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2017届高三数学(人教版理)二轮复习填空题压轴题突破练Word版含解析

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填空题压轴题突破练
(建议用时:30 分钟) 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+Sn-1=2n-1(n≥2),且 S2=3,则 a1+a3 的值为________. 【解析】因为 Sn+Sn-1=2n-1(n≥2),取 n=2 得 S2+S1=3,由 S2=3 得 a1=S1=0,取 n=3 得 S3+S2=5,所以 S3=2,a3=S3-S2=-1,所以 a1+a3=0-1=-1. 答案:-1 2.(2016·合肥一模)存在实数φ,使得圆面 x2+y2≤4 恰好覆盖函数

y=sin

图象的最高点或最低点共三个,则正数 k 的取值范

围是_______ _____.

【解析】函数 y=sin

图象的最高点或最低点一定在直线 y=

±1 上,



解得:- ≤x≤ ,

由题意可得:T= =2k,T≤2 < .

解得正数 k 的取值范围是:

.

答案:

3.设函数 f(x)=1+sin2x,g(x)=2cos2x+m,若存在 x0∈

,f(x0)

≥g(x0),则实数 m 的取值范围是________.

【解析】由题意可得存在 x0∈

,使 1+sin2x0-2cos2x0-m≥0 即可满

足题意,

故只需存在 x0∈

,m≤1+sin2x0-2cos2x0,

故只需 m≤(1+sin2x-2cos2x)max,x∈



化简可得 y=1+sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x

= sin



因为 x∈ ,所以 2x- ∈



所以 sin





所以 sin

∈[-1, ],

即 y=1+sin2x-2cos2x 的最大值为 ,

所以 m≤ .

答案:m≤

4.将函数 y=sin

sin

的图象向右平移 个单位,所得

图象关于 y 轴对称,则正数ω 的最小值为________.

【解析】因为 y=sin

sin

= sin2 + sinω x=

= sin

+,

所以将函数的图象向右平移 个单位,所得解析式为:

y= sin

+

= sin

+,

因为所得图象关于 y 轴对称,

所以-ω - =kπ+ ,k∈Z,
所以可解得:ω=-6k-4,k∈Z, 所以 k=-1 时,正数ω的最小值为 2. 答案:2 5.点 P 是曲线 x2-y-lnx=0 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小 距离为________. 【解析】将 x2-y-lnx=0 变形为 y=x2-lnx(x>0),则 y′=2x- .令 y′=1,则 x=1 或 x=- (舍),可知函数 y=x2-lnx 的斜率为 1 的切线的切点横坐标为 x=1, 纵坐标为 y=1.故切线方程为 x-y=0.则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离 即切线方程 x-y=0 与 y=x-2 的两平行线间的距离,d= = . 答案: 6.已知函数 f(x)=-2x3+3x2+12x-11,g(x)=3x2+6x+12 和直线 m:y=kx+9, 若直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线 y=g(x)的切线,则 k=________. 【解析】由已知得,直线 m 恒过定点(0,9),若直线 m 是曲线 y=g(x)的 切线,则设切点为(x0,3 +6x0+12). 因为 g′(x0)=6x0+6,

所以切线方程为 y-(3 +6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),

将(0,9)代入切线方程,解得 x0=±1.

当 x0=-1 时,切线方程为 y=9;

当 x0=1 时,切线方程为 y=12x+9.

①由 f′(x)=0 得-6x2+6x+12=0,解得 x=-1 或 x=2.

在 x=-1 处,y=f(x)的切线方程为 y=-18;

在 x=2 处,y=f(x)的切线方程为 y=9,

所以 y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9.

②由 f′(x)=12 得-6x2+6x+12=12,

解得 x=0 或 x=1.

在 x=0 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11;

在 x=1 处,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10,

所以 y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9.

综上所述,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.

答案:0

7.已知数列{an}的前

n

项和为

Sn,S1=6,S2=4,Sn>0,且

S ,S ,S 2n

2n-1

2n+2

成等比数列,S2n-1,S2n+2,S2n+1 成等差数列,则 a2016=________.

