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2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题及答案(A卷)


高数 B 武汉大学数学与统计学院 2009—2010 第一学期《高等数学 B1》期末考试试题
一、 (42 分)试解下列各题: 1、计算 lim

x ? arct an x . 3 x ?0 ex ? 1

2、求解微分方程 y ?? ? 6 y ? ? 9 y ? 0 的通解。 3、计算

?

1 ?1

x 2 (1 ? 1 ? x 2 sin x )d x .

4、计算

?

?? 0

e ? x dx .

?x ? ? 5、求曲线 ? ?y ? ?
6、设 y ?
2

? ?

t 1 t 1

cos u du u ? 自 t ? 1 至 t ? 一段弧的长度。 sin u 2 du u

1 ,求 y (n ) . x ? 3x ? 2

xy 二、 分)已知 u ? e ,其中 y ? f (x ) 由方程 (8

?

y 0

et dt ?
2

?

x2 0

cos t d t 确定,求 d u .
dx

三、 分)设 x 1 ? 1 , x n + 1 ? 1 ? (8

xn 1 ? xn

(n ? 1, 2, ?) ,试证明数列 {x n } 收敛,并求 lim x n .
n ??

四、 分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。并说明此结论的几 (8 何意义。 五、 (15 分)已知函数 y ?

x3 ? 4 ,求: x2

1、函数 f (x ) 的单调增加、单调减少区间,极大、极小值; 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。 六、 (12 分)已知函数 y ? y (x ) 满足微分方程 y ?? ? y ? ? 2(1 ? x ) ,且 x 轴为曲线 y ? y (x ) 的一 条切线,在曲线 y ? y (x ) ( x ? 0 )上某 B 点处作一切线,使之与曲线、 x 轴所围平面图形的 面积为

1 ,试求: (1)曲线 y ? y (x ) 的方程; (2)切点 B 的坐标; (3)由上述所围图形绕 x 轴 12

旋转一周所得立体的体积。 七、 分)若 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续,且 f (a ) ? f (b) ? 0 及 f ?(a) f ?(b) ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( a , b ) (7 内至少存在一点 ? ,使 f (? ) ? 0 .

1

高数 B 2009—2010 第一学期《高等数学 B1》期末考试试题参考答案
一、 (42 分)试解下列各题:

x ? arctan x x ? arctan x 1、解: lim ? lim ? lim x3 x ?0 x ?0 x ?0 x3 e ?1

1?

1 1 ? x2 ? 1 3x 2 3

2 2、解:方程的特征方程为: r ? 6r ? 9 ? 0 ,其特征根为 r1 ? r2 ? 3 ,

故方程的通解为: y ? (c1 ? c2 x)e3x 3、解:原式= 2 ? x dx ?
1 2 0

2 3
??

x ?t ?? 4、解: ?0 e ? x dx ? 2?0 te ?tdt ? 2?0 td ( ?e ?t ) ? 2[?te ?t ]0 ? 2?0 e ?tdt ? 2

??

??

??

5、解: s ? ? 2 [x '(t )]2 ? [y '(t )]2dt ? ?1 1 6、解: y ?
1 1 ? x ?1 x ?2

?

?/2

(

cos t 2 sin t 2 ) ?( ) dt ? t t
(n 1 ) ?

?

?/ 2

1

1 ? dt ? ln t 2
n( ?

n y(n ) ? ( ?1 ) n ! [ ( 1? ?x

) ?

?x2 ( ?

)1 )

]
2 dy ? 2x cos x 2e ?y dx

二、 分)解: (8 故有

2 du dy = e xy (y ? x ) ,方程两边微分得: ey dy ? 2x cos x 2dx dx dx

2 du = e xy (y ? 2x 2 cos x 2e ?y ) dx

三、 分)解: x n ? 0 , x 2 ? x 1 ? (8

1 ? 0 ,因此 x 2 ? x 1 2

设 x n ? x n ?1 ,则 xn ?1 ? xn ? 1 ?
? x n 单调增加,且 x n ? 1 ?

xn x x n ? x n ?1 ? (1 ? n ?1 ) ? ?0 1 ? xn 1 ? xn ?1 (1 ? x n )(1 ? x n ?1)

x n ?1 1 ?2? ? 2 ,故 lim x n 存在 n ?? 1 ? x n ?1 1 ? x n ?1

设 lim x n ? a ,则: a ? 1 ?
n ??

a 1?a

解得 a ?

