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甘肃省武威第十八中学高二数学上学期期末模拟试题理

甘肃省武威第十八中学 2017-2018 学年高二数学上学期期末模拟试

题理

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)

1. 已知条件 p : | x ?1|? 2 ,条件 q : x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,则 p 是 q 的 ( )

A.充分必要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

2. 已知命题 p:? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是

()

A. ?p:? x ? R,使 tan x ? 1

B. ?p:? x ? R,使 tan x ? 1

C. ?p:? x ? R,使 tan x ? 1

D. ?p:? x ? R,使 tan x ? 1

3. 动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是

()

A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( )

A.4

B.6

C.8

D.12

5.已知空间向量若 a ? (1, n, 2), b ? (?2, 1, 2) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 | a | 等于
()

A. 5 3 2

B. 21 2

C. 37 2

D. 3 5 2

6. 若抛物线 y2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( )。

A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

7.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于(

) ∷∷∷∵∵∵

2 A.3

3 B. 3

2 C. 3

1 D.3∷∷∷∵∵∵

8.直线 l:ax-y+b=0,圆 M:x2+y2-2ax+2by=0,则 l 与 M 在同一坐标系中的图形可

能是(

) ∷∷∷∵∵∵

1

9. 给出下列结论,其中正确的是



) ∷∷∷∵∵∵

A.渐近线方程为

y

?

?

b a

x?a

?

0, b

?

0?

的双曲线的标准方程一定是

x2 a2

? y2 b2

?1

B.抛物线 y ? ? 1 x 2 的准线方程是 x ? 1

2

2

C.等轴双曲线的离心率是 2

? ? ? ? D.椭圆 x2 m2

?

y2 n2

? 1?m ? 0, n ? 0? 的焦点坐标 F1

?

m2 ? n2 ,0 , F2

m2 ? n2 ,0

10.若椭圆 C : mx2 ? ny2 ? 1 (m ? 0, n ? 0, m ? n) 与直线 l : x ? y ?1 ? 0 交于 A, B 两点,

过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 2 错误!未找到引用源。,则 m 的值为(

) ∷∷∷∵∵∵

2

n

A.2

B. 2

C. 2

D. 1

2

2

11. 直线 y ? x ? 3 与曲线 y2 ? x | x | ? 1 交点的个数为( ) 94

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 ∷∷∷∵∵∵

12.

已知

F1



F2

分别为

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一

点,若 PF1 2 的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) ∷∷∷∵∵∵ PF2

A. (1, 2]

B. (1,3]

C. [2, 3]

D.[3, ??)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 抛物线 y2 ? 6x 的准线方程为_____。

14. 已知正方形 ABCD ,则以 A, B 为焦点,且过 C, D 两点的
椭圆的离心率为___ _______。

2

15.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为10 ,这双曲线的方程为_______________。 16.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动 点,当点 M 满足__ ______时,平面 MBD⊥平面 PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即
可). ∷∷∷∵∵∵
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分)
已知双曲线与椭圆 x2 ? y2 ? 1 有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之 36 49
比为 3 ,求双曲线的方程。 7
18.(本小题满分 12 分)
已知点 P(x, y) 在圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1上运动. (1)求 y ? 1 的最大值与最小值;(2)求 2x ? y 的最大值与最小值.
x?2
19. (本题满分 12 分)
如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3, AB ? 5, BC ? 4, AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中点.
(1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 / / 平面 CDB1 .
20.(本题满分 12 分)
已知抛物线 C : y2 ? 2 px ( p ? 0) 过点 A(1, ? 2) 。 (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线 l ,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且 直线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
∷∷∷∵∵∵
5
21.(本题满分 12 分)
平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 给 定 两 点 M (1,0) 、 N(0,?2) , 点 P 满 足
OP ? ?OM ? ?ON ,其中 ? 、 ? ? R ,且 ? ? 2? ? 1
3

(1)求点 P 的轨迹方程;

(2)设点

P

的轨迹与椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 交于两点 A,

B ,且以 AB 为直径的

圆过原点

O

,求证:

1 a2

?

1 b2

为定值;

(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于 3 ,求椭圆实轴长的取值范围. 2

22.(本题满分 12 分)

设 F1,

F2 分别为椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) )的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆

C 相交于 A, B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F1 到直线 l 的距离为 2 3 . (1)求椭圆 C 的焦距;

(2)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

4

5

一、 选择题 BCDAD

高二数学答案(理科) CABCC DB

填空题 13、 x ? ? 3 ;14、 2 ?1;15、 x2 ? y2 ? ?1 错误!未找到引用源。;16、DM

二、

2

20 5

⊥PC(或 BM⊥PC) ∷∷∷∵∵∵

三、 解答题

x2 y2

13

17. 解析:椭圆36+49=1 的焦点为(0,±

13),离心率为 e1=

7

. ∷∷∷∵∵∵

由题意可知双曲线的焦点为(0,± 13),

离心率 e2=

13 3 ,所以双曲线的实轴长为 6.

y2 x2 所以双曲线的方程为 9 - 4 =1.

y ?1 ? k 18. 解:(1)设 x ? 2 ,则 k 表示点 P(x, y) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与

圆相切时, k 取得最大值与最小值.由

2k

k?? 3

y ?1

? 1 ,解得

3 ,∴ x ? 2 的最大值为

k2 ?1

3

?3

3 ,最小值为 3 .

