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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练41


题组层级快练(四十一)
1.若 a,b∈R,下列命题中 ①若|a|>b,则 a2>b2; ②若 a2>b2,则|a|>b; ③若 a>|b|,则 a2>b2; ④若 a2>b2,则 a>|b|. 其中正确的是( A.①和③ C.②和③ 答案 C 解析 条件|a|>b,不能保证 b 是正数, 条件 a>|b|可保证 a 是正数, 故①不正确,③正确. a2>b2?|a|>|b|≥b,故②正确,④不正确. 1 2.(2015· 宁波十校联考)设 a∈R,则 a>1 是 <1 的( a A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 1 1 1 1 解析 若 a>1,则 <1 成立;反之,若 <1,则 a>1 或 a<0.即 a>1? <1,而 <1 a a a a 3.设 a>b>0,下列各数小于 1 的是( A.2a
-b

) B.①和④ D.②和④

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a>1,故选 A.

) a1 B.( )2 b b - D.( )a b a

a - C.( )a b b 答案 D 解析 方法一:(特殊值法) 取 a=2,b=1,代入验证. 方法二:y=ax(a>0 且 a≠1).

当 a>1,x>0 时,y>1;当 0<a<1,x>0 时,0<y<1. a b ∵a>b>0,∴a-b>0, >1,0< <1. b a 由指数函数性质知,D 成立. 4.(2013· 北京改编)若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( A.a2>b2 B.a|c|>b|c| )

1 1 C. < a b 答案 D 解析 方法一:(特殊值法)

a b D. 2 > 2 c +1 c +1

令 a=1,b=-2,c=0,代入 A,B,C,D 中,可知 A,B,C 均错,故选 D. 方法二:(直接法) a b ∵a>b,c2+1>0,∴ 2 > 2 ,故选 D. c +1 c +1 5.(2013· 天津文)设 a,b∈R,则“(a-b)· a2<0”是“a<b”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 若(a-b)· a2<0,则 a≠0,且 a<b,所以充分性成立;若 a<b,则 a-b<0,当 a=0 时,(a-b)· a2 =0,所以必要性不成立.故“(a-b)· a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件. 6.如果 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( A.ab>ac C.cb2<ab2 答案 C 解析 由题意知 c<0,a>0,则 A,B,D 一定正确,若 b=0,则 cb2=ab2.故选 C. 7.设 a>b,则下列不等式恒成立的为( A.(a+c)4>(b+c)4 C.lg|b+c|<lg|a+c| 答案 D 解析 应用不等式的性质可以判断每个不等式成立与否,但要注意每个选项上来看都是对的,因此需 要我们利用性质认真判别. 当 a>b,a+c 与 b+c 为负数时,由 0>a+c>b+c, 得 0<-(a+c)<-(b+c). 所以 0<[-(a+c)]4<[-(b+c)]4,即(a+c)4<(b+c)4. 所以 A 不成立; 当 c=0 时,ac2=bc2,∴B 不成立; 当 a>b,得 a+c>b+c,但若 a+c,b+c 均为负数时, |a+c|<|b+c|,即 lg|a+c|<lg|b+c|. 故 C 不恒成立.故选 D. 1 1 8.设 a,b∈(-∞,0),则“a>b”是“a- >b- ”成立的( a b A.充分不必要条件 ) ) B.ac2>bc2 D.(a+c)1>(b+c)1
3 3

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

B.c(b-a)>0 D.ac(c-a)>0

B.必要不充分条件

C.充要条件 答案 C

D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 1 1 1 解析 ∵(a- )-(b- )=(a-b)(1+ ),又 1+ >0,若 a>b,则(a-b)(1+ )>0,所以 a- >b- 成 a b ab ab ab a b 1 立;反之,若(a-b)(1+ )>0,则 a>b 成立.故选 C. ab 9.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( A.ab<b2<1 C.2 <2 <2 答案 C 1 1 解析 方法一:特值法.取 b= ,a= . 4 2 方法二:0<b<a?b2<ab,A 不对; y=log1x 在(0,+∞)上为减函数,
2 b a

