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高考数学一轮复习配套练习阶段知能检测6


阶段知能检测(六)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若 a2<b2,则下列不等式成立的是( A.a<b C.|a|<|b| 1 1 B.a2>b2 D.a3<b3 ) )

2.如果 a>b>c,且有 a+b+c=0,则( A.a· b>a· c C.a· |b|>c· |b| B.a· c>b· c D.a2>b2>c2

?x+2y-5≥0, 3.(2011· 浙江高考)若实数 x,y 满足不等式组?2x+y-7≥0, ?x≥0,y≥0,
的最小值是( ) D.28 A.13 B.15 C.20

则 3x+4y

1 1 1 3 4.设 n 为正整数,f(n)=1+2+3+?+n,经计算得 f(2)=2,f(4)>2,f(8) 5 7 >2,f(16)>3,f(32)>2,观察上述结果,可推测出一般结论( A.f(2n)> 2n+1 2 n+2 B.f(n2)≥ 2 D.以上都不对 ) )

n+2 C.f(2n)≥ 2

5. 已知不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集, 则实数 a 的取值范围是( A.-4≤a≤4 C.a≥4,或 a≤-4 B.-4<a<4 D.a<-4,或 a>4 )

2 8 6.已知 x+y=1(x>0,y>0),则 x+y 的最小值为(

A.12 C.16

B.14 D.18

7.若不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x) 的图象为( )

2 ?x -4x+6,x≥0, 8.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ?x+6,x<0,

)

A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)

B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)

9 . (2011· 广东高考 ) 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

?0≤x≤ ?y≤2, ?x≤ 2y

2, 给定,若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z

→· → 的最大值为( =OM OA A.4 2 B.3 2

) C.4 D.3

10. 已知正项等比数列{an}满足: a7=a6+2a5, 若存在两项 am, an 使得 aman 1 4 =4a1,则m+n的最小值为( 3 A.2 25 C. 6 5 B.3 D.不存在 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线 上) 11.若点 P(x,y)在直线 x+3y-2=0 上,则 3x+27y 的最小值是________. )

?x≤2 12. 若实数 x, y 满足?y≤2, ?x+y≥2,

y 则目标函数 z= 的最大值是________. x+1

13.给出下列命题: 1 命题 1:点(1,1)是直线 y=x 与双曲线 y= x的一个交点; 8 命题 2:点(2,4)是直线 y=2x 与双曲线 y= x的一个交点; 27 命题 3:点(3,9)是直线 y=3x 与双曲线 y= x 的一个交点; ?? 请观察上面命题,猜想出命题 n(n 是正整数)为________. 14.若 loga(a2+1)<loga(2a)<0,则 a 的取值范围是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) b2 a2 15.(本小题满分 12 分)已知 a>0,b>0,求证: a + b ≥a+b. 16. (本小题满分 13 分)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴有 两个不同的交点,若 f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明:a是 f(x)=0 的一个根; 1 (2)证明:a>c. 17.(本小题满分 13 分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭 载实验,计划搭载新产品 A、B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实 验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如表:

产品 A(件) 研制成本与搭载 费用之和(万元/件) 金额 300 万元 产品重量(千克/件) 重量 110 千克 预计收益(万元/件) 20

产品 B(件) 30 计划最大资

10

5

最大搭载

80

60

试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,

最大收益是多少? 18.(本小题满分 14 分)祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省 区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园, 台湾农民在那里申办了个 体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆 一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费 12 万美元,以后 每年增加 4 万美元, 每年销售蔬菜收入 50 万美元. 设 f(n)表示前 n 年的纯利润(f(n) =前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额). (1)从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案; ①年平均利润最大时以 48 万美元出售该厂; ②纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂. 问哪种方案更合算? 19.(本小题满分 14 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图 1(1)、(2)、 (3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方 形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

图1 (1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式, 并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1 1 1 1 + + +?+ 的值. f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

20.(本小题满分 14 分)(2012· 佛山模拟)设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈[- 1,1]). (1)若 t>0,求 f(x)的最小值 h(t); (2)对于(1)中的 h(t),若 t∈(0,2]时,h(t)<-2t+m2+4m 恒成立,求实数 m 的 取值范围.

