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新编江西省新余市高三第二次模拟考试数学文试题及答案

江西省新余市 20xx 届高三第二次模拟考试 数学文试题

本试卷分为试题卷和答题卷两部分,解答写在答.题.卷.相.应.的.位.置.. 全卷共150分,考试时间为120分钟
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合要求的.

1.已知集合 A ? {?1, 0, a}, B ? {x | 0 ? x ?1}, 若 A B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

A.{1}

B.(— ? ,0)

C.(1,+ ? ) D.(0,1)

2. 若复数 m(m ? 2) ? (m2 ? 3m ? 2)i 是纯虚数,则实数 m 的值为

A.0 或 2

B.2

C.0

D.1 或 2

? ? 3.设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 S10S5=12,则 S15S5 为

A. 12

B. 13

C. 23

D. 34

4.已知

? p:
4

??

?

? 2

,q:

f

(x)

?

log tan ?

x 在 (0, ??) 内是增函数,则

p

是q的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为

A.200+9π

B.200+18π

C.140+9π

D.140+18π

6.如下图,将半径为 l 的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往

圆内任投一点,此点落在星形区域内的概率为

开始

A. 4 ? 1

B. 1

C.1 ? 1

D. 2

K=1

?

?

?

?

S=0



是 S=S-2K

输出 S

K=K-1

结束

(第 5 题图)

(第 6 题图)

(第 7 题图)

7. 一个算法的程序框图如上图所示,若该程序输出的结果为 10,则判断框中应填入的条件是

A. k ? ?2

B. k ? ?3 C. k ? ?3

D. k ? ?3

8.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的可导函数,其导函数记为 f '(x) ,若对于任意实数 x ,有

f (x) ? f '(x) ,且 y ? f (x) ?1为奇函数,则不等式 f (x) ? ex 的解集为

A. (??, 0)

B. (0, ??)

C. (??, e4 )

D. (e4, ??)

9.已知两定点 A(?1, 0) 和 B(1, 0) ,动点 P(x, y) 在直线 l : y ? x ? 2 上移动,椭圆 C 以 A, B 为焦点 且经过点 P ,记椭圆 C 的离心率为 e(x) ,则函数 y ? e(x) 的大致图象是

10.已知定义在[1,+∞)上的函数

f

(x)

?

??4 ? ??

? 1 2

8x ?12 f (x)
2

A. 函数 f (x) 的值域为[1,4];

(1 ? x ? 2)
,则下列结论正确的是
(x ? 2)

B.关于 x 的方程 f (x) ? 1 ? 0 (n∈N*)有 2n ? 4 个不相等的实数根; 2n
C.当 x∈[2n﹣1,2n](n∈N*)时,函数 f (x) 的图象与 x 轴围成的面积为 2;

D.存在实数 x0 ,使得不等式 x0 f (x0 ) ? 6 成立.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23 ,样本点的中心为 (4, 5) ,则回归直线方程



.

?2x ? y ? 0

12.

已知实数

x



y

满足

?? ? ?

x x

?3y ?0

?

5

?

0

,则

z

? (1)x 4

? (1) y 的最小值为 2

.

?? y ? 0

13. 若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值为_______.

14.对于定义在区间 D 上的函数 f(X),若存在闭区间

和常数 c,使得对任意 x1

,且对任意 x2 D,当

时,

f(x)为区间 D 上的“平顶型”函数.给出下列说法: ①“平顶型”函数在定义域内有最大值;

恒成立,则称函数

②函数

为 R 上的“平顶型”函数;

③函数 f(x)=sinx-|sinx|为 R 上的“平顶型”函数;

,都有

④当

时,函数

是区间

上的“平顶型”函数.

其中正确的是________.(填上所有正确结论的序号)

15. 已知函数 f (x) ? log2 (| x ?1| ? | x ? 2 | ?m) .若关于 x 的不等式 f (x) ≥1 的解集是 R ,则 m 的
取值范围是_________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)
在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c, 且 2a sin B ? 3b .
(1)求角 A 的大小;
(2) 若 a ? 6,b ? c ? 8, 求△ABC 的面积.

17.(本小题满分 12 分)

某公司研制出一种新型药品,为测试该药品的有效性,公司选定 2000 个药品样本分成三组,测

试结果如下表:

分组

A组 B组 C组

药品有效 670

a

b

药品无效 80

50

c

已知在全体样本中随机抽取1个,抽到 B 组药品有效的概率是 0.35 . (1)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问应在 C 组抽取样本多少个?
(2)已知 b ? 425,c ? 68 ,求该药品通过测试的概率(说明:若药品有效的概率不小于 90 %,
则认为测试通过).

18.(本小题满分 12 分)

设数列 ?an ?的前 n 项的和 S n

与 an 的关系是 Sn

?

?an

?1?

1 2n

,n? N*.

? ? (1) 求证:数列 2n an 为等差数列,并求数列?an ?的通项;

(2)求数列?Sn ?的前 n 项和 Tn .

