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三角函数应用专题


三角函数应用专题 例 1:某人在 D 处测得大厦 BC 的仰角∠BDC 为 30°,沿 DA 方向行 20 米至 A 处,测得仰角∠BAC 为 45°,求此 大厦的高度 BC。

变式训练 1:如图,小明家在 A 处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路 l,AB 是 A 到 l 的小路. 现新修一条 路 AC 到公路 l. 小明测量出∠ACD=30? , ∠ABD=45? , BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路 l 的距离 AD 的长度 (精确到 0.1m;参考数据: 2 ? 1.414, 3 ? 1.732 ). D B C l

A 变式训练 2:如图所示,小明家住在 32 米高的 A 楼里,小丽家住在 B 楼里, B 楼坐落在 A 楼的正 北面,已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30 . (1)如果 A,B 两楼相距 20 3 米,那么 A 楼落在 B 楼上的影子有多长? (2)如果 A 楼的影子刚好不落 在 B 楼上,那么两楼的距离应是多少米? . (结果保留根号) B 楼 30° D
?

C
A 楼E

G

F

H

例 2:图为平地上一幢建筑物与铁塔图,右图为其示意图.建筑物 AB 与铁塔 CD 都垂直于底面,BD=30m,在 A 点测得 D 点的俯角为 45° ,测得 C 点的仰角为 60° .求铁塔 CD 的高度

变式训练 1:小明想测量塔 BC 的高度.他在楼底 A 处测得塔顶 B 的仰角为 60? ;爬到楼顶 D 处测得大楼 AD 的 高度为 18 米,同时测得塔顶 B 的仰角为 30? ,求塔 BC 的高度.

变式训练 2:某高为 5.48 m 的建筑物 CD 与一铁塔 AB 的水平距离 BC 为 330 m,一测绘员在建筑物顶点 D 测得 塔顶 A 的仰角 a 为 30°. 求铁塔 AB 高.(精确到 0.1 m).

A



E B 330 m

α

D C

变式训练 3、如图,热气球的探测器显示,从热气球 A 看一栋大楼顶部 B 的俯角为 30° ,看这栋大楼底部 C 的俯 角为 60° ,热气球 A 的高度为 240 米,求这栋大楼的高度.

例 3:一个半径为 20 海里的暗礁群中央 P 处建有一个灯塔,一艘货轮由东向西航行,第一次在 A 处观测此灯塔 在北偏西 60°方向,航行了 20 海里后到 B,灯塔在北偏西 30°方向,如图. 问货轮沿原方向航行有无危险?

变式训练 1:如图所示, A 、 B 两城市相距 100km ,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段 AB ) , 经测量, 森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30 ° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上, 已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心,50km 为半径的圆形区域内, 请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区, 为什么? (参考数据:

3 ≈1.732,2 ≈1.414 )
E 30°

P F 45° B

A

变式训练 2:为打击索马里海盗,保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我 护航舰正在某小岛 A 北偏西 45 ? 并距该岛 20 海里的 B 处待命. 位于该岛正西方向 C 处的某外国商船遭到海盗袭 击,船长发现在其北偏东 60 ? 的方向有我军护航舰(如图所示) ,便发出紧急求救信号.我护航舰接警后,立即 沿 BC 航线以每小时 60 海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置 C 处?(结果 精确到个位.参考数据: 2 ≈1.4,3 ≈1.7 )

例 4:如图所示,河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: 3 ,堤高 BC=5m,则坡面 AB 度是( ) C.15m D.5 3 m

的长

A.10m B.10 3 m

例 5:某水库大坝的横断 面是梯形,坝内斜坡的坡度 i=1∶ 3 ,坝外斜坡的坡度 i=1∶ 1,则两个坡角的和 为 。

例 6:一个钢球沿坡角 31°的斜坡向上滚动了 5 米,此时钢球距地面的高度是( ) A. 5sin 31? 米 B. 5cos 31? 米 C. 5 tan 31? 米 D. 5cot 31? 米

例 7:一水库大坝的横断面为梯形 ABCD,坝顶宽 6.2 米,坝高 23.5 米,斜坡 AB 的坡度 i1=1∶3,斜坡 CD 的 坡度 i2 = 1∶2.5。求:(1) 斜坡 AB 与坝底 AD 的长度(精确到 0.1 米) ; (2) 斜坡 CD 的坡角 α(精确到 1° ) 。

变式训练 1:某人沿着坡度 i=1:

3 的山坡走了 50 米,则他离地面
) C.15 米

米。

变式训练 2:河堤横断面如图所示,堤高 BC=5 米,迎水坡 AB 的坡比 1: 3 (坡比是坡面的铅直高度 BC 与水 平宽度 AC 之比) ,则 AC 的长是( A.5 3 米 B.10 米

D.10 3 米

变式训练 3:一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形 ABCD,如图所示,其中背水面为 AB,现准备对大 坝背水面进行整修,将坡角由 45°改为 30°,若测量得 AB=20 米,求整修后需占用地面的宽度 BE 的长. (精 确到 0.1 米,参考数据: 2 ? 1.414 , 3 ? 1.732 , 6 ? 2.449
A D

30°

45°

E

B

C

巩固检测 1.如图,先进村准备在坡角为α 的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为 a 米,那么这两树在坡面上的距离 AB 为 ( ) A. a cos a 米 C. a sin a 米 B.

a 米 cos ?
α

B A

a D. 米 sin ?

2.在离地面高 6 米处的拉线固定一烟囱,拉线与地面成 60°角,则拉线的长约是 ________米。 (精确到 0.01 米) 3.如图 31—3—1,大坝横截面是梯形 ABCD,CD=3 m, AD=6 m. 坝高 是 3 m ,BC 坡的坡度 i =1:3, 则坡角∠A=__________,坝底宽 AB= _____________。

4.如图,斜坡 AC 的坡度(坡比)为 1: 3 ,AC=10 米.坡顶有一旗杆 BC,旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连,AB=14 米. 试求旗杆 BC 的高度.
C B

D

A

5.如图 31—3—4,为了测量电视塔 AB 的高度,在 C、D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 30°,45°。已知 C、 D 两点在同一水平线上,C、D 间的距离为 60 米,测倾器 CF 的高为 1.5 米,求电视塔 AB 的高。 (精确到 0.1 米)

6.如图 31—3—5,一只船自西各东航行,上午 9 时到达一座灯塔 P 的西南方向 68 海里的 M 处,上午 11 时到达 这座灯塔的正南方向 N 处,求这只船航行的速度。


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