【解析】依题意,得

因为 Sn>0,所以 2S2n+2=

数列{ 列{

+

,即 2

=+

(n∈N*),故

}是等差数列;又由 S1=6,S2=4,可得 S3=12,S4=9.所以数

}是首项为 2,公差为 1 的等差数列.所以

=n+1,即

S2n=(n+1)2,故 S = 2n-1

=

(n+1)(n+2),故 S2016=10092,S2015=1009×1010,故 a2016=S2016-S2015=-1009.

答案:-1009 8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3(2n-1),数列{bn}的通项公式为

bn=5n-2.数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列 {cn}.若数列{cn}的第 n 项恰为数列{an}的第 kn 项,则数列{kn}的前 32 项的和是________.

【解析】当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3(2n-1)-3(2n-1-1)=3×2n-1,当 n=1 时,

a1=S1=3,所以 an=3×2n-1.令 at=bs,所以 3×2t-1=5s-2,则 s=

.t=1,

s=1,符合题意,t=2,s= ,不合题意,t=3,s= ,不合题意,t=4,

s= ,不合题意,t=5,s=10,符合题意,…,所以{kn}是以 1 为首 项,4 为公差的等差数列,所以数列{kn}的前 32 项之和为 32×1+

×4=2016.

答案:2016

9.数列 1,1,2,3,5,8,13,21,…最初是由意大利数学家列昂

那多·斐波那契于 1202 年兔子繁殖问题中提出来的,称之为斐波那

契数列,又称黄金分割数列,后来发现很多自然现象都符合这个数列

的规律.某校数学兴趣小组对该数列研究后,类比该数列各项产生的

办法,得到数列{an}:1,2,1,6,9,10,17,…,设数列{an}的前

n 项和为 Sn. (1)请计算:a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,并依此规律求数列{an}的第 8 项 a8=________.

(2)S3n+1=________( 请 用 关 于 n 的 多 项 式 表 示 .12+22+32+ …

+n2=

.

【解析】(1)由题意得 a1=1,a2=2,a3=1,a4=6,a5=9,a6=10,a7=17,…, 计算:a1+a2+a3=4,a2+a3+a4=9,a3+a4+a5=16,…,

可归纳得数列{an}满足的递推关系式为 an+an+1+an+2=(n+1)2,

可得 an+1+an+2+an+3=(n+2)2,

两式相减得 an+3-an=2n+3.

所以 a8=a5+(2×5+3)=9+13=22.

(2)由 an+an+1+an+2=(n+1)2, 可得 a1+a2+a3=(1+1)2,a4+a5+a6=(4+1)2,a7+a8+a9=(7+1)2,…,

a3n-2+a3n-1+a3n=(3n-1)2=9n2-6n+1, 所以 S3n=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)+…+(a3n-2+a3n-1+a3n) =9(12+22+…n2)-6(1+2+…+n)+n

=9×

-6×

+n

=3n3+ n2- n.

由 an+3-an=2n+3 得: a4-a1=2×1+3,a7-a4=2×4+3,…,a3n+1-a3n-2=2(3n-2)+3.

所以 a3n+1-a1=2×(1+4+…+3n-2)+3n=2×

+3n=3n2+2n.

所以 a3n+1=3n2+2n+1. 所以 S3n+1=S3n+a3n+1=3n3+ n2- n+3n2+2n+1 =3n3+ n2+ n+1.

答案:(1)22 (2)3n3+ n2+ n+1

10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 2c·cosB=2a+b,

若△ABC 的面积为 S= c,则 ab 的最小值为________. 【 解 析 】 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 可 得 2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,

即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,

所以 2sinBcosC+sinB=0,所以 cosC=- ,C= .