19.(本题满分 12 分)
一个几何体是由圆柱 ADD1A1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,其 正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为 10 和 12,如图所示,其中 EA ? 平面ABC , AB ? AC , AB ? AC , AE ? 2 . (1)求证: AC ? BD ; (2)求三棱锥 E ? BCD 的体积.

20.(本小题满分 13 分)
已知点Q 位于直线 x ? ?3 右侧,且到点 F(?1, 0) 的距离与到直线 x ? ?3 的距离之和等于 4. (1)求动点 Q 的轨迹 C ;
(2)直线 l 过点 M (1, 0) 交曲线 C 于 A, B 两点,点 P 满足 FP ? 1 (FA ? FB) , EP ? AB ? 0 ,又 2
OE ? (xE , 0) ,其中 O 为坐标原点,求 xE 的取值范围; (3)在(2)的条件下,?PEF 能否成为以 EF 为底的等腰三角形?若能,求出此时直线 l 的方程;
若不能,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分)

已知函数

f1 ( x)

?

1 2

x2



f2 (x)

?

a ln

x

(其中 a

?

0 ).

(1)求函数 f (x) ? f1(x) ? f2 (x) 的极值;

(2)若函数 g(x) ?

f1(x) ?

f2 (x) ? (a ?1)x

在区间 (1 ,e) 内有两个零点,求正实数 a 取值范围;
e

(3)求证:当 x ? 0 时, ln x ?

3 4x2

?

1 ex

? 0 .(说明:e 是自然对数的底数,e=2.71828…)

新余市 20xx 年高三“二模”考试质量检测

数学 参考答案 (文科)

一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

题号

















9 10

答案

D

C

D

A

A

A

B

B

A

C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11. y ? 1.23x ? 0.08 ;

12. 1 ; 16

13. ? 1 ; 3

14. ①④;

15. ???,1?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。)

16.解(1)由已知得到 2sin Asin B ?

3 sin B ,且 B ? (0, ? )?sin B ? 0?sin A ?

3
,且

2

2

A? (0, ? )? A ? ? ; ……6 分

2

3

(2)由(1)知 cos A ? 1 ,由已知得到 2

36 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 28

2

3

S

ABC

?

1 2

?

28 3

?

3?7 23

3 ………………………………………………12 分

所以

17 解:(1)Q a ? 0.35,? a ? 700 ? ? ? ? ? ?2 分 2000
Q b ? c ? 2000 ? 670 ? 80 ? 700 ? 50 ? 500 ……4 分
应在 C 组抽取样本个数是 360 ? 500 ? 90 个……6 分 2000

(2)?b ? c ? 500,b ? 425, c ? 68,??b, c?的可能性是

?425,75?,?426,74?,?427,73?,?428,72?,?429,71?,?430,70?,?431,69?,?432,68?……8 分
若测试通过,则 670 ? 700 ? b ? 2000?90% ? 1800?b ? 430……10 分
??b, c?的可能有 ?430,70?, ?431,69?, ?432,68??通过测试的概率为 3 ………………12 分
8

18.解:(1)当

n=1

时,

s1

?

?a1

?1?

1 2

?

a1

?

1 4

……1



n?

2时,由 Sn

? Sn?1

? ?an

? an?1

?

1 2n

得 2n an

? 2n?1 an?1

?

1 ,……3 分 2

所以 2n an

?

2 ? a1

? (n ?1) ?

1 2



an

?

n 2 n?1

.……6 分

(2)由(1)得 Sn

?1?

n?2 2n?1 ,

所以 Tn

?

3 n?(
22

?

4 23

?

n?2 2 n?1

)

,由错位相减法得.……9



Tn

?

n?2?

n?4 2 n ?1

………………………………………………………12



19.

证明:(1)AE ? 面ABC ? AE ? AC

又AB ? AC ? AC ? 面ABE即AC ? 面EBD

? AC ? BD................................................6分

(2)由已知S OAE ? 2, AE ? 2

?OA ? 2 ? r

A1A ? 4 ? 2r, SA1ADD1 ? 8 ? AD ? 2....................................8分

又AC ? AB ? 2 ? r ? 2 2, S BED ? 2S BEA ? AB ? AE ? 2 2 ? 2 ? 4 2........10分

?VE ? BCD

? VC?BED

?

1S 3

BED

? AC

?

1?4 3

2?2

2 ? 16 ........12分 3

20.(1)设 Q(x, y) ,则| QF | ?x ? 3 ? 4(x ? ?3) ,即 (x ?1)2 ? y2 ? x ? 3 ? 4(x ? ?3)

化简得 y2 ? ?4x(x ???3,0?) 。所以动点 Q 的轨迹 C 为抛物线 y2 ? ?4x 位于直线 x ? ?3 右侧的部

分……………………………………………………………4 分

(2)因为

FP

?

1 2

(FA

?

FB)

,所以

P



AB

的中点;又因为

EP

?

