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专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质


专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
函数、 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质

【最新考纲透析】 最新考纲透析】
1.函数 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数。 (3)了解简单的分段函数,并能简单应用。 (4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇 偶性的含义。 (5)会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景。 (2)理解有理指数幂的含义,了解褛指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点。 (4)知道指数函数是一类重要的函数模型。 3.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数;了解对数在简化运算中的作用。[来源:学§科§网 Z§X§X§K] (2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。 (3)知道对数函数是一类重要的函数模型。 (4)了解指数函数 y = a x 与对数函数 y = log a x 互为反函数( a > 0, 且a ≠ 1 ) 。 4.幂函数 (1)了解幂函数的概念 (2)结合函数 y = x, y = x , y = x , y =
2 3 1 1 , y = x 2 的图象了解它们的变化情况。 x

【核心要点突破】 核心要点突破】

要点考向一: 要点考向一:基本初等函 数问题 考情聚焦 考情聚焦:1.一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数, 在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。 2.常与函数的性质、方程、不等式综合命题,多以选择、填空题的形式出现,属容易 题。 考向链接: 考向链接:1.一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、 图象和性质是解决此类题目的关键,同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。 2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。 例 1: 2010·全国高考卷Ⅱ文科·T4)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 : 2010·全国高考卷Ⅱ文科· ( (A) y= e (C) y= e
x +1

-1(x>0) -1(x ∈ R)

(B) )y= e (D)y= e

x ?1

+1(x>0)

x +1

x ?1

+1 (x ∈ R)

【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。 【思路点拨】运用求反函数的方法解。 【规范解答】 选 D,y=1+ln(x-1) ,ln(x-1)=y-1,x-1=e y -1 ,所以反函数为 y= e
x ?1

+1 (x

∈ R)
【方法技巧】求反函数的步骤: (1)反 解 x,即用 y 表示 x. (2)把 x、y 互换, (3)写出反函数的定义域,即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。 天津高考 高考文 ( , ( 例 2: 2010· (2010· 天津高考文科· 6) a = log 5 4,b = log5 3) c = log 4 ,则 T 设
2 5



(A)a<c<b

(B) )b<c<a

(C) )a<b<c

(D) )b<a<c

【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。 【思路点拨】根据对数的性质及对数函数 y = log 5 x 的图像,可得 0 < log 5 3 < log 5 4 < 1 ,

c = log 4 5 > 1 。
【规范解答】选 D,由对数函数 y = log 5 x 的图像,可得 0 < log 5 3 < log 5 4 < 1 ,

∴ b = (log 5 3) 2 < log 5 4 ,又 c = log 4 5 > 1,∴ b < a < c 。
【方法技巧】比较对数函数值的大小问题,要特别注意分清底数是否相同,如果底数相同, 直接利用函数的单调性即可比较大小;如果底数不同,不仅要利用函数的单调性,还要

借助中间量比较大小。

要点考向二 要点考向二:函数与映射概念的应用问题 考情聚焦 考情聚焦:1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函 数值、解析式的确定与应用。 2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题,属低、中档题。 考向链接:1.求函数定义域的类型和相应方法。 考向链接: 2.求 f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,面对于分段函数的求值问题,必 须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。 3.求函数的解析式,常见命题规律是:先给出一定的条件确定函数的解析式,再研究函 数的有关性质;解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。 4.映射个数的计算一般要分类计数。

例 3: 2010·天津高考理科·T8)若函数 f(x)= ?log ( ? x), x < 0 ,若 f(a)>f(-a),则 : 010·天津高考理科· ( 1

?log 2 x, x > 0, ? ? ?
2

实数 a 的取值范围是 (A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞)

(

) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

【命题立意】考查对数函数的图像和性质。 【思路点拨】对 a 进行讨论,通过图像分析 f(a)>f(-a)对应的实数 a 的范围。 【规范解答】选 C,当 a>0,即-a<0 时,由 f(a)>f(-a)知 log 2 a > log 1 a ,在同一个坐标系
2

