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2017-2018学期高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义 北师大版选修1-1_图文

第三章 变化率与导数 §2 导数的概念及其几何意义 学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系. 2.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义. 3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 导数的概念 思考 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系? 答案 平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时 变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢;当Δx趋于0时,平 均变化率 Δy Δx 趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时 变化率,它是一个固定值. 梳理 定义式 记法 lim x1 ? x0 f?xx1?1--fx?0x0?= f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx→0 Δx _f_′__(x_0_) 实质 函数y=f(x)在x=x0处的导数就是y=f(x)在x=x0处的 _瞬__时__变__化__率_ 知识点二 导数的几何意义 如图,Pn的坐标为(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…),P的坐标为(x0,y0), 直线PT为过点P的切线. 思考1 割线PPn的斜率kn是多少? 答案 割线 PPn 的斜率 kn=f?xxn?n--fx?0x0?. 思考2 当点Pn无限趋近于点P时,割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k 有什么关系? 答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k. 梳理 (1)切线的定义:当Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个 确定位置的直线PT称为 点P处 的切线. (2)导数f′(x0)的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线的斜率k, 即k= lim Δx→0 f?x0+ΔΔxx?-f?x0?=f′(x0) . (3)切线方程:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为__y_-__f(_x_0)_=__ f′(x0)(x-x0) . 题型探究 类型一 利用定义求导数 例1 求函数f(x)=3x2-2x在x=1处的导数. 解答 ∵Δy=3(1+Δx)2-2(1+Δx)-(3×12-2×1)=3(Δx)2+4Δx, ∴ΔΔyx=3?Δx?Δ2+x 4Δx=3Δx+4, ∴f′(1)= lim Δx→0 ΔΔyx=Δlixm→0 (3Δx+4)=4. 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下: (1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率ΔΔyx=f?x0+ΔΔxx?-f?x0?; (3)取极限,得导数 f′(x0)=Δlixm→0 Δy Δx. 反思与感悟 跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数. 解答 由导数的定义知,函数在 x=2 处的导数 f?2+Δx?-f?2? f′(2)= lim Δx→0 Δx , 而 f(2+Δx)-f(2)=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2)=-(Δx)2-Δx, -?Δx?2-Δx 于是 f′(2)=lim Δx→0 Δx =lim (-Δx-1)=-1. Δx→0 类型二 求切线方程 命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求: (1)点A处的切线的斜率; 解答 k= lim Δx→0 ΔΔyx=Δlixm→0 2?1+Δx?2-2×12 Δx 4Δx+2?Δx?2 = lim Δx→0 Δx =lim (4+2Δx)=4, Δx→0 ∴点A处的切线的斜率为4. (2)点A处的切线方程. 解答 点A处的切线方程是y-2=4(x-1), 即4x-y-2=0. 求曲线在某点处的切线方程的步骤 反思与感悟 跟踪训练2 曲线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标 是-3 . 答案 解析 lim Δx→0 ΔΔyx=Δlixm→0 ?2+Δx?2+1-22-1 Δx = lim Δx→0 (4+Δx)=4, 曲线y=x2+1在点(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2), 即y=4x-3. ∴切线与y轴交点的纵坐标是-3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程 例 3 求抛物线 y=14x2 过点(4,74)的切线方程. 解答 反思与感悟 过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0,y0); (2)建立方程f′(x0)= yx11- -yx00; (3)解方程得k=f′(x0),x0,y0,从而写出切线方程. 跟踪训练3 求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程. 解答 类型三 导数的几何意义的综合应用 例4 已知曲线f(x)=x2+1与g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直, 求x0的值. 解答 因为 f′(x0)=Δlixm→0 ?x0+Δx?2+Δx1-?x20+1?=Δlixm→0 (Δx+2x0)=2x0, g′(x0)=Δlixm→0 ?x0+Δx?3+Δx1-?x30+1?=Δlixm→0[(Δx)2+3x0Δx+3x20]=3x20, k1=2x0,k2=3x20, 因为切线互相垂直,所以k1k2=-1, 即 6x30=-1,解得 3 x0=- 36 6. 引申探究 若将本例的条件“垂直”改为“平行”,则结果如何? 解答 由例 4 知,f′(x0)=2x0,g′(x0)=3x20, k1=2x0,k2=3x20,由题意知 2x0=3x20,得 x0=0 或23. 反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率,已知切点可以求斜率, 反过来,已知斜率也可以求切点,从而可以与解析几何等知识 相联系. 跟踪训练4 已知直线l:y=4x+a与曲线C:y=x3-2x2+3相切, 求a的值及切点坐标. 解答


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