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第二章2.2-2.2.3直线与平面平行的性质


第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.3 直线与平面平行的性质
A级 一、选择题 1.已知直线 l∥平面 α,P∈α ,那么过点 P 且平行于 l 的直线 ( ) A.只有一条,不在平面 α 内 B.只有一条,在平面 α 内 C.有两条,不一定都在平面 α 内 D.有无数条,不一定都在平面 α 内 解析:如图所示, 基础巩固

因为 l∥平面 α,P∈α, 所以直线 l 与点 P 确定一个平面 β,

α∩β=m,
所以 P∈m,所以 l∥m 且 m 是唯一的. 答案:B 2.三棱锥 SABC 中,E,F 分别是 SB,SC 上的点,且 EF∥平 面 ABC,则( ) B.EF 与 BC 平行 D.以上均有可能

A.EF 与 BC 相交 C.EF 与 BC 异面

解析:由线面平行的性质定理可知 EF∥BC. 答案:B 3.直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,那么这 n 条直 线中与直线 a 平行的( A.至少有一条 C.有且只有一条 ) B.至多有一条 D.没有

解析:直线 a 和该交点确定一个平面,由线面平行的性质得,此 平面与平面α的交线与 a 平行,故至多有一条. 答案:B 4.如图所示,长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G、H,则 HG 与 AB 的位置关系是( )

A.平行 C.异面

B.相交 D.平行和异面

解析:因为 E,F 分别是 AA1,BB1 的中点, 所以 EF∥AB. 又 AB?平面 EFGH,EF?平面 EFGH, 所以 AB∥平面 EFGH. 又 AB?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 EFGH=GH, 所以 AB∥GH. 答案:A 5.如图所示, 四棱锥 PABCD 中,M, N 分别为 AC,PC 上的点,

且 MN∥平面 PAD,则(

)

A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 解析:因为 MN∥平面 PAD,MN?平面 PAC, 平面 PAD∩平面 PAC=PA, 所以 MN∥PA. 答案:B 二、填空题 6.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB, BC, CD, DA 上的点, EH∥FG.则 EH 与 BD 的位置关系是______.

解析:因为 EH∥FG,FG?平面 BCD,EH?平面 BCD,所以 EH∥平面 BCD.因为 EH?平面 ABD,平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 EH∥BD. 答案:平行 7.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于 ________.

解析: 由于在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, AB=2, 所以 AC=2 2. 又 E 为 AD 的中点, EF∥平面 AB1C, EF?平面 ADC, 平面 ADC∩ 平面 AB1C=AC,所以 EF∥AC, 所以 F 为 DC 的中点, 1 所以 EF= AC= 2. 2 答案: 2 8.如图所示,ABCD?A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分 别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点, a AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= 3 ________.

解析:因为 MN∥平面 AC,平面 PMN∩平面 AC=PQ, 所以 MN∥PQ,易知 DP=DQ= 故 PQ= 答案: PD2+DQ2= 2DP= 2a , 3

2 2a . 3

2 2a 3

三、解答题 9. 如图所示, 已知两条异面直线 AB 与 CD, 平面 MNPQ 与 AB,

CD 都平行,且点 M,N,P,Q 依次在线段 AC,BC,BD,AD 上, 求证:四边形 MNPQ 是平行四边形.

证明: 因为 AB∥平面 MNPQ, 且过 AB 的平面 ABC 交平面 MNPQ 于 MN,所以 AB∥MN. 又过 AB 的平面 ABD 交平面 MNPQ 于 PQ,所以 AB∥PQ,所 以 AB∥PQ,所以 MN∥PQ. 同理可证 NP∥MQ. 所以四边形 MNPQ 为平行四边形. 10.如图所示,四面体 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一 个矩形.

(1)求证:CD∥平面 EFGH; (2)求异面直线 AB、CD 所成的角. (1)证明:因为截面 EFGH 是矩形, 所以 EF∥GH. 又 GH?平面 BCD,EF?平面 BCD. 所以 EF?平面 ACD, 平面 ACD∩平面 BCD=CD, 所以 EF∥CD. 又 EF?平面 EFGH,CD?平面 EFGH, 所以 CD∥平面 EFGH. (2)解:由(1)知 CD∥EF,同理 AB∥FG,由异面直线所成角的

定义知,∠EFG 即为所求. 故 AB、CD 所成的角为 90°. B级 能力提升

1.过平面 α 外的直线 l,作一组平面与 α 相交,如果所得交线 为 a,b,c,…,则这些交线的位置关系为( A.都平行 B.都相交于同一点 C.都相交但交于不同的点 D.都平行或交于同一点 解析:若 l∥α,则 l∥a,l∥b,l∥c,…,所以 a∥b∥c…. 若 l∩α=P,则 a,b,c,…交于点 P. 答案:D 2.对于平面 M 与平面 N,有下列条件:①M、N 都垂直于平面 Q; ②M、 N 都平行于平面 Q; ③M 内不共线的三点到 N 的距离相等; ④l,m 为两条平行直线,且 l∥M,m∥N;⑤l,m 是异面直线,且 l∥M,m∥M;l∥N,m∥N,则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件 是________(填正确结论的序号). 解析:由面面平行的判定定理及性质定理知,只有②⑤能判定 M∥N. 答案:②⑤ 3.如图所示,已知 P 是?ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点,平面 PBC∩平面 PAD=l. )

(1)求证:l∥BC. (2)问:MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论. 证明:(1)因为 BC∥AD,BC?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BC∥平面 PAD. 又 BC?平面 PBC,平面 PBC∩平面 PAD=l, 所以 l∥BC. (2)平行.

如图所示,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE. 1 因为 N 是 PC 的中点,所以 EN 綊 CD. 2 因为 M 为?ABCD 边 AB 的中点, 1 所以 AM 綊 CD. 2 所以 EN 綊 AM ,所以四边形 AMNE 为平行四边形,所以 MN∥AE. 又 MN?平面 PAD,AE?平面 PAD, 所以 MN∥平面 PAD.


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