中画出 y = log 2 x 和 y = log 1 x 函数的图像,由图像可得 a>1;当 a<0,即-a>0 时,同理
2

可得-1<a<0,综上可得 a 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞) 。 要点考向三 函数图象问题 来源 来源:学科网 要点考向三:函数图象问题[来源 学科网 ZXXK] 考情聚焦 ,是研究函数性质、方程、不等 考情聚焦:1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏” 式的重要武器,已成为各省市高考命题的一个热点。 2.常以几类初等函数的图象为基础,结合函数的性质综合考查,多以选择、填空题的形 式出现。 考向链接: 考向链接:1.基本初等函数的图象和性质,函数图象的画法以及图象的三种变换。

2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系、结合图 象研究。 3.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。
x 2 例 4: 2010·山东高考理科·T11)函数 y = 2 ? x 的图象大致是( : 2010·山东高考理科· 11) (



【命题立意】本题考查函数的图象,函数的基础知识以及数形结合的思维能力, 考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。 【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析. 【规范解答】选 A,因为当 x=2 或 4 时, 2 ? x = 0 ,所以排除 B、C;当 x=-2 时,
x 2

2 -x =

x

2

1 ? 4<0 ,故排除 D,所以选 A. 4
要点考向四 函数性质问题 要点考向四:函数性质问题

考情聚焦 考情聚焦:该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题, 且常考常新,既有小题,也有大题,主要从以下三个方面考查: 1.单调性(区间)问题,热点有: (1)确定函数单调性(区间)(2)应用函数单 调性 ; 求函数值域(最值) 、比较大小、求参数的取值范围、解(或证明)不等式。 2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。 3.最值(值域)问题,考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。 辽宁文数) (21) (本小题满分 12 分) 例 5: 2010 辽宁文数) : ( 已知函数 f ( x ) = ( a + 1) ln x + ax 2 + 1 . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ≤ ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≥ 4 | x1 ? x2 | . 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ∞ ), f ′( x ) =

a +1 2ax 2 + a + 1 + 2ax = . x x

当 a≥0 时, f ′( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ∞ )单调增加;

当 a≤-1 时, f ′( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ∞ )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ′( x ) =0,解得 x= ?

a +1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a +1 )时, f ′( x ) >0; 2a

x∈( ?

a +1 ,+ ∞ )时, f ′( x ) <0, 故 f(x)在(0, 2a

a +1 a +1 )单调增加,在( ? , 2a 2a

+ ∞ )单调减少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ∞ )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ 4 x1 ? x2 等价于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则

g ′( x) =


a +1 + 2ax +4 x

2ax 2 + 4 x + a + 1 . x ?4 x 2 + 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

于是 g ′( x ) ≤

从而 g(x)在(0,+ ∞ )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即

f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ∞ ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ 4 x1 ? x2 .

【高考真题探究】 高考真题探究】
1. (2010·上海高考理科·T8)对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)= log a ( x + 3) 的反函 2010·上海高考理科· 数的图像都经过点 P,则点 P 的坐标是 【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质. 【思路点拨】 根据对数函数的性质找到原函数过的定点, 再由反函数的性质找到关于直线 y=x 的对称点. 【规范解答】 ( 0,?2) .因为函数 f ( x ) = log a ( x + 3) 的图像过定点 ( ?2,0) ,由反函数的 性质可知,反函数的图像过定点 ( 0,?2) .

2. (2010·全国Ⅰ理科·T8)设 a = log 3 2 , b = ln 2 , c = 5 2010·全国Ⅰ理科· A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a

?

1 2

,则( )

【命题立意】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小 的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用以及数形结合的数学思想. 【思路点拨】利用换底公式,将 a = log 3 2 , b = ln 2 变成以 2 为底的对数.根据对数函数 和指数函数的图像进行分析. 【规范解答】选 C. a= log 3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log 2 3 > log 2 e > 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 > 2 = log 2 4 > log 2 3 ,所以 c < a ,综上 c<a<b. 5

4x + 1 的图象( ) 3. (2010·重庆高考理科·T5)函数 f ( x ) = 2x
A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

【命题立意】本小题考查函数的对称性,考查奇函数、偶函数的概念,考查运算求解的 能力,考查数形结合的思想方法. 【思路点拨】根据选项,可以判断函数 f ( x ) 是否为奇函数、偶函数,即判断 f ( ? x) 与

f ( x) 的关系;如果不是,再判断选项 B,C 是否正确.
【规范解答】选 D 【解法 1】 f ( ? x ) =

4? x + 1 (4 ? x + 1) ? 4 x 1 + 4x = = ?x 2x 2? x 2? x ? 4 x 2 ?2

=

4x + 1 = f ( x) ,是偶函数,图象关于 y 轴对称; 2x 4 x + 1 (2 x ) 2 + 1 【解法 2】 f ( x ) = = 2x 2x

