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宁夏银川一中2011-2012学年高二上学期期末考试数学(理)试题


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宁夏银川一中 2011-2012 学年高二上学期期末考试

数学(理)试题 新课标人教 B 版
一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 1.双曲 线
x
2

?

y

2

? ? 1 的渐近线方程为(

) C. y
? ? 1 2

2

4

A. y ? ? 2 x 2.曲线 y= A.y=x-2 3. 已知 a A.-4
x x? 2

B. x ? ? 2 y

x

D. x

? ?

1 2

y

[

在点(1,-1)处的切线方程为( B. y=-3x+2 C. y=2x-3 ,则 x =(

) D. y=-2x+1 )

? ( ? 2 , 5 , 3 ), b ? ( ? 4 , 2 , x ) 且 a ? b ? 0

B. -6

C. -8

D. 6

4. 过抛物线 y2=4x 的焦点作 直线 l , 交抛物线于 A, 两点, B 若线段 AB 的中点的横坐标为 3, 则∣AB∣等于( A.10 5.与曲线 A.
y
2

) B. 8 C. 6
x
2

D. 4
? y
2

x

2

? x
2

y

2

? 1 共焦点,而与曲线 x
2

y

2

? 1 共渐近线的双曲线方程为( x
2



24 ?

49 ? 1 B. ? y
2

36 ? 1 C. ?

64 ? 1 D. x
2

?

y

2

?1

16

9

16

9

9

16

9

16

6. 设 f′ (x)是函数 f(x)的导函数,y =f′ (x)的图象如图所示, 则 y=f(x)图象可能为( ) 0

f′ (x) 1 2 x

A 7. y
? 1 3 x
3

B
? ax

C )

D

在[0,1]上是增函数,则 a 的取值范围为( B. a <0 C. a ≥0 D. a ≤0

A. a >0

8.动点到点(3,0)距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则动点轨迹是( A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线一支 D.抛物线

)

1

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9. 设 P 为 双 曲 线 x ?
2

y

2

12

? 1 上 的 一 点 , F1 、 F2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 若

PF 1 : PF 2 ? 3 : 2 ,则△PF1F2 的面积为(

) D.24

A. 6 3

B.12

C.12 3

10. 如图长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角的大小是( A.60
0 3

)

B.30

0

C.45

0

D.90

0

11.若函数 f(x)=x -3bx+3b 在( ? ? ,?? ) 内存在极值,则( A.b<0 12.
f ( x ) 是定义在

) D.b>1 ,则不等式

B.b<1
R 上的偶函数

C.b>0

, 当 x ? 0时 , f ( x ) ? x ? f ? ( x ) ? 0 , 且 f ( ? 4 ) ? 0

xf ( x ) ? 0

的解集为(

) B. ( ? 4 , 0 ) ? ( 0 , 4 ) C .
( ?? , ? 4 ) ? ( 4 , ?? )

A. ( ? 4 , 0 ) ? ( 4 , ?? ) D. ( ?? , ? 4 ) ? ( 0 , 4 )

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13.抛物线 y ?
1 4 x 的焦点坐标是
2

.

14.函数 f(x)=x3-12x 在区间[-3,3]上的最大值是___________. 15.如图,600 的二面角的棱上有两点 A,B,直线 AC, BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB, 已知 AB=4,AC= 6,BD=8,则 CD=_____________. 16 . 若 直 线
l

的方向向量为

a ? (1 ,0 ,2 )

,平面

?

的法向量为

u ? ( ? 2 ,0 ,? 4 )

,则直线 l 与平面 ? 的关系为__________.

三、解答题: 17. (本小题满分 10 分) 已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3 x ? y
2 2

? 1;

(1)当 a 为何值时,直线与双曲线有一个交点; (2)直线与双曲线交于 P、Q 两点且以 PQ 为直径的圆过坐标原点,求 a 值。

18. (本题满分 12 分)

2

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设函数 f ( x ) ?

1 2

x e .

2

x

(1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒 成立,求实数 m 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 如图, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是正 方形, 点 PA ? AD ? 2 , E 、F 、G 分别为线段 P A 、P D 和
C D 的中点. 在线段 CD 上是否存在一点 Q ,使得点

A到

平面 EFQ 的距离恰为

4 5

?若存在,求出线段 CQ 的长;

若不存在,请说明理由.

20. (本题满分 12 分) 已
f (x) ? x
3


? ax
2 2





? bx ? 11 , 且 f ( x ) 在 ( ?? , ? 1 ), ( 2 , ?? ) 上单调递增, (-1,2) 在 上单调递减,

又函数 g ( x ) ? x ? 4 x ? 5 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求证当 x ? 4 时 , f ( x ) ? g ( x );

21. (本题满分 12 分)
? 如 图 所 示 , 在 直 三 棱 柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中 , ? A C B ? 9 0 , A B ? 2 , B C ? 1 ,

A A1 ?

