 3? 0 ,解得定义域为 [? 3, 2) (2,???) .

4. 在平面直角坐标系 xOy 中,若幂函数 f (x) 的图像经过点 (2, 【答案】. 1 3

2 ) ,则 f (9) 的值为 2

.

【解析】设 f (x)?? x,由过点 (2,

1 1 1 ?? ?? 2 )得 2?? 2 2,因此 f (x)?? x 2,则 f (9)?? 9 2??? 2

??

1 . 3

5. 设 a?? 0.32 , b?? 20.3 , c?? log0.5 3 ,则 a, b, c 的大小关系为 【答案】 c?? a?? b. 【解析】 0?? a?? 1, b?? 1, c?? 0,因此 c?? a?? b. 3x 的值域为 x?? 2 【答案】 (???,3) (3,???). 6. 函数 f (x)??? 【解析】 f (x)??? 3(x?? 2)?? 6 x?? 2 6 ? 3?? x?? 2

.(用 “<”连结)

.

,因此 f (x)由

6 向右平移 2个单位,向上平移 3个单位得到, x

因此 f (x)值域为 (???,3)

(3,???).

7. 在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y?? 2x? 1 的图像沿着 x 轴的正方向平移 1 个单位长度,再作关于 y 轴 的对称变换,得到函数 f (x) 的图像,则函数 f (x) 的解析式为 f (x)??? 【答案】 2? x. 【解析】向右平移一个单位得 y?? 2( x? 1)? 1?? 2x,再关于 y轴对称得 f (x)?? 2? x . .

8. 计算: 2log3 2? log3 【答案】 4.

32 1?? 13 ?? ? log3 8? ( ) 9 8

.

【解析】原式? 2log3 2? (log3 32? log3 9)?? 3log3 2? 2?? 2log3 2? 5log3 2? 2? 3log3 2?? 2?? 4 .

9. 函数 f (x)??? 【答案】 (???,1].

x2?? 4x?? 3 的单调减区间为

.

【解析】定义域需要 x2?? 4x?? 3? 0,解得 x?? 1或 x?? 3, 令 u?? x2?? 4x?? 3,则 y??? u, y??? u在 u?? 0时递增, u在 (???,1] 上递减, 因此 f (x)在 (???,1] 上递减.

10. 若关于 x 的方程 x2?? (k?? 2)x?? 2k?? 1? 0 的一个根在区间 (0,1) 上,另一个根在区间 (1, 2) 上,则实数 k 的 取值范围为 12 【答案】 ( , ). 23 【解析】令 f (x)?? x2?? (k?? 2)x?? 2k?? 1 ,由图像可得只需 f (0)?? 0, f (1)?? 0, f (2)?? 0, ? 1 ? k??? 2 ?? y .

? 2k?? 1? 0 ???????????????????????? 2 12 即??1? k?? 2? 2k?? 1? 0,解得?? k??,因此实数 k的取值范围为 ( , ). ???????????????????????? 3 23 ? 4? 2(k?? 2)?? 2k?? 1? 0 ? 1 ? k??? ? 4

x O 1 2

11. 已知函数 f (x)?? log2 (x2?? mx?? 2m) 在区间 [2,???) 上是单调增函数,则实数 m 的取值范围是 【答案】 (???,1). 【解析】由题意 u(x)?? x2?? mx?? 2m在 [2,???)上单调递增,且大于 0, u(x)?? x2?? mx?? 2m对称轴 ? m?? 4 即??? ? 4? 2m?? 2m?? 0 m ? 2,且 u(2)?? 0, 2

.

,解得 m?? 1,即 m的取值范围是 (???,1).

12. 设 f (x) 是定义在实数集 R 上的偶函数,且在区间 [0,???) 上是单调增函数,若 f (? 1)?? 0 ,则满足不等 式 (x?? 1) f (ln x)?? 0 的 x 的取值范围是 1 【答案】 (0, ) e (1, e). .

y

【解析】 f (x)的图像大致如右图, 则 x???? 1或 x?? 1时 f (x)?? 0,? 1? x?? 1时 f (x)?? 0, 考虑 (x?? 1) f (ln x)?? 0, ① x?? 1时,需要 f (ln x)?? 0,则 ln x???? 1或 ln x?? 1, 1 1 则 0?? x??? 或 x?? e,而由 x?? 1得 0?? x??? ; e e ② x?? 1时,需要 f (ln x)?? 0,则? 1? ln x?? 1, 1 则?? x?? e,因此1? x?? e; e 1 综上所述 x的取值范围是 (0, ) e (1, e).

x -1 O 1

13. 已知函数 f (x)?? 2x?? 1 ,若 a?? b?? c ,且 f (a)?? f (c)?? f (b) ,则下列四个结论中,一定成立的 是 .(写出所有正确结论的序号) ② a?? 0, b?? 0, c?? 0 ; ③ 2a?? 2c?? 2 ; ④ 2b?? 2c?? 2 .