1? 5 1? 5 .因为 a 非负, ∴ lim x n ? n ?? 2 2

四、 分)证:设函数 f (x ) 在区间 (a, b) 内 f ?(x ) ? 0 , ?x1, x2 ? (a,b) ,且 x 1 ? x 2 ,函数 f (x ) 在 [x1, x 2 ] 上可 (8

导, 由拉格朗日中值定理得: f (x2 ) ? f (x1) ? f ?(? )(x 2 ? x1), ? ? (x1, x 2) , 由于 f ?(? ) ? 0, x2 ? x1 ? 0 ? f (x 2 ) ? f (x1) 由 x 1, x 2 的任意性, f (x ) 在 (a, b) 上单调增加。当 f (x ) 在 (a, b) 上导数为正时,函数曲线 y ? f (x ) 在 (a, b) 上切
线的斜率为正,即切线与 x 轴正向夹角为锐角。 五、 (15 分)解:定义域为 (??, 0) ? (0, ??)
y? ? 1 ? 8 令 y ? ? 0 ? 驻点 x ? 2 ,不可导点 x ? 0 x3

24 ?0 x4 1) 故单调增加区间为: (??, 0),(2, ??) ,单调减少区间为: (0, 2) 极小值为: f (2) ? 3 ,无极大值。 y '' ?
2)下凸区间为: (??, 0),(0, ??) ,无拐点,由 lim 又 lim
x3 ? 4 ? ? 故 x ? 0 为函数图形的铅直渐近线。 x ?0 , x2

f (x ) x3 ? 4 x3 ? 4 ? lim ?1 lim[f (x ) ? x ] ? lim[ 2 ? x ] ? 0 3 x ?? x ?? x ?? x x x 故 y ? x 为函数图形的斜渐近线。
x ??

六、 (12 分)解: (1)由观察法知曲线方程为: y ? x 2

2

或解微分方程: 特征方程为 r 2 ? r ? 0 ? r1 ? 0, r2 ? 1 , 故对应齐次方程的通解为 y ? c1 ? c2e x , 由于 r1 ? 0 , 所以微分方程的特解设为 y* ? x(ax ? b), y *?? ? 2a, y*? ? 2ax ? b ,从而有: 2a ? (2ax ? b) ? 2 ? 2x ? a ? 1,b ? 0 , 故 y ? c1 ? c2ex ? x 2 为微分方程的通解,又 y ? ? c2ex ? 2x ,由题设知 y(0) ? 0, y ?(0) ? 0 ? c1 ? 0, c2 ? 0 ,所以微 分方程满足初值条件的解为 y ? x 2 ,即曲线方程为: y ? x 2 (2)设切点 B 的坐标为 (a, a 2 ) ,则过点 B 的切线斜率为 y ?

x ?a

? 2a ,于是切线方程为 y ? a2 ? 2a(x ? a) ,和 x 轴

a 交点为 ( , 0) ,由 A ? 2
1 0

a 2 ?a a 1 x dx ? 2 ? ? ,得 a=1,因此切点坐标为 (1, 1) 。 ?0 2 12 12
a 2
1 1 1

(3)V ? ? ? y 2dx ? ? ?1 (2x ? 1)2dx ? ? ? x 4dx ? ? ? (2x ? 1)2dx ? ? 30
2 0 12

f ( x) ? f (a) 七、 分)证:因为 f ?(a) f ?(b) ? 0 ,不妨设 f ?(a) ? 0, f ?(b) ? 0 ,于是有: lim (7 ? f ?(a) ? 0 x ?a? x?a f ( x1 ) ? f (a) ? 0 ,由 x1 ? a ? 0 有 f ( x1) ? f (a) ? 0 所以存在 ?1 ? 0 ,使当 x1 ? (a, a ? ?1 ) 时,有 x1 ? a

又因为 xlim ?b?

f ( x2 ) ? f (b) f ( x) ? f (b) ? 0 ,由 ? f ?(b) ? 0 所以存在 ?2 ? 0 ,使当 x2 ? (b ? ?2 , b) 时,有 x2 ? b x ?b

,取 ?1 , ? 2 足够小,使 a ? ?1 ? b ? ?2 又因为 f ( x ) 在 [ a, b] 上连续,由介值定理, 在 ( x1, x2 ) ? (a, b) 内至少存在一点 ? ,使 f (? ) ? 0 。

x2 ? b ? 0 有 f (x2 ) ? f (b) ? 0

3



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