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浙江省宁波市2014届高三第二次模拟考试数学文试题 Word版含答案

宁波市 2014 年高考模拟考试

数学(文科)试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示底面积, h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 4 球的表面积公式 S ? 4? R 2 , 球的体积公式 V ? ? R3 ,其中 R 表示球的半径. 3

第Ⅰ卷(选择题部分
一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? ? x ?

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

? ?

1 1? ? x ? ? , N ? x x 2 ? x ,则 M 2 2?

?

?

N?
(D) (? , 0]

(A) [0, ) 2.已知复数 z 满足 (A) 2i

1 2

(B) (? ,1]

1 2

(C) [?1, )

1 2

1 2

z?2 ,则 z 为 ? i (其中 i 是虚数单位) z?2 (B) ? 2i (C) i

(D) ?i

2 2 3.在△ ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确 的是 .. (A)若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n (B)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? (C)若 ? ? ? , m / / n 且 n ? ? ,则 m / /? (D)若 m ? ? , n ? ? 且 m / / n ,则 ? / / ?

1

5.将函数 y ? sin(4 x ?

?
6

) 图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移

? 个单位, 4

纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是 (A ) x ?

?
12

(B) x ?

?
6
(C)5

(C) x ?

?
3

(D) x ? ?

?
12

6.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是 (A)3 (B) 4 (D) 6
开始

7.设 z ? 2 x ? 5 y ,其中实数 x, y 满足 6 ? x ? y ? 8 且

p=1,n=1

?2 ? x ? y ? 0 ,则 z 的最大值是
(A) 21 8.函数 f ( x) ? (A)1 (B) 24 (C) 28 (D) 31

n=n+1 p=p+2n?1 否

5 ?? sin ? 2 ?2
(B) 2

? x ? ? log 2 x 的零点个数为 ?
(C) 3 (D) 4

p>20 ? 是 输出 n 结束 (第 6 题图)

9.已知向量 a, b, c 满足 a ? 4, b ? 2 2, a 与 b 的夹角 为

? , (c ? a) ? (c ? b) ? ?1 ,则 c ? a 的最大值为 4
1 2
(B)

(A) 2 ?

2 ?1 2

(C)

2 ?1 2

(D) 2 ? 1

x2 y 2 10.如图所示,已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线的渐近 线于 A 、 B 两点,且直线 l 的倾斜角是渐近线
OA 倾斜角的 2 倍,若 AF ? 2FB ,则该双曲
线的离心率为

y
A

l

3 2 (A) 4
(C)

2 3 (B) 3
(D)

O
B

F

x

30 5

5 2

(第 10 题图)

第Ⅱ卷(非选择题部分
2

共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11.某高校从参加今年自主招生考试的 1000 名学生中随机抽取 100 名学生的成绩进行统 计,得到如图所示的样本频率分布直方图.若规定 60 分及以上为合格,则估计这 1000 名学生中合格人数是 ▲ 名.
频率 组距
0.030 0.020 0.010

2 1 2
正视图 侧视图

2

0

40 50

60

70

80

90 100 分数
俯视图

(第 11 题图)

(第 14 题图)

12.盒子中装有大小质地都相同的 5 个球,其中红色 1 个,白色 2 个,蓝色 2 个.现从盒子 中取出两个球(每次只取一个,并且取出后放回) ,则这两个球颜色相同的概率为 ▲ . 13.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f (? x) ? f ( x ? ), f (2014) ? 2, 则 f (?1) = 14.已知某锥体的三视图(单位:cm)如图所示,则该锥体的体积为 ▲

3 2

▲ .

cm 3 .

15.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 及直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 C 所得的弦长均为 10,则圆 C 的面积是 ▲ .

16.数列 ?an ? 是公比为 ? 的等比数列, ?bn ? 是首项为 12 的等差数列.现已知 a9>b9 且 a10>b10,则以下结论中一定成立 的是 ▲ . (请填写所有正确选项的序号) .... ① a9 ? a10 ? 0 ; ② b10 ? 0 ; ③ b9 ? b10 ; ④ a9 ? a10 . 17.若正实数 x, y 满足 x ? 2 y ? 4 ? 4 xy ,且不等式 ( x ? 2 y)a ? 2a ? 2 xy ? 34 ? 0 恒成立,
2

2 3

则实数 a 的取值范围是 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3

18. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 3 a sin B 5 ?c ,

cos B ?

11 14



(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 BC 边的中点为 D , AD ?

19 2

,求 ?ABC 的面积.

19. (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 .数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? . (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ? ?

? a n n为奇数 , 求数列 ?cn ? 的前 2n ? 1 项和 P 2 n ?1 . ?bn n为偶数
P

20. (本小题满分 14 分)如图所示,

PA ? 平面ABCD , ?ABC 为等边三角形,
AP ? AB , AC ? CD , M 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证: BM // 平面 PCD ; (Ⅱ)若直线 PD 与平面 PAC 所成角的正切值

A M B
3

D

6 为 ,求二面角 A ? PD ? M 的正切值. 2

C
(第 20 题图)

21. (本小题满分 15 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ?