① a?? 0, b?? 0, c?? 0 ;

【答案】③④. 【解析】 f (x)的图像大致如右图, a, c的位置可确定大致如图, a?? 0, c?? 0 而 b的正负无法确定,因此①②均不对, 由 a?? 0, c?? 0, f (a)?? 1? 2 , f (c)?? 2c?? 1, 由 f (a)?? f (c)可得 2a?? 2c?? 2,因此③对; 若 b?? 0, c?? 0,则 2b?? 2c?? 2,
b a

y

x a O c

1

若 b?? 0, c?? 0,则 f (b)?? 1? 2 , f (c)?? 2c?? 1,由 f (c)?? f (b)得 2b?? 2c?? 2,因此④对.

14. 若函数 f (x)??? 【答案】 (???,3).

1 lg(2?? 4? 2? x?? a)
x

的定义域为实数集 R ,则实数 a 的取值范围为

.

【解析】 f (x)的定义域要求 2x?? 4? 2? x?? a?? 0,且 lg(2x?? 4? 2? x?? a)?? 0, 因此 2x?? 4? 2? x?? a?? 0且 2x?? 4? 2? x?? a?? 1, 由定义域为 R,得任意 x?? R,有 2x?? 4? 2? x?? a?? 0且? 1, 4 令 u?? 2x,则对任意 u?? 0, u??? ? a?? 0且不等于1, u u?? 0时, u??? 4 4 最小值 4(对勾函数的性质),因此 u???? a取值范围 [4? a,???), u u

因此 4? a?? 0,且1? [4? a,???), 因此 4? a?? 1,则 a?? 3,因此 a的取值范围 (???,3).

二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. 若集合 A? {x | 2? x?? 10} , B?? {x |1? x?? 8} , C?? {y | y?? 2x?? a, x?? R} ,求: ⑴ A B,(
R

A)

B ;

⑵ 若 A C???? ,求实数 a 的取值范围. 【答案】⑴ (1,10), (1, 2);⑵ (???,10) . 【解析】⑴ A? [2,10), B?? (1,8), 因此 A B?? (1,10), ( R A) 即 a得取值范围为 (???,10) . B?? (1, 2); ⑵ C?? (a,???),由 A C????,得 a?? 10,

16. 设函数 f (x)?? loga (x2?? 2x)(a?? 0 ,且 a?? 1) . ⑴ 若 f (3)?? 2 ,求 a 的值; ⑵ 若 a?? 2 ,且 f (x)?? 3 ,求 x 的取值范围; ⑶ 判断函数 f (x) 在区间 (2,???) 内的单调性,并给出证明. 【答案】⑴ 3;⑵ (???,? 2) (4,???);⑶ 0?? a?? 1时递增, a?? 1时递减. 3;

【解析】⑴由 f (3)?? 2得 2?? loga (32?? 2? 3),解得 a??? ⑵由 a?? 2, f (x)?? 3,

log2 (x2?? 2x)?? 3,则 x2?? 2x?? 8,则 (x?? 4)(x?? 2)?? 0,解得 x???? 2或 x?? 4, 因此 x的取值范围 (???,? 2) ⑶ f (x)在区间 (2,???)上递增, 任取 x1, x2?? (2,???), x1?? x2, f (x1)?? f (x2 )?? loga (x1?? 2x1)?? log (x2?? 2x2 )?? loga
2 2 x1?? 2x1?? (x2?? 2x2 )?? (x1?? x2?? 2)(x1?? x2 ), 2 2 a

(4,???);

x x1 ? 21 , 2 x x2 ? 22

2

由 2?? x1?? x2得 x1?? x2?? 2? 0, x1?? x2?? 0, x1(x1?? 2)?? 0, x2 (x2?? 2)?? 0, x x1 ? 21 ? 1, 因此 0?? x ?? 2x1?? x2?? 2x2,因此 2 x x2 ? 22
2 1 2 2

因此 0?? a?? 1时 f (x1)?? f (x2 ), f (x)在 R上递减, a?? 1时 f (x1)?? f (x2 ), f (x)在 R上递增.

