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高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 解读点、线、面间的位置关系素材 新人教A版必修2


解读点、线、面间的位置关系 一、知识点精析 1、平面的概念 (1) “平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念,它与点、线一样,都是从实际生 活中抽象出来的数学概念. (2)平面的无限延展性 平面内包含着无数条直线,而直线是可以无限延伸的,因此平面也必然具有无限延展的 性质.日常接触到的很多平面的实例都只是平面的一部分,用平行四边形来表示平面,也只 能画出平面的一部分. 2.平面的基本性质 (1) “有且只有一个”的含义: “有”说明图形是存在的, “只有一个”说明图形是唯一的.数学中的“只有一个”并不 保证符合条件的图形一定存在,所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个” ,符合某一 条件的图形既存在,而且只能有一个,就说明这个图形完全是确定的,因此“有且只有一个” 和“确定”是同义词. (2)公理 1 是判定直线在平面内或点在平面内的工具. 例如: A ? ? 、 B ? ? ? AB ? ? ,又如 A ? a , a ? ? ? A ? ? . (3)公理 2 给出了确定两个相交平面的交线的方法.根据公理 2 要找到两个平面的交线, 只要找出它们的两个公共点,经过这两点的直线就是它们的交线,同时公理 2 还可以用来证 明点在直线上,即如果 ? ? ? ? a , A ? ? 且 A ? ? ,则 A ? a ,进而可证明三点共线. (4)公理 3 及其推论是确定平面和判定平面重要的依据. 在立体几何中,常常需将空间图形问题转化为平面图形的问题,进而利用平面几何知识 来求解,因此要确定诸元素是否在同一个平面内,而公理 3 及其推论正是起着确定平面的作 用. 3.两条直线的位置关系 (1)两条直线的三种位置关系: a.相交:共面,有且只有一个公共点. b.平行:共面,没有公共点. c.异面:不同在任何一个平面内,没有公共点. (2)异面直线的判定方法: a.定义:不同在任何一个平面内的两条直线,称为异面直线. b.判定定理:若 l ? ? , A ? ? , B ? ? , B ? l ,则直线 AB 和 l 是异面直线. (3)公理 4(平行公理) 、等角定理及推论 公理 4 是论证平行问题的主要根据,也是确定平面的基础.等角定理及其推论是证明空 间两角相等的重要理论依据. (4)异面直线所成的角的概念及其取值范围 a. 异面直线所成的角的定义中, 异面直线 a 和 b 所成的角和 a? 与 b ? 所成的锐角 (或直角) O O 相等,但与点 的位置无关,因此在解具体问题时,可将点 取在 a 或 b 上,或者取几何体 中具有特殊性的点. b.要明确过空间一点 O ,引直线 a 的平行线的方法和依据.因为 O ? a ,所以点 O 和 a 确定一个平面 ? ,在面 ? 内过点 O 作 a ∥ a? ,作 b ∥ b? . c.两条异面直线互相垂直,它们所成的角为 90°,今后再说两条直线互相垂直,它们可 能相交,也可能异面. d.异面直线所成的角 ? 的范围是 0 ≤? ≤ 90 ? ? 二、典例解析 D , A B ∥ D C 例 1 已 知 四 边 形 A B C 中 , AB,BC,DC,AD 所 在 直 线 分 别 与 平 面 ? 交 于 点 E,G,F,H ,求证: E,F,G,H 必共线. 证明:如图 1,∵ AB ∥ CD , ∴ AB,CD 共面. 设 A,B,C,D 确定平面 ? , ∵点 E,F,G,H 分别在直线 AB,CD,BC,AD 上, ∴ E,F,G,H 都在 ? 内, 又∵点 E,F,G,H 在平面

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