= 2 x + 2? x ,有 f (? x) = 2? x + 2 x = f ( x) ,所以函数 f ( x ) =

4x + 1 的图象关于 y 轴对称. 2x

【方法技巧】 (1)指数运算 4 = (2 ) 在变形整理中起其重要作用;
x x 2

(2)分式加法的逆向运算是本题的变形技巧. 4. (2010·北京高考文科·T6)给定函数① y = x ,② y = log 1 ( x + 1) ,③ y =| x ? 1| ,
2 1 2

④ y = 2 x +1 ,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④

【命题立意】考查几类基本初等函数的单调性及简单的图像变换。 【思路点拨】画出各函数的图象,再判断在(0,1)上的单调性。 【规范解答】选 B。各函数在(0,1)上的单调性:①增函数;②减函数;③减函数;④增 函数。[来源:学科网 ZXXK][来源:学科网 ZXXK] 5. 10.(2010·浙江高考理科·T10) 设函数的集合 P = ? f ( x ) = log 2 ( x + a ) + b a = ?

? ?

? 1 1 , 0, ,1; b = ?1, 0,1? ,平面上点的集合 2 2 ?

? ? 1 1 Q = ?( x, y ) x = ? , 0, ,1; y = ?1, 0,1? ,则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x) 的图象 2 2 ? ?
恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是( ) .. (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

【命题立意】本题考查对数型函数的图象,集合元素的表示,考查学生对数运算能力和数形 结合的思想。 【思路点拨】把 Q 中的点表示在坐标 系中,逐个分析 P 中的每一个函数的图像,找出恰过 两点的函数。 【规范解答】选 B。 Q 中有 12 个点,表示在坐标系中;P 中共有 12 个函数,逐个分析 P 中的每一个函数的图像, 可知恰过两个点的函数有 f ( x ) = log 2 x , f ( x ) = log 2 x + 1 f ( x ) = log 2 ( x + ) ,

1 2

1 f ( x) = log 2 ( x + ) + 1 , f ( x) = log 2 ( x + 1) ? 1 , f ( x) = log 2 ( x + 1) + 1 共 6 个。 2
? 2 6. ( 2010 · 江 苏 高 考 · T 11 ) 已 知 函 数 f ( x) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 x<0 ?1,

f (1 ? x 2 ) > f (2 x) 的 x 的取值范围是_____。

【命题立意】本题考查分段函数的图像、单调性以及数形结合和化归转化的思想。 【思路点拨】结合函数 f ( x) = ?

? x2 +1, x ≥ 0 x<0

?1,

的图像以及 f (1 ? x ) > f (2 x) 的条件,可以
2

得出 1 ? x 与 2x 之间的大小关系,进而求解 x 的取值范围.
2

? x2 +1, x ≥ 0 【规范解答】画出 f ( x) = ? ,的图象, x<0 ?1,
由图像可知,若 f (1 ? x 2 ) > f (2 x ) , 则?

Y

1 X

?1 < x < 1 ? ? 1 ? x2 > 0 ? ,即 ? ,得 x ∈ ( ?1, 2 ? 1) 2 ??1 ? 2 < x < ?1 + 2 ?1 ? x > 2 x ?

【答案】 ( ?1, 2 ? 1)

【跟踪模拟训练】 跟踪模拟训练】
个小题, 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,总分 36 分) 选择题( 1.设函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=g(x) ,若 g ( A.-2 Z_X_X_K] 2.已知一容器中有 A、B 两种菌,且在任何时刻 A,B 两种菌的个数乘积为定值 10 ,为了简 单起见,科学家用 PA = lg(n A ) 来记录 A 菌个数的资料,其中 n A 为 A 菌的个数,则下 列 ( ) 判 断 中 正 确 的 个 数 为
10

1 1 ) = ,则 a 等于( a ?1 4



B. ?

1 2

C.