∷∷∷∵∵∵

(2)设 2x ? y ? m ,则 m 表示直线 2x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切

1? m

时, m 取得最大值与最小值.由

? 1,解得 m ? 1 ?

5 ,∴ 2x ? y 的最大值为

5

1? 5 ,最小值为1? 5 . ∷∷∷∵∵∵
19. 解法一:(1)∵三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC⊥BC. 又∵CC1⊥底面 ABC,∴CC1⊥AC. ∵CC1∩BC=C,∴AC⊥平面 BCC1B1, 又 B1C? 平面 BCC1B1,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE. ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE∥AC1.

6

∵DE? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1. 解法二: ∵直三棱柱 ABC ? A1B1C1 底面三边长 AC ? 3, AB ? 5, BC ? 4,

∴ AC, BC, C1C 两两垂直.

如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y

轴,

z 轴,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4), 3
B(0,4,0),B1(0,4,4),D(2,2,0).∷∷∷∵∵∵





→→

(1)∵AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4),∴AC·BC1=0,



AC⊥BC .1

∷∷∷∵∵∵

→3



(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,则 E(0,2,2).∵DE=(-2,0,2),AC1=(-3,0,4),∷∷∷∵∵∵

→ 1→ → →

∴DE=2AC1,∴DE∥AC1.∵DE?

平面

CDB1,AC1?平面

CDB1,∴AC1∥平面

CDB .1

∷∷∷∵∵∵

20. 解(1)将(1,-2)代入 y2=2px,

得(-2)2=2p·1,所以 p=2.

故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.

(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t.

由?????yy= 2=-4x2x+t,

得 y2+2y-2t=0. ∷∷∷∵∵∵

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ =4+8t≥0,解得 t≥-12.

5

|t| 1

另一方面,由直线 OA 到 l 的距离 d= 5 ,可得

= 5

,解得 t=±1.

5

∷∷∷∵∵∵

因为-1?[-12,+∞),1∈[-12,+∞), 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

21. 解:(1)设 P(x, y) ,则 (x, y) ? ?(1,0) ? ?(0,?2) ,∴ ? ? x ,? ? ? y ,∴ x ? y ? 1 2
点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 1.

(2)设交点 A,B 的坐标为 (x1, y1 ) , (x2 , y2 ) ,由于以 AB 为直径的圆过原点 O,则

?x ? y ? 1

OA ? OB ,∴ x1x2

? y1 y2

? 0 ,即 2x1x2

?

( x1

?

x2

)

?

1

?

0

.由

? ?

x

2

?? a2

?

y2 b2

得:
?1

7

(a 2

? b2)x2

? 2a2 x ? a2

?a 2b 2

?

0 ,∴ x1

?

x2

?

2a 2 a2 ? b2

, x1 x2

?

a2 ? a2b2 a2 ? b2

2(a 2 ? a 2b 2 ) a2 ? b2

?

2a 2 a2 ? b2

? 1 ? 0 ,整理得 1 a2

?1 b2

?

2

;所以,

1 a2

?1 b2

为定值.

(3)由于 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ? e2 ,及 1 ? 1 ? 2 得: a 2 ? 1 ? 1

a2

a2

a2 b2

2 2 ? 2e2

由于 e ? (0, 3 ] , a 2 是关于 e 2 的函数并且是增函数,∴ a 2 ? (1, 5]

2

2

所以,椭圆的长轴取值范围是 (2, 10 ]

22. 解(1)设焦距为 2c,则 F1(-c,0)F2(c,0)∵kl=tan60°=

3 ∷∷∷∵∵ ∵

∴l 的方程为 y= 3(x-c)即: 3x-y- 3c=0 ∷∷∷∵∵∵

∵F1 到直线 l 的距离为 2 3

|- 3c- 3c| 2 3c



(

= 3)2+(-1)2

2



3c=2

3∴c=2 ∷∷∷∵∵∵

∴椭圆 C 的焦距为 4

(2)设 A(x1,y1)B(x2,y2)由题可知 y1<0,y2>0 直线 l 的方程为 y=

3(x-2) ∷∷∷∵∵∵

??y= 3(x-2) 由?x2 y2
??a2+b2=1

得(3a2+b2)y2+4 3b2y-3b2(a2-4)=0 ∷∷∷∵∵∵

由韦达定理可得

? ?? ? ? ??

y1 y1

? y2

y2 ?

?

?4 3a2

3b2 ? b2

3b2 (4 ? a2 )

3a2 ? b2

∵→AF=2F→2B

∴-y =2y ,代入得 1

2

∷∷∷∵∵∵

? ??? ? ??? ?

y2

?

?4 3a2

3b2 ? b2

y22

?

3b2 (4 ? a2 3a2 ? b2

)

1

48b4

3a2+b2

由上式可得得2=(3a2+b2)2·3b2(a2-4)=

(3a2

16b2 ? b2 )(a2

?

4)

① ∷∷∷∵∵∵

又 a2=b2+4 ②

由①②,解得 a2=9,

b2=5∴椭圆

C

x2 y2 的方程为 9 + 5 =1。∷∷∷∵∵∵

8



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