答案及解析
1. 【解析】 【答案】 2. 【解析】 ∵a2<b2,∴ a2< b2,即|a|<|b|. C ∵a>b>c,a+b+c=0,

∴a>0,c<0,∴a· b>a· c. 【答案】 A

3. 【解析】

作出可行域,如图所示,两条直线的交

点为 A(3,1),作直线 3x+4y=0,并将它向右上平移,当过 点 A(3,1)时,3x+4y 取得最小值,且最小值为 3×3+4×1 =13. 【答案】 4. 【解析】 A 3 4 5 6 7 ∵f(2)=2,f(4)>2=2,f(8)>2,f(16)>3=2,f(32)>2,

n+2 ∴猜想:f(2n)≥ 2 . 【答案】 5. 【解析】 【答案】 C 由题意知 Δ=a2-16>0,解得 a>4 或 a<-4. D 2y 8x x × y =18,当且

2 8 2y 8x 6. 【解析】 x+y=(x+y)(x +y )=10+ x + y ≥10+2 2y 8x 仅当 x = y 时取等号. 【答案】 7. 【解析】 D

方程 ax2-x-c=0 的两根为 x1=-2,x2=1,

1 ? ?a=-2+1, 则有? c - ? ? a=-2×1,

?a=-1 ∴? . ?c=-2 ∴f(x)=-x2-x+2, ∴f(-x)=-x2+x+2, 令 f(-x)=0 得 x=2 或 x=-1,选 B. 【答案】 8. 【解析】 ?x<0, ? ?x+6>3, 解得-3<x<1 或 x>3. 【答案】 A B ?x≥0, 易知 f(1) = 3 ,则不等式 f(x) >f(1) 等价于 ? 2 或 ?x -4x+6>3

9. 【解析】

?0≤x≤ 2, 由线性约束条件?y≤2, ?x≤ 2y,

画出可行域如图所示,目标函

→· → = 2x+y,将其化为 y=- 2x+z,结合图形可知,目标函数的图 数 z=OM OA 象过点( 2,2)时,z 最大,将点( 2,2)的坐标代入 z= 2x+y,得 z 的最大值为 4.

【答案】 10. 【解析】

C 设正项等比数列{an}的公比为 q,且 q>0.

由 a7=a6+2a5,得 q2-q-2=0, 解得 q=2. 由 aman=4a1,得 2m+n-2=24, 即 m+n=6. 1 4 1 1 4 5 1 4m n 5 4 3 故m+n=6(m+n)(m+n)=6+6( n +m)≥6+6=2, 当且仅当 n=2m 时等号

成立. 【答案】 11. 【解析】 A 由题意知,x+3y=2,

∴3x+27y≥2 3x· 27y=2 3x+3y=6, 当且仅当 3x=27y, 1 即 x=1,y=3时等号成立. 【答案】 6

12. 【解析】 线性约束条件对应的可行域为△ABC(如图). 而 y 2 z= 为点(x, y)与(-1,0)连线的斜率. 由图形知, zmax= = x+1 0+1 2. 【答案】 13. 【解析】 2 观察所给命题知,命题 n 中交点坐标为(n,n2),

n3 直线方程为 y=nx,双曲线方程为 y= , x n3 故命题 n 是“点(n,n2)是直线 y=nx 与双曲线 y= x 的一个交点”. 【答案】 14. 【解析】 n3 点(n,n )是直线 y=nx 与双曲线 y= x 的一个交点
2

∵a2+1≥1 且 loga(a2+1)<0,∴0<a<1,

由 loga(a2+1)<loga(2a),得 a2+1>2a,恒成立, 1 由 loga(2a)<0 得 2a>1,∴a>2. 1 综上知2<a<1. 【答案】 15. 【证明】 = 1 (2,1) b2 a2 b2 a2 a + b -(a+b)=( a -a)+( b -b)

?b+a??b-a? ?a+b??a-b? + a b

1 1 1 =(a-b)(a+b)(b-a)=ab(a-b)2(a+b), ∵a>0,b>0, 1 ∴ab>0,a+b>0,(a-b)2≥0, 1 ∴ab(a-b)2(a+b)≥0, b2 a2 即 a + b -(a+b)≥0, b2 a2 ∴ a + b ≥a+b. 16. 【证明】 (1)∵f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,