由于△ABC 的面积为 S= ab·sinC= ab= c,所以 c= ab. 再由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab·cosC,整理可得 a2b2=a2+b2+ab≥

3ab,所以 ab≥12,

当且仅当 a=b 时,取等号. 答案:12 11.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为

a,b,c,asinA=bsinB+(c-b)sinC,且 bc=4,则△ABC 的面积为

________.

【解析】因为 asinA=bsinB+(c-b)sinC,

所以由正弦定理得 a2=b2+c2-bc,即:b2+c2-a2=bc,

所以 cosA=

= = ,A=60°,

可得:sinA= ,

因为 bc=4,

所以 S△ABC= bcsinA= ×4× = . 答案:

12.如图所示,在山腰测得山顶仰角∠CAB=45°沿倾斜角为 30°的斜 坡走 1000 米至 S 点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山顶高 BC 为 ________.
【解析】依题意,过 S 点作 SE⊥AC 于 E,SH⊥AB 于 H,
因为∠SAE=30°,AS=1000 米, 所以 CD=SE=AS·sin30°=500 米, 依题意,在 Rt△HAS 中,∠HAS=45°-30°=15°, 所以 HS=AS·sin15°, 在 Rt△BHS 中,∠HBS=30°, 所以 BS=2HS=2000sin15°, 在 Rt△BSD 中,BD=BS·sin75° =2000sin15°·sin75° =2000sin15°·cos15° =1000×sin30°=500(米), 所以 BC=BD+CD=1000 米. 答案:1000 米

13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是

a,b,c,

= c,a=2 ,若 b∈[1,3],则 c 的最小值为

________.

【解析】由

= c,

可得:

= sinC,

即:3cosC= sinC,可得:tanC= .

故:cosC= ,

所以:c2=b2-2 b+12=(b- )2+9, 因为 b∈[1,3], 所以:当 b= 时,c 取得最小值 3. 答案:3 14.对于函数 f(x)= ,定义 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)](n∈N*). 已知偶函数 g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(1)=0;当 x>0, 且 x≠1 时,g(x)=f2015(x),则 g(x)的解析式为________. 【解析】因为 f1(x)=f(x)= (x≠1),

故 f2(x)=f[f1(x)]= =1- (x≠0,x≠1),

f3(x)=f[f2(x)]=

=x(x≠0,x≠1),

f4(x)=f[f3(x)]= (x≠0,x≠1), 故对任意的 n∈N*,有 f3n+i(x)=fi(x)(i=2,3,4), 于是 f2015(x)=f3×671+2(x)=f2(x)=1- (x≠0,x≠1); 故当 x>0,x≠1 时,g(x)=f2015(x)=1- .

又 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)=1- . 由 g(x)为偶函数, 当 x<0 时,-x>0,g(x)=g(-x)=1- =1+ .

因此 g(x)=

=1- .

答案:g(x)=115.已知点 M(4,0),点 P 在曲线 y2=8x 上运动,点 Q 在曲线(x-2)2+y2=1 上运动,则 的最小值是________. 【解析】如图,设圆心为 F,则 F 为抛物线 y2=8x 的焦点,该抛物线 的准线方程为 x=-2,设 P(x,y),由抛物线的定义:

|PF|=x+2,要使 最小,则|PQ|需最大,如图,|PQ|最大时,经过

圆 心 F , 且 圆 F 的 半 径 为 1 , 所 以 |PQ|=|PF|+1=x+3 , 且

|PM|=

=

=



所以

=

, 令 x+3=t(t ≥ 3) , 则 x=t-3 , 所 以

=

=t+ -6≥4,

当 t=5 时取“=,” 所以 的最小值是 4. 答案:4 16.已知 x,y 满足约束条件

当目标函数

z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取得最小值 的最小值为________.

时,(a+1)2+(b-1)2

【解析】画出满足约束条件

的可行域如图中阴影

部分所示,

目标函数 z=ax+by(a>0,b>0),即 y=- x+ ,显然当直线经过点 A 时,z 的

值最小,由

可得

即 A(3,1),故

3a+b= ,(a+1)2+(b-1)2 的最小值,即在直线 3a+b= 得它到点(-1,1)的距离的平方最小,即点

上找一点,使

(-1,1)到直线 3a+b= 的距离的平方 d2=

=

.

答案:

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