1 2

D . 2[ 来 源 : 学 _ 科 _ 网

① PA ≥ 1 ②若今天的 PA 值比昨天的 PA 值增加 1,则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多了 10 个 ③假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万个,则此时 5 < PA < 5.5 A.0 3.函数 y =| x | 与 y = B.1 C.2 D.3 ( )

x 2 + 1 在同一坐标系的图象为

[来源:Z&xx&k.Com]

a x ? a? x 4.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式,对于给定的两个函数, S ( x) = , 2
C (x) = a
x

+ a 2

? x

,其中 a > 0 ,且 a ≠ 1 ,下面正确的运算公式是( ② S ( x ? y ) = S ( x)C ( y ) ? C ( x) S ( y ) ; ④ C ( x ? y ) = C ( x )C ( y ) + S ( x ) S ( y ) . (C)①④



① S ( x + y ) = S ( x )C ( y ) + C ( x ) S ( y ) ; ③ C ( x + y ) = C ( x )C ( y ) ? S ( x ) S ( y ) ; (A)①③ (B)②④

(D)①②③④

5.下列函数 f ( x ) 中,满足“对任意 x1 , x2 ∈ (0, +∞ ) ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是( )

A . f ( x) =

1 x

B.

f ( x ) = ( x ? 1) 2

C . f ( x) = e x

D

f ( x ) = ln( x + 1)
6. f(x)= ?

? f ( x + 1), x < 4
x ?2 , x ≥ 4

,则 f ( log 2 3) =( (B)11

) (C)19 (D)24

(A)-23

个小题, 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,总分 18 分) 填空题( 7.已知函数 f ( x) = log 2 x ,正实数 m,n 满足 m < n ,且 f (m) = f (n) ,若 f ( x) 在区间 [m2 , n] 上的最大值为 2,则 n + m = 8.已知 a = 关系为 .

5 ?1 ,函数 f ( x) = a x ,若实数 m 、 n 满足 f ( m) > f ( n) ,则 m 、 n 的大小 2
.

9.给出下列四个命题: ①函数 f ( x ) = ln x ? 2 + x 在区间 (1, e) 上存在零点 ②若 f ' ( x0 ) =0,则函数 y = f (x ) 在 x = x0 取得极值;

③ m ≥-1,则函数 y = log 1 ( x ? 2 x ? m) 的值域为 R;
2 2

④“ a = 1 ”是“函数 f ( x) = 其中真命题是

a ? ex 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。 1 + ae x

(把你认为正确的命题序号都填在横线上)

三、解答题(10、11 题每小题 15 分,12 题 16 分,总分 46 分) 解答题(10、 10.据调查,安徽某地区有 100 万从事传统农业的农民,人均年收入 3000 元.为了增加农民 的收入,当地政府积极引资建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地 部分农民进入加工企业工作. 据估计,如果有 x(x>0)万人进入企业工作,那么剩下从事传 统农业的农民的人均年收入有望提高 2x%, 而进入企业工作的农民人均年收入为 3000a 元 (a >0 为常数). (I)在建立加工企业后,要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立 前的年总收入,求 x 的取值范围; (II)在(I)的条件下,当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作,才能使这 100 万 农民的人均年收入达到最大? 11.已知函数 f(x)=lnx-

a (a∈R). x

(1)当 a∈[-e,-1]时,试讨论 f(x)在[1,e]上的单调性; (2)若 f(x)<x 在[1,+∞)上恒成立,试求 a 的 取值范围.[来源:学科网] 12. (探究创新题)若函数 f(x)对定义域中任意 x 均满足 f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数 y=f(x) 的图象关于点(a,b)对称. (1)已知函数 f(x)=

x 2 + mx + m 的图象关于点(0,1)对称, x

求实数 m 的值; (2)已知函数 g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点( 0,1)对称,且当 x∈(0,+∞) 时,g(x)=x2+ax+1,求函数 g(x)在 (-∞,0)上的解析式; (3)在(1)(2)的条件下,当 t>0 时,若对任意实数 x∈ (-∞,0),恒有 g(x)<f(t)成立,求实数 a 的取值范围.