) B.log1b<log1a<0
2 2

D.a <ab<1

2

∴log1b>log1a,B 不对;
2 2

a>b>0?a2>ab,D 不对,故选 C. 1 10.设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的( a A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D 1 1 1 解析 一方面,若 0<ab<1,则当 a<0 时,0>b> ,∴b< 不成立;另一方面,若 b< ,则当 a<0 时, a a a ab>1,∴0<ab<1 不成立,故选 D. ln2 ln3 ln5 11.若 a= ,b= ,c= ,则( 2 3 5 A.a<b<c C.c<a<b 答案 C ln23-ln32 解析 a-b= <0?a<b, 6 ln25-ln52 a-c= >0?a>c,∴c<a<b. 10 12.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑 步,若两人步行速度、跑步速度均相同,则( A.甲先到教室 C.两人同时到教室 ) B.乙先到教室 D.谁先到教室不确定 ) B.c<b<a D.b<a<c )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案 B s s 解析 设步行速度与跑步速度分别为 v1 和 v2 显然 0<v1<v2,总路程为 2s,则甲用时间为 + ,乙用 v1 v2 时间为 4s , v1+v2

s?v1+v2?2-4sv1v2 s?v1-v2?2 s s 4s 而 + - = = >0, v1 v2 v1+v2 v1v2?v1+v2? v1v2?v1+v2? s s 4s 故 + > ,故乙先到教室. v1 v2 v1+v2 13.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是______. 答案 1 <a<1 2

解析 ∵a2+1>2a,loga(a2+1)<loga2a,∴0<a<1. 1 1 ∵loga(2a)<loga1,∴2a>1,∴a> ,∴ <a<1. 2 2 14.已知 a<0,-1<b<0,则 a,ab,ab2 的大小关系是________. 答案 a<ab2<ab 解析 ∵a-ab=a(1-b)<0, ∴a<ab.∵ab-ab2=ab(1-b)>0, ∴ab>ab2.∵a-ab2=a(1-b2)<0, ∴a<ab2. 综上,a<ab2<ab.故填 a<ab2<ab. 15. 设 a>b>c>0, x= a2+?b+c?2, y= b2+?c+a?2, z= c2+?a+b?2, 则 x, y, z 的大小顺序是________. 答案 z>y>x 解析 ∵a>b>c>0,∴y2-x2=b2+(c+a)2-a2-(b+c)2=2c(a-b)>0,∴y2>x2,即 y>x. z2-y2=c2+(a+b)2-b2-(c+a)2=2a(b-c)>0, 故 z2>y2,即 z>y,故 z>y>x. 16.若 a>1,b<1,则下列两式的大小关系为 ab+1____a+b. 答案 < 解析 (ab+1)-(a+b), =1-a-b+ab=(1-a)(1-b), ∵a>1,b<1,∴1-a<0,1-b>0, ∴(1-a)(1-b)<0,∴ab+1<a+b. a b 1 1 17.已知 a+b>0,比较 2+ 2与 + 的大小. b a a b 答案 解析 a b 1 1 + ≥ + b2 a2 a b a b ?1 1? a-b b-a + - + = 2 + 2 = b2 a2 ?a b? b a
2

1 1 ? ?a+b??a-b? (a-b)? . ?b2-a2?= a2b2 ?a+b??a-b?2 ∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴ ≥0. a2b2

a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . b a a b 18.已知 a>0 且 a≠1,比较 loga(a3+1)和 loga(a2+1)的大小. 答案 loga(a3+1)>loga(a2+1) 解析 当 a>1 时,a3>a2,a3+1>a2+1. 又 y=logax 为增函数, 所以 loga(a3+1)>loga(a2+1); 当 0<a<1 时,a3<a2,a3+1<a2+1. 又 y=logax 为减函数, 所以 loga(a3+1)>loga(a2+1). 综上,对 a>0 且 a≠1,总有 loga(a3+1)>loga(a2+1). 19.求证:(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ac; (2)(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 答案 略 证明 (1)a2+b2+c2-(ab+bc+ac) 1 = [(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0, 2 ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac. (2)(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2acbd-b2d2 =(ad-bc)2≥0, ∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).