6 , D 是棱 C C 1 的中点.

(1)证明: A1 D ? 平面 A B 1 C 1 ;

3

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( 2)求二面角 B ? A B 1 ? C 1 的余弦值.

[来源:Z*xx*k.Com]

22. (本题满分 12 分) 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 Q:
x
2

?

y

2

? 1 的中心 O,焦点与椭圆 Q 的右焦点重合,

4

3

点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )( x 1 x 2 ? 0 ) 是抛物线 D 上的两个动点,且 | OA ? OB |? | OA ? OB | (1)求抛物线 D 的方程及 y1y2 的值; (2)求线段 AB 中点轨迹 E 的方程; (3)在曲线 E 上寻找一点,使得该点与直线 y ?
1 2 x 的距离最近.

参考答案
一、选择题: 2 题号 1 D 答案 A 二、填空题: 13.(0,1) 14.16 三、解答题: 17.①a= ?
3

3 B 15. 2
6

4 B

5 A 16. 垂直

6 C

7 C

8 D

9 B

10 D

11 C

12 A

17

或 a= ?

②a= ? 1

4

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(2)令: f ( x ) ? xe
'

x

?

1 2

x e

2

x

?

e

x

x(x ? 2) ? 0

2

∴x=0 和 x=-2 为极值点
? f (?2) ? 2 e
x

, f ( 2 ) ? 2 e , f ( 0 ) ? 0 ,? f ( x ) ? [ 0 , 2 e ]
2 2

∴m<0 19.假设在线段 CD 上存在一点 Q 满足条件,设点 Q ( x 0 , 2 , 0 ) ,平 面 EFQ 的法向

量为
? n ? EF ? 0 ? n ? ( x, y, z ) , 则 有 ? ? n ? EQ ? 0 ?
EA ? n

得 到 y ? 0 , z ? xx

0

,取

x ?1

,所以

n ? (1, 0 , x 0 )
2 3

,则
n

? 0 .8
2 3
3 2

,又 x0

? 0

,解得 x0

?

4 3

, 所以 点 Q (

4 3

,2 ,0 )


2 3

CQ ? ( ?

,0 ,0 )

, CQ 则

?

.所以在线段 CD 上存在一点 Q 满足条件, 且长度为

.

20.①f? (x)=3x2+2ax+b
?2a 3 b 3

=-1+2

a=b=6

=-1×2
3 2

∴f(x)=x3-

x2-6x-11
3 2

②令 f(x)=f(x)-g(x)=x3-

x2-6x-11-x2+4x-5=x3-

5 2

x2-2x-16

f? (x)=3x2-5x-2=(x-2)(3x+1) ∵x>4 时 f? (x)>0 ∴f(x)>f(4) ∴f(x)>0 即 f(x)>g(x)

5

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设面 ABB1 的法向量为 n

? ( x, y, z)

? n ? AB ? 0 ? ( x , y , z ) ? (1 ,0 , ? 3 ) ? 0 ? ? ? ? ? ? ( x , y , z ) ? (1 , 6 ,? 3 ) ? 0 ? n ? AB 1 ? 0 ? ?

?x ? ? ? ? ?x ? ?

3z ? 0 6y ? 3z ? 0

? n ? (

3 , 0 ,1 )

cos ? n ? A 1 D ??

n ? A1 D | n || A 1 D |

? 2?

? 6 4

3 ? 3

? ?

6 6

∴余弦值 ?

6 6
4 ? ? y1 ? k ? ? 4y ? 0 ? ? 4 ? ?4k ? y2 ? 1 ? ? k ?

22.①y2=4x

? y ? kx ? ? ky ? 2 ? y ? 4x ?

2

∴y1y2=-16
? ? x1 ?x ? ②? 0 ? y ?y ? 1 0 ?
? y
2 0

x1 ? x2 2 ? y2 2 ? 4

2

? 2

y2 4

2

?

( y1 ? y 2 )

2

? 2 y1 y 2

?

(2 y 0 )

2

? 32

8

8

? 2x0 ? 8

( x 0 ? 0)

|

1 2

x0 ? y0 | ? 1 4 ?1

|

1 2

(

y0 ? 8 2 5 2

2

) ? y0 | ?

d ?

| y0 ? 8 ? 4 y0 | 2 5

2

?

| ( y 0 ? 2) 2 5

2

? 4|

∴ y0

? 2 , d min

? 2

4 5

?

2 5

5

6



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