参考答案
1. 【解析】 C 因为函数 f 选 (x) =log2x 的反函数为 y = 2 x , 所以 g ( x) = 2 x , 由 g (
1 a ?1

1 1 )= a ?1 4

得2

1 1 1 = ,∴ = ?2, a = . 4 a ?1 2

2. 【解析】 B 当 nA = 1 时 PA = 0 , 选 故①错误; PA = 1, 则nA = 10, PA = 2, 则n A = 100, 若 若 故②错误;

设 B 菌的个数为 nB = 5 × 10 , n A = ∴
4

1010 = 2 × 105 ,∴ PA = lg(n A ) = lg 2 + 5. 4 5 × 10

又 Q lg 2 = 0.414, 所以 5 < PA < 5.5 ,故③正确。
3. 【解析】选 A 因为 | x |≤ 方,排除 C、D;

x 2 + 1 ,所以函数 y =| x | 的图像在函数 y = x 2 + 1 图像 的下

当x → ∞时,x |→ x 2 + 1 ,排除 B,故选 A。 |
4. 【解析】选 D 因为 S ( x) =

a x ? a? x a ,C (x) = 2

x

+ a 2

? x

∴ S ( x + y) =

a x+ y ? a ?( x+ y ) , 2 a x ? a? x a y + a? y a x + a? x a y ? a? y S ( x)C ( y ) + C ( x) S ( y ) = + 2 2 2 2 1 1 = a x [(a y + a ? y ) + (a y ? a ? y )] + a ? x [?(a y + a ? y ) + (a y ? a ? y )] 4 4 ?( x+ y) x+ y a ?a 1 1 = a xa y ? a? xa? y = , 2 2 2 ∴ S ( x + y ) = S ( x)C ( y ) + C ( x) S ( y ).
同理可证其它 3 个式子也成立。 5. 【解析】选 A 依题意可得函数应在 x ∈ (0, +∞ ) 上单调递减,故由选项可得 A 正确。

6.











D

f (log 2 3) = f (log 2 3 + 1) = f (log 2 3 + 2) = f (log 2 3 + 3) = f (log 2 24) = 2log 2 24 = 24.
7. 【 解 析 】 由 已 知 得

1 1 1 1 m = , 0 < m < 1, n > 1,∴[m 2 , n] = [ 2 , n], f ( 2 ) = log 2 2 = 2 log 2 n = 2 f (n). n n n n

所以 f ( x) 在区间 [m2 , n] 上的最大值为 f (
5 n+m= . 2 5 答案: . 2

1 1 ) = 2 f (n).∴ 2 log 2 n = 2,Q n > 1,∴ n = 2.m = . 故 n2 2

8. 【解析】 a =

5 ?1 ∈ (0,1) ,函数 f ( x) = a x 在 R 上递减。由 f ( m) > f ( n) 得:m<n 2

答案:m<n[来源:学科网]

9. 【 解 析 】 ① 正 确 : 显 然 f ( x ) = ln x ? 2 + x 在 (1, e) 上 是 增 函 数 , 且

f (1) = ?1 < 0, f (e) = e ? 1 > 0,
所 以 函 数 f ( x ) = ln x ? 2 + x 在 区 间 (1, e) 上 存 在 零 点 ; ② 不 正 确 , 例

f ( x ) = x 3 , f ′( x ) = 3 x 2 ≥ 0,

由f ′( x ) = 0得x = 0, 但x = 0不是 f ( x ) = x 3的极值点 ;③正确:

Q m ≥ ?1,∴? = 4 + 4m ≥ 0, x 2 ? 2 x ? m

能取到所有的正实数,所以函数的值域为R. 对 于 ④ : 若 a = 1 , 则
f ( x) = 1? ex 1 ? e? x (1 ? e? x )e x e x ? 1 1 ? ex = = x = ? f ( x). 又 f ( x) = ,∴ f (? x) = 的 1 + ex 1 + e ? x (1 + e ? x )e x e + 1 1+ ex
a ? ex 在定义域上是奇函数”;若函数 1 + ae x