AB

?

0

,且

OE

?

(xE

, 0)

,所以

点 E 为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点。由题意可知,直线 l 与 x 轴不垂直,所以不妨设直线 l 的

方程为

y

?

k

(

x

?1)

,由

?? ? ??

y y

? k(x 2 ? ?4

?1)
x?x

?

?

?3,

0??

? ? 得 k2x2 ? (4 ? 2k2 )x ? k2 ? 0 x ???3,0? (*)

设 f (x) ? k 2x2 ? (4 ? 2k 2 )x ? k 2 ,要使直线 l 与曲线 C 有两个不同的交点,

?? ? (4 ? 2k 2 )2 ? 4k 4 ? 0

?

只需

???3 ?

?

4 ? 2k 2 ?2k 2

?

0

? ?

f

(?3)

?

0

解得 3 ? k 2 ? 1…………………………………………6 分 4

?? f (0) ? 0



A( x1 ,

y1), B(x2 ,

y2 )

,则由(*)式得,

x1

?

x2

?

2k 2 ? k2

4

,所以线段

AB

中点

P

的坐标为

xP

?

x1

? x2 2

?1?

2 k2



yP

?

k(xp

?1) ? ? 2 k

…………………………..8



则直线

EP

的方程为

y

?

2 k

?

?

1 k

(x

?1?

2 k2

)

,令

y

?

0

,得

E

的横坐标为

xE

?

?1?

2 k2

……………………………………………………………...10



因为

3 4

?

k2

? 1,所以 ? 11 3

?

xE

?

?3 ,即

xE

的取值范围是

? ??

?

11 3

,

?3

? ??

………..11



(3)不可能。证明如下:要使 ?PEF 成为以 EF 为底的等腰三角形,只需 2xP ? xE ? xP ,即

2 ???1 ?

2 k2

? ??

?

?1 ?

2 k2

? 1 ,解得

k2

?

1 2

。另一方面,要使直线满足(2)的条件,需要 k 2

?

? ??

3 4

,1???





1 2

?

? ??

3 4

,1???

,所以不可能使

?PEF

成为以

EF

为底的等腰三角形……13



21.

解:(1)

f (x) ?

f1(x) ?

f2 (x)

?

1 2

ax2

?

ln

x



∴ f ?(x) ? ax ln x ? 1 ax ? 1 ax(2 ln x ? 1) ( x ? 0 , a ? 0 ), 22



f

?(x)

?

0

,得

x

?

?1
e2

,由

f

?(x)

?

0

,得 0

?

x

?

?1
e2



故函数

f

(x)



(0,

?
e

1 2

)

上单调递减,在

?
(e

1 2

,

??)

上单调递增,

所以函数

f (x) 的极小值为

f

?1
(e 2 ) ? ?

a

,无极大值.

··········· 4 分

4e

(2)函数 g(x) ? 1 x2 ? a ln x ? (a ?1)x , 2

则 g?(x) ? x ? a ? (a ?1) ? x2 ? (a ?1)x ? a ? (x ? a)(x ?1) ,

x

x

x

令 g?(x) ? 0 ,∵ a ? 0 ,解得 x ? 1,或 x ? ?a (舍去),

当 0 ? x ? 1时, g?(x) ? 0 , g(x) 在 (0,1) 上单调递减;

当 x ? 1时, g?(x) ? 0 , g(x) 在 (1, ??) 上单调递增.

函数 g(x) 在区间 (1 ,e) 内有两个零点, e

只需

? ? ? ?

g g

(1) ? 0, e (1) ? 0,



? ? ? ? ?

1 2e2 1?

? a ?1? e
a ?1 ? 0,

a

?

0,

??a ?

?

2e ?1 2e2 ? 2e

,

∴ ??a ? 1 ,

??g(e) ? 0,

?2 ?e2

?2 ? 2e ? e2

?

?? 2 ? (a ?1)e ? a ? 0, ??a ? 2e ? 2 ,

故实数 a 的取值范围是 ( 2e ?1 , 1) .·················· 9 分 2e2 ? 2e 2

(3)问题等价于

x2

ln

x

?

x2 ex

?

3 4

.由(Ⅰ)知

f

(x)

?

x2

ln

x

的最小值为 ?

1 2e



设 h(x)

?

x2 ex

?

3 4

, h?(x)

?

?

x(x ? ex

2)

得 h(x)

在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 上单调递减.

∴ h(x)max

?

h(2)

?

4 e2

?

3 4

,………………………………………………………12



∵?

1 2e

?

(

4 e2

?

3) 4

?

3 4

?

1 2e

?

4 e2

=?

3e2

? 2e 4e2

? 16

?

(3e

? 8)(e 4e2

?

2)

?

0





f (x)min

? h(x)max ,∴ x2 ln x ?

x2 ex

?3 4

,故当 x ? 0 时, ln x ?

3 4x2

?

1 ex

? 0 .……14 分



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