1.已知 a,b,c,d 为实数,满足 a+b=c+d=1,ac+bd>1,则在 a,b,c,d 中( A.有且仅有一个为负 C.至少有一个为负 答案 C B.有且仅有两个为负 D.都为正数

)

解析 假设 a,b,c,d 均非负,则由 a+b=c+d=1,得 a,b,c,d 均在[0,1]中,所以 ac+bd≤a +b=1,但这与已知 ac+bd>1 矛盾,故假设不成立,从而 a,b,c,d 中至少有一个为负,即 D 错误,取 a=c=2,b=d=-1,则可排除 A;再取 a=3,b=-2,c=1,d=0,则可排除 B,故选 C. 1 1 2.若 a,b 为实数,则 < 成立的一个充分而不必要的条件是( a b A.b<a<0 C.b(a-b)>0 答案 A 1 1 1 1 解析 由 a>b? < 成立的条件是 ab>0,即 a,b 同号时,若 a>b,则 < ;a,b 异号时,若 a>b, a b a b B.a<b D.a>b )

1 1 则 > . a b 3.如果一辆汽车每天行驶的路程比原计划多 19 km,那么在 8 天内它的行程 s 就超过 2 200 km,如果 它每天行驶的路程比原计划少 12 km,那么它行驶同样的路程 s 得花 9 天多的时间,这辆汽车原计划每天 行驶的路程(km)范围是________. 答案 (256,260) 解析 这辆汽车原计划每天行驶的路程为 x km,则
? ?8?x+19?>2 200, ? 解之得 256<x<260. ?9?x-12?<8?x+19?, ?

4.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的________条件. 答案 充分不必要 7 解析 因为 x≥2 且 y≥2?x2+y2≥4 易证,所以充分性满足;反之,不成立,如 x=y= ,满足 x2+ 4 y2≥4,但不满足 x≥2 且 y≥2,所以 x≥2 且 y≥2 是 x2+y2≥4 的充分而不必要条件. 5.设 a,b 为正实数.现有下列命题: ①若 a2-b2=1,则 a-b<1; 1 1 ②若 - =1,则 a-b<1; b a ③若| a- b|=1,则|a-b|<1; ④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 答案 ①④ 解析 对于①,若 a-b≥1,则 a2-b2=(a+b)(a-b)=1;又 a>0,b>0,于是有 a+b>a-b≥1,此时 (a+b)· (a-b)>1,这与“a2-b2=(a+b)(a-b)=1”相矛盾,因此 a-b<1,①正确.对于②,取 a=2,b 2 1 1 = ,有 - =1,此时 a-b>1,因此②不正确.对于③,取 a=9,b=4,有| a- b|=1,但此时|a-b| 3 b a =5>1,因此③不正确.对于④,由|a3-b3|=1,得|a-b|(a2+ab+b2)=1,|a-b|(a2+ab+b2)>|a-b|(a2-2ab +b2)=|a-b|3,于是有|a-b|3<1,|a-b|<1,因此④正确. 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为________. 答案 4 4×3 5×4 解析 方法一: 设等差数列{an}的公差为 d, 依题意有 4a1+ d≥10, 即 2a1+3d≥5; 5a1+ d≤15, 2 2 即 a1+2d≤3,注意到 a4=a1+3d=-(2a1+3d)+3(a1+2d)≤-5+3×3=4,因此 a4 的最大值为 4.
?S4≥10, ?4a1+6d≥10, ?2a1+3d≥5, ? ? ? 方法二:由? 得? 即? ?S5≤15, ?5a1+10d≤15, ?a1+2d≤3. ? ? ?

求 a4=a1+3d 最值.
? ?2x+3y≥5, 属于线性规划问题,平面区域为? 求目标函数 z=x+3y 最大值.目标函数 z 是一组斜率 ?x+2y≤3, ?

1 为- 的平行线,直线越向上 z 值越大,直线离开平面区域的最后一个点的坐标为(1,1),所以 zmax=1+3= 3 4.


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