定义域为 R,所以 a = 1 ? “函数 f ( x) =

f ( x) =

a ? ex 在 定 义 域 上 是 奇 函 数 , 则 f (? x) = ? f ( x) 恒 成 立 。 因 为 1 + ae x

f (? x) =


a ? e? x (a ? e? x )e x ae x ? 1 = = , 1 + ae ? x (1 + ae ? x )e x e x + a


a ? ex ae x ? 1 =? x ,∴ (a ? e x )(a + e x ) = ?(ae x ? 1)(ae x + 1), 即(a 2 ? 1)e 2 x = a 2 ? 1 恒 x 1 + ae e +a
成立, 所以 a 2 ? 1 = 0,∴ a = ±1, ,故“函数 f ( x ) = “ a = 1 ”, 所以④正确。综上正确的为①③④。 答案:①③④ 10. 【解】 (I)据题意, (100-x)·3000· (1+2x%)≥100×3000, 即 x2-50x≤0,解得 0≤x≤50. 又 x>0,故 x 的取值范围是(0,50]. (II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元,则

a ? ex 在定义域上是奇函数” 推不出 1 + ae x

(100 ? x) × 3000(1 +
y=

2x ) + 3000ax 100

100

3 =- [x-25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 (0<x≤50). 5 (1)若 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,则当 x=25(a+1)时,y 取最大值; (2)若 25(a+1)>50,即 a >1,则当 x=50 时,y 取最大值. 答:当 0<a≤1 时,安排 25(a+1)万人进入加工企业工作,当 a>1 时,安排 50 万人进入 企业工作,才能使这 100 万人的人均年收入最大. 11. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),

f ′( x) =

1 a x+a + 2 = 2 , 显然x 2 > 0 x x x

当-e≤a≤-1 时,1≤-a≤e,令 f′(x)=0 得 x=-a,于是当 1≤x≤-a 时,f′(x)≤0,∴f(x) 在[1,-a]上为减函数, 当-a≤x≤e 时,f′(x)≥0, ∴f(x)在[-a,e]上为增函数. 综上可知,当-e≤a≤-1 时 f(x)在[1,-a]上为减函数,在[-a,e]上为增函数. (2)由 f(x)<x 得 lnx∵x≥1,∴a>xlnx-x2. 令 g(x)=xlnx-x2, 要使 a>xlnx-x2 在[1,+∞)上恒成立, 只需 a>g(x)max, g′(x)=lnx-2x+1, 令φ(x)=lnx-2x+1, 则φ′(x)=

a <x, x

1 -2, x

∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在 [1,+∞)上单调递减, ∴φ(x)≤φ(1)=-1<0,因此 g′(x)<0, 故 g(x)在[1,+∞)上单调递减,则 g(x)≤g(1)=-1, ∴a 的取值范围是(-1,+∞). 12. 【解析】 (1)由题设可得 f(x)+f(-x)=2,即

x 2 + mx + m x 2 ? mx + m + =2,解得 m = 1 . x ?x
2

(2)当 x<0 时,-x>0 且 g(x)+g(-x)=2, ∴g(x)=2- g(-x)=-x +ax+1. (3)由(1)得 f(t)=t+ +1(t>0),其最小值为 f(1)=3.

1 t

g(x)= -x +ax+1=-(x-a/2) +1+

2

2

a2 , 4

①当

a a2 < 0, 即a < 0时,g(x)max = 1 + < 3, 得a ∈ (?2 2, 0); 2 4

a ≥ 0, 即a ≥ 0时, g ( x) max < x < 3, 得a ∈ [0, +∞); ②当 2 由①②得a ∈ (?2 2, +∞).

【备课资源】 备课资源】
1.已知函数 f ( x) = ?

?log 2 x ?2
x

x>0 x≤0

,若 f (a ) =

1 ,则实数 a = 2
(D)1 或 ? 2 )





(A)-1

(B) 2

(C)-1 或 2

?2e x ?1 ? 2. f(x)= f ( x ) = ? 2 ?log 3 ( x ? 1) ?
(A)0 (B)1 (C)2

x<2 x≥2

, 则 f(f(2))的值为(
(D)3 )

3. 设 a=π 0.3,b=logπ3,c=30,则 a,b,c 的大小关系是( (A)a>b>c (C)b>a>c (B)b>c>a (D)a>c>b

4. 已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数, 函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, 若 g(a)=1,则实数 a 的值为( )

5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 f(x)的最小正周期为 3,f(1)>0,f(2)= 则 m 的取值范围是( (A) (?∞, )
m

2m ? 3 , m +1 3 2

) (B) ( ?∞,1) U (1, )
?