17. 某厂家根据以往的生产销售经验,得到下面有关生产销售的统计规律:生产某种产品每年需要固定投 资 100 万元,此外每生产 1 件该产品,还需要增加投资 1 万元. 设年产量为 x(x?? N*) 件,当 x?? 20 时, 年销售总收入为 (33x?? x2 ) 万元;当 x?? 20 时,年销售总收入为 260 万元. 记该工厂生产并销售这种产 品所得的年利润为 y 万元. 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完 成下列问题: ⑴ 求利润函数 y?? f (x) 的解析式; ⑵ 工厂每年生产多少件该产品,可使盈利最多? ?? x2?? 32x?? 100 x?? 20, x?? N * 【答案】⑴ f (x)????? ?? x?? 160 x?? 20, x?? N * ⑵ 16. 【解析】⑴由题意, x?? 20时, f (x)?? 33? x2?? (100? x)???? x2?? 32x?? 100, x?? 20时, f (x)?? 260? (100? x)???? x?? 160, ?? x2?? 32x?? 100 x?? 20, x?? N * 因此 f (x)????? ?? x?? 160 x?? 20, x?? N * x?? 20时, x?? 20时取到最大值140; 综上 x?? 16时 f (x)最大值为156 . ; ;

⑵ x?? 20时, f (x)???? (x?? 16)2?? 156,则 x?? 16时取到最大值156;

18. 设函数 f (x) 是实数集 R 上的奇函数,当 x?? 0 时, f (x)?? x2?? log3 x?? 4 . ⑴ 求函数 f (x) 的解析式; ⑵ 求证:方程 f (x)?? 0 的区间 (0,???) 内有唯一解. ? x2?? log x?? 43 x?? 0 ?? 【答案】⑴ f (x)????0 x?? 0; ? 2 ?? x?? log3 (? x)?? 4 x?? 0 ⑵证略. 【解析】⑴ x?? 0时,由 f (x)是奇函数,得 f (x)???? f (? x), 由? x?? 0,因此 f (? x)?? (? x)2?? log3 (? x)?? 4, 因此 f (x)???? f (? x)???? x2?? log3 (? x)? 4, 由题意, x?? 20时, f (x)?? 33? x2?? (100? x)???? x2?? 32x?? 100, x?? 0时, f (0)???? f (0),则 f (0)?? 0, ? x2?? log x?? 43 x?? 0 ?? 因此 f (x)????0 x?? 0; ? 2 ?? x?? log3 (? x)?? 4 x?? 0 ⑵ f (1)?? 12?? log3 1? 4???? 3? 0, f (3)?? 33?? log3 3? 4?? 6? 0, 因此 f (1) f (3)?? 0,又 f (x)在 [1,3]上连续,因此 f (x)在 (1,3)上有零点,设为 x0,即 f (x0 )?? 0 任取 0?? x1?? x2, f (x1)?? f (x2 )?? (x1?? x2 )(x1?? x2 )?? log2 由 0?? x1?? x2得 (x1?? x2 )(x1?? x2 )?? 0,0??? x1 ? 1,log2 x2 x2 x1 x1 x2 ,

? 0,

因此 f (x1)?? f (x2 ),因此 f (x)在 (0,???)上递增, 因此 0?? x?? x0时 f (x)?? f (x0 )?? 0, x?? x0时 f (x)?? f (x0 )?? 0, 因此 f (x)?? 0在 (0,???)上只有一解.

19. 设函数 f (x)???

m? 2x?? n 2x?? 1

为奇函数,其中 m, n?? R ,

⑴ 求实数 m, n 满足的等量关系式; ⑵ 若 m?? 0 ,函数 f (x) 在区间 [1, 2] 上的取值范围是区间 [5,9] ,求 f (x) 的解析式; ⑶ 若关于 x 的方程 f (x)?? 2m? 1有实数解,求实数 m 的取值范围. 【答案】⑴ m? n?? 0;⑵ f (x)??? 15? 2x?? 15 2?? 1
x

1 ;⑶ (? 1,? ) . 3

【解析】⑴对任意 x?? R, f (x)? f (? x)?? 0, m? 2x?? n m? 2? x?? n ?????????? 0, 2x?? 1 2? x?? 1 因此 m? 2x?? n m? n? 2x ????????? 0, 2x?? 1 1? 2x (m?? n)(2x?? 1) 2x?? 1 ? 0,因此 m? n?? 0; m? 2x?? m 2?? 1
x

因此

⑵由 m? n?? 0得 f (x)???