∴f(x)=0 有两个不相等的实根 x1,x2. ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的一个根. c 又 x1· x2=a, 11 ∴x2=a(a≠0). 1 ∴a是 f(x)=0 的一个根. 1 1 (2)假设a<c,又a>0, 1 由 0<x<c 时,f(x)>0,知 f(a)>0, 1 1 这与 f(a)=0 矛盾,∴a≥c. 1 又∵a≠c. 1 ∴ >c. a

17. 【解】

设搭载产品 A x 件,产品 B y 件,

预计总收益 z=80x+60y.

?20x+30y≤300, 则?10x+5y≤110, ?x∈N,y∈N,
大值,

作出可行域,如图.

作出直线 l0:4x+3y=0 并平移,由图象得,当直线经过 M 点时 z 能取得最

?2x+3y=30, ?x=9, 由? 解得? 即 M(9,4). ?2x+y=22, ?y=4, 所以 zmax=80×9+60×4=960(万元). 即搭载产品 A 9 件,产品 B 4 件,可使得总预计收益最大,为 960 万元. 18. 【解】 由题意知,每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列,

设纯利润与年数的关系为 f(n), 则 f(n)=50n-[12n+ =-2n2+40n-72. (1)获取纯利润就是要求 f(n)>0,即-2n2+40n-72>0, 解得 2<n<18.又 n∈N,故从第三年开始获利. f?n? 36 (2)①年平均利润= n =40-2(n+ n )≤16. 当且仅当 n=6 时取等号. 故此方案共获利 6×16+48=144(万美元),此时 n=6. ②f(n)=-2(n-10)2+128, 当 n=10 时,f(n)max=128 故第②种方案共获利 128+16=144(万美元). 故比较两种方案,获利都是 144 万美元. 但第①种方案只需 6 年, 而第②种方案需 10 年,故选择第①种方案更合算. 19. 【解】 (1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, n?n-1? 2 ×4]-72

∴f(5)=25+4×4=41.

(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(n)-f(n-1)=4(n-1), f(n-1)-f(n-2)=4· (n-2), f(n-2)-f(n-3)=4· (n-3), ? f(2)-f(1)=4×1, ∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+?+2+1] =2(n-1)· n, ∴f(n)=2n2-2n+1. 1 1 = 2 f?n?-1 2n -2n+1-1

(3)当 n≥2 时, 1 1 1 =2( -n), n-1 ∴

1 1 1 1 + + +?+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1 1 1 1 1 1 =1+2(1-2+2-3+?+ -n) n-1 1 1 3 1 =1+2(1-n)=2-2n. 20. 【解】 (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1,

①当-t<-1,即 t>1 时,f(x)在[-1,1]上单调递增,f(x)的最小值为 f(-1)=-2t2+2t-1; ②当-1≤-t<0,即 0<t≤1 时, f(x)在[-1,1]上的最小值为 f(-t)=-t3+t-1;
3 ?-t +t-1 ∴h(t)=? 2 ?-2t +2t-1

t∈?0,1] t∈?1,+∞?

(2)令 g(t)=h(t)+2t
3 ?-t +3t-1 =? 2 ?-2t +4t-1

t∈?0,1] t∈?1,2]

.

①0<t≤1 时,由 g′(t)=-3t2+3≥0, ∴g(t)在(0,1]上单调递增, ②1<t≤2 时, g(t)=-2t2+4t-1=-2(t-1)2+1, g(t)在(1,2]上单调递减, 由①、②可知,g(t)在区间(0,2]上的最大值为 g(1)=1. 所以 h(t)<-2t+m2+4m 在(0,2]内恒成立,等价于 g(t)<m2+4m 在(0,2]内恒 成立,即只要 1<m2+4m 即可, 解 m2+4m-1>0 得 m<-2- 5或 m>-2+ 5. 所以 m 的取值范围为 (-∞,-2- 5)∪(-2+ 5,+∞).



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