3 2

3 2

(C) ( ?1, )

3 2

(D) ( ?∞, ?1) U ( , +∞) ( )

6.如图是函数 y = x n ( m, n ∈ N , m、n互质) 的图象,则

(A) m, n是奇数且

m <1 n

(B) m是偶数, n是奇数且

m >1 n

(C) m是偶数, n是奇数且

m <1 n

(D) m是奇数, n是偶数且

m >1 n

7.函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y = log 1 f ( x) 的图象大致是( )
2

8. 若定义在 R 上的函数 g(x)满足:对任意 x1,x2 有 g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+1,则下列说法 一定正确的是( ) (A)g(x)为奇函数[来源:学科网] (B)g(x)为偶函数 (C)g(x)+1 为奇函数[来源:学,科,网 Z,X,X,K] (D)g(x)+1 为偶函数 9.设 f ( x ) = log 1 (1)求 a 的值得; (2)证明 f(x)在区间(1,+ ∞ )内单调递增; (3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f ( x ) > ( ) + m 恒成立,求实数 m 的取值
x

1 ? ax 为奇函数, a 为常数. x ?1 2

1 2

范围.

参考答案
1. 【解析】选 C。当 a >0 时, log 2 a =

1 ,解得 a 2

2 ;当 a ≤0 时, 2 a =

1 ,解得 a =-1 2

2. 【解析】选 C.∵f(2)=log3(22-1)=1,

∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2. 3. 【解析】选 D.∵a=π0.3>π0=1,0<b=logπ3<logππ=1, c=30=1,∴a>c>b. 4. 【解析】选 C.由已知得 f(x)=lnx,又 y=g(x)与 y= f(x)的图象关于 x 轴对称,∴

g(x)=-f(x)=-lnx,又 g(a)=1,∴-lna=1,∴a= 5. 【 解 析 】 选 C 由 已 知

. f(1)>0, ∴

f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1). 又

2m ? 3 3 <0 ? ( m + 1)(2m ? 3) < 0 .解得 ?1 < m < 。 m +1 2
6. 【解析】选 C.将分数指数化为根式, y =
n

x m ,由定义域为 R,值域为[0,+∞)知 n

为奇数,m 为偶数,又由幂函数 y=xα,当α>1 时,图象在第一象限的部分下凸,当 0<α<1 时,图象在第一象限的部分上凸,故选 C.或由图象知函数为偶函数,∴m 为 偶数,n 为奇数.又在第一象限内上凸,∴

m <1. n 7. 【解析】选 C.由 f(x)图象知 f(x)≥1, ∴ y = log 1 f ( x) ≤0,结合图象知先 C.
2

8. 【解析】选 C.由已知:令 x1=x2=0 得,g(0)=2g(0)+1, ∴g(0)=-1, 令 x1=x,x2=-x,则有 g(0)=g(-x)+g(x)+1, ∴有 g(x)+1=-[g(-x)+1], 故 g(x)+1 为奇函数. 9. 【解析】(1)由已知 f(x)+f(-x)=0 即

log 1

1 ? ax 1 + ax + log 1 = 0, x ?1 x +1 2 2 1 ? a 2 x2 1 ? a2 x2 = 0,∴ = 1, 2 1 ? x2 2 1? x 1? x = log 1 (?1), 无意义,舍去. x ?1 2 2

亦即: 1 log

即(a 2 ? 1)x 2 = 0, 又a = 1时,f ( x) = log 1 ∴ a =-1.
(2)由(1)得 f ( x ) = log 1
2

x +1 , x ?1

设1 < x1 < x2 , 则 ∴

x1 + 1 x2 + 1 2( x2 ? x1 ) ? = > 0, x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x1 + 1 x2 + 1 > > 0, x1 ? 1 x2 ? 1
2

从而 log 1

x1 + 1 x +1 < log 1 2 , x1 ? 1 x ?1 2 2

即f ( x1 ) < f ( x2 ), ∴ f ( x)在(1, +∞)内单调递增.
(3)原不等式可化为 f ( x ) ? ( ) > m.
x

1 2

1 令? ( x) = f ( x) ? ( ) x , 则? ( x) > m对于区间[3, 4]上的每一个x都成立等价于 2 ? ( x)在[3, 4]上的最小值大于m. Q? ( x)在[3, 4]上为增函数, ∴当x = 3时,? ( x)取得最小值, log 1
2

3 +1 1 3 9 9 ? ( ) = ? ,∴ m < ? . 3 ?1 2 8 8



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