2m ? m?? x 2?? 1


1 2

任取 x1?? x2, f (x1)?? f (x2 )?? m???
x2
1 1 2

2m 2m 2x ?? 2x ? (m?? )??? 2x ?? 1 2x ?? 1 (2x ?? 1)(2x ?? 1)
1 2 1 2



由 x1?? x2得 2x ?? 2 , 2x ?? 1? 0, 2x ?? 1? 0,因此 f (x1)?? f (x2 ), 因此 f (x)在 R上递增, 由 f (x)在区间 [1, 2]上的取值范围是区间 [5,9],得 f (1)?? 5, f (2)?? 9, 即 2 m? m 3 4m?? m ? 5, 5 ? 9,解得 m?? 15; ? m? 1有解, 有解,

⑶由题意 m??

2m 2m 2x?? 1 ? 2m? 1有解,因此? x 2?? 1

m?? 0时显然无解,因此 m?? 0,因此??

2 1 ? 1?? 2x?? 1 m

2 令 u?? 2x?? 1,则 u?? 1,则?? 取值范围为 (? 2,0), u 因此只需1?? 1 1 1 ? (? 2,0),? 2?? 1??? 0,? 3????? 1, m m m 1 . 3

因此 m?? 0,? 1? m?????

20. 设函数 f (x)?? ax2?? x ,其中 a?? R . ⑴ 讨论函数 f (x) 的奇偶性; ⑵ 若 a?? 0 ,对任意的 x1, x2?? R , x1?? x2 ,比较 f ( x1?? x2 2 1 (x ) 与 ( f (x1 )?? f 2 )) 的大小; 2

⑶ 已知集合 P?? {x | 0? x?? 1},若关于 x 的不等式 f (x)?? 1的解集为 M ,且 P?? M ,求 a 的取值范围. 【答案】⑴ a?? 0为奇函数, a?? 0时非奇非偶; ⑵ f( x1?? x2 2 )??? 1 ( f (x1)?? f (x2 )); 2

⑶ [? 2,0] . 【解析】⑴ a?? 0时 f (x)?? x,为奇函数, a?? 0时, f (1)?? a?? 1, f (? 1)?? a?? 1,则 f (1)???? f (? 1), f (x)非奇非偶; 因此 a?? 0为奇函数, a?? 0时非奇非偶; ⑵ f( ? a( x1?? x2 2 1 )??? ( f (x1)?? f (x2 )) 2

x1?? x2 2 x1?? x2 1 )????????? (ax12?? x1?? ax22?? x2 ) 2 2 2 2 x1?? 2x1x2?? x22 1 2 2 ? a( ? x1 1?? x2 ) , 4 2 2 a ??? (x?? x )2 4 1 2 由 a?? 0, x1?? x2得?? (x?? x )2?? 0,因此 f ( 4 1 2 2 ⑶由 P?? M得 0?? x?? 1时 f (x)?? 1恒成立, 因此 0?? x?? 1时? 1? ax2?? x?? 1恒成立, 方法一(二次函数分类讨论): ① a?? 0时, f (x)?? x,则 0?? x?? 1时 0? f (x)?? 1,满足条件; ② a?? 0时, f (1)?? 1? a?? 1不满足条件; ③ a?? 0时, 若?? 1 2a 1 1 1 ? 1,即 a????? ,则 f (x)在 [0,?? ]上递增, [?? ,1]上单调递减, 2 2a 2a 1 2a )?? 1, f (1)???? 1, 1 1 1 ,又 a????? ,则? 2?? x????? ; 4 2 2 a x1?? )??? x2 1 2 ( f (x1)?? f (x2 ));

则需要 f (0)???? 1, f (?? 1 则 0???? 1,?? 4a 若??

? 1, a?? 1??? 1,解得? 2?? a?????

1 1 ? 1,即 a????? ,则 f (x)在 [0,1]上递增,则需要 f (0)???? 1, f (1)?? 1, 2a 2

1 则 0??? 1, a?? 1? 1,则 a?? 0,又 a?? 0,则?? ? a?? 0; 2 综上 a的取值范围为 [? 2,0];

方法二(分离参数): 即 0?? x?? 1时? x?? 1? ax2?? 1? x恒成立, x?? 0时显然成立,因此只需 0?? x?? 1时? x?? 1? ax2?? 1? x恒成立, 因此 0?? x?? 1 时 ? x?? 1 x
2

1? x 恒成立, ? a??? x2

1 令 u??? ,则 u?? 1时? u2?? u?? a???? u2?? u恒成立, x 因此需要 a大于等于? u 2?? u在 u?? 1时的最大值,小于等于? u 2?? u在 u?? 1时的最小值, ? u 2?? u???? (u??? ? u 2?? u???? (u??? 因此? 2? a?? 0 . )??? 12 1 2 4 ,因此 u?? 1时? u 2?? u最大值为 u?? 1时取到,为? 2,

)??? 12 1 ,因此 u?? 1时? u 2?? u最大值为 u?? 1时取到,为 0, 2 4



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