3a x ? a2 , x ? R . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 在 ??1,1? 上的单调区间;(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,求 f ( x) 在 ??1,1? 上的最大值. 22. (本小题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一个纵坐标为 2 的点到焦点 F
2

y

的距离为 3 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 设点 P(0, 2) ,过 P 作直线 l1 , l2 分别交抛物线
M A
P

于点 A, B 和点 M , N ,直线 l1 , l2 的斜率分别为 k1和k2 ,

3 且 k1k 2 ? ? .写出线段 AB 的长 AB 关于 k1 的 4 函数表达式,并求四边形 AMBN 面积 S 的最小值.

B

F

O

N

x

(第 22 题图)

4

宁波市 2014 年高考模拟考试 数学(文科)参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 内容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. (1)A (2)B (3)C (4)B (5)A (6)C (7)D (8)C (9)D (10)B 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. (11)700 (15) 27? (12)

9 25

(13) ?2 (17) ? ??, ?3?

(14)

2

(16)①③

?5 ? , ?? ? ? ?2 ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) (本小题满分 14 分) 解: (I)由 cos B ?

11 5 3 ,得 sin B ? , ????????1 分 14 14 又 2 3a sin B ? 5c ,代入得 3a ? 7c , a c ? 由 ,得 3sin A ? 7 sin C , ????????3 分 sin A sin C 3sin A ? 7sin( A ? B) , 3sin A ? 7sin A cos B ? 7 cos A sin B ????5 分 2? 得 tan A ? ? 3 , A ? ????????7 分 3 19 2 2 (Ⅱ) AB ? BD ? 2 AB BD cos B ? , ????????9 分 4 7 7 11 19 c 2 ? ( c) 2 ? 2c c ? , c ? 3 ,则 a ? 7 ????????11 分 6 6 14 4 1 1 5 3 15 3 S ? ac sin B ? 3 7 ? ????????14 分 2 2 14 4

(19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ? 4a1 ? 6d ? 40 ?d ? 4
5

????3 分

,?当n ? 1时,b1 ? 3 , Tn ? 2bn ? 3? 0

当n ? 2时,Sn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1 ,(n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,?bn ? 3 ? 2n?1 . (Ⅱ) cn ? ? ????7 分

n为奇数 ? 4n . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数
? a2n?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? b2n )
?????8 分

P 2 n?1 ? (a1 ? a3 ?
?

[4 ? 4(2n ? 1) ? (n ? 1)] 6(1 ? 4n ) ? 2 1? 4

?????12 分 ?????14 分

? 22 n?1 ? 4n2 ? 8n ? 2
(20) (本题满分 14 分) (Ⅰ)证明:

?ABC 为等边三角形, M 为 AC 的中点,? BM ? AC .



AC ? CD ,? 在平面ABCD中,有BM CD .

?????3 分

又 CD ? 平面PCD, BM ? 平面PCD, ? BM 平面PCD. ??5 分
(Ⅱ)解:

PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD,
AC ? CD ,

P H

? PA ? CD , 又

PA ? AC ? A,?CD ? 平面PAC .

N
A
M B D

? 直线 PD 与平面 PAC 所成角为 ?DPC
?????7 分

tan ?DPC ? 在 Rt?PCD中,

CD 6 ? . PC 2

C

设 AP ? AB ? a ,则 AC ? a, PC ? 2a

? CD ?

6 PC ? 3a 2
?????9 分

在Rt?ACD中,AD2 =AC 2 +CD2 =4a2 ,? AD ? 2a .
6

PA ? 平面ABCD, ?平面PAD ? 平面ABCD .
在Rt?ACD中,过M 作MN ? AD.

又 平面ABCD 平面PAD=AD,MN ? 平面ABCD,
? MN ? 平面PAD.
在平面 PAD 中,过 N作NH ? PD ,连结 MH ,则 PD ? 平面MNH .

??MHN 为二面角 A ? PD ? M 的平面角.

?????12 分

在Rt?ACD中,MN =

3 1 7 a, AN = a, ND= a, 4 4 4
PD 4 5

? NH ? DN , ? NH ? PA ? DN ? 7 a
PA PD

? tan ?MHN = MN ? NH

3 a 15 , 4 ? 7 7 a 4 5

? 二面角 A ? PD ? M 的正切值为
(21) (本题满分 15 分)
2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3 x ?

15 . 7

????????14 分

3a a ? 3( x 2 ? ) , 2 2

?????2 分 ?????3 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ??1,1? 上递增; 当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 ? ?1, ?

? ?

? a a? a? ? a ? ,? ,1? 上递增,在 ? ? ? ? ?? 2, 2 ? ? 上递减; 2? ? 2 ? ? ?
?????5 分

当 a ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ??1,1? 上递减.

?????6 分

? ? a a? a? ? a ? (Ⅱ) 当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 ? ?1, ? 上递增,在 ? ? , ,1 , ? ? ? 上递减. ? ? ? 2 ? 2? 2 2? ? ? ? ? ?

3 3 7 a a f (1) ? 1 ? a ? a 2 ? (a ? )2 ? ? 0, f (? ) ? a ? a2 ? 0 , 2 4 16 2 2
7

3 1 a a 1 f (?1) ? ?1 ? a ? a 2 ? (2a ? 1)(a ? 2) , f ( ) ? a 2 ? a ? a a( a ? ). 2 2 2 2 2
???9 分 ①0 ? a ?

1 时, 2
? ? a a a ? ? ) ? 0 , f ( x) max ? max ?? f (?1), f (? ), ? f ( ), f (1) ? . 2 2 2 ? ? ? ?

f (?1) ? 0 , f (

3 a a 而 ? f (?1) ? 1 ? a ? a 2 , f (? ) ? a ? a2 , 2 2 2

?f(

3 a a , f (1) ? 1 ? a ? a 2 . ) ? ?a 2 ? a 2 2 2

显然 ? f (?1) ? f (1) , ? f (

a a ) ? f (? ) , 2 2

所以只需比较 f (?

a ) 与 f (1) 的大小. 2

f (?

a a 3 ) ? f (1) ? a ? a ?1 . 2 2 2

g (a) ? a

1 a 3 ? a ? 1 在 (0, ??) 上单调递增,而 g ( ) ? 0 . 2 2 2 1 3 a 时, f (? ) ? f (1) , f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a ? a 2 . ???12 分 2 2 2

?0 ? a ?



1 ? ? a ? ? a<2 时, f (?1) ? 0 , f ( a ) ? 0 , f ( x) max ? max ? ? f (? ), f (1) ? . 2 2 2 ? ? ? ?
f (? a a 3 a a ) ? f (1) ? a ? a ? 1 ? 0 , f ( x) max ? f (? ) ? a ? a 2 ???15 分 2 2 2 2 2

8

综上所述, f ( x) max

1 ? 3 1 ? a ? a2 , 0 ? a ? ? 2 ? 2 ?? ?a a ? a 2 , 1 ? a ? 2 ? 2 ? 2
y

(22) (本小题满分 15 分)
解:(Ⅰ) 2 ? ( ?

p ) ? 3,? p ? 2,? x 2 ? 4 y . 2
???5 分
M
P

A

(Ⅱ) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 )

B

N
O

l1 : y ? k1 x ? 2 ,与抛物线 x2 ? 4 y 联立可得
? x1 ? x2 ? 4k1 , x2 ? 4k1 x ? 8 ? 0 , ? ? ? x1 x2 ? ?8

x

AB ? 1 ? k12 x1 ? x2 ? 4 (1 ? k12 )(k12 ? 2) , k1 ? R且k1 ? 0 . ?????10 分
设点 M , N 到直线 l1 的距离分别为 h1和h2 ,

h1 ? h2 ?

k1 x3 ? y3 ? 2 1 ? k12

?

k1 x4 ? y4 ? 2 1 ? k12


?

(k1 x3 ? y3 ) ? (k1 x4 ? y4 ) 1 ? k12

?

(k1 x3 ? k1 x4 ) ? ( y3 ? y4 ) 1 ? k12

y3 ? k2 x3 ? 2, y4 ? k2 x4 ? 2 , y3 ? y4 ? k2 ( x3 ? x4 ) .
h1 ? h2 ? (k1 x3 ? k1 x4 ) ? ( y3 ? y4 ) 1 ? k12 ? x3 ? x4 k1 ? k2 1 ? k12


同理可得 x2 ? 4k2 x ? 8 ? 0 , x3 ? x4 ?

2 ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ? 4 k2 ?2

h1 ? h2 ?
S AMBN ?

4 k1 ? k2

2 k2 ?2

1 ? k12



?????12 分

1 2 ? 2) ? k1 ? k2 AB (h1 ? h2 ) ? 8 (k12 ? 2)(k2 2

2 2 2 2 2 2 ?8 ? ?2(k1 ? k2 ) ? k1 k2 ? 4? ? (k1 ? k2 ? 2k1k2 )

9

3 9 3 ? ? 2 2 k1k2 ? ? ,? S AMBN ? 8 ? 2(k12 ? k2 ) ? ? 4? (k12 ? k2 ? ) 4 16 ? 2 ?
设 t ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ?
2 2

3 9 3 ?3 ? , S AMBN ? 8 (2t ? ? 4)(t ? ) 在 ? , ?? ? 上 2 16 2 ?2 ?

单调递增,

S AMBN ? 8 (3 ?

9 3 3 ? 4)( ? ) ? 22 3 ,当且仅当 16 2 2

3 3 3 t ? , 即 {k1 , k2 } ? {? , } 时取等号. 2 2 2

? 四边形 AMBN 面积的最小值为 22 3 .

?????15 分

10



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