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【名师点睛】北师大版必修2高中数学1.7.3《球的表面积和体积》word课时训练

【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 1.7.3 球的表 面积和体积课时训练 北师大版必修 2 一、选择题 1.球的表面积扩大 2 倍,球的体积扩大( A.2 倍 C.2 2倍 【解析】 半径扩大 2倍, 从而体积扩大( 2) =2 2倍. 【答案】 C 2.(2013·杭州高一检测)正方体的表面积与其外接球表面积的比为( A.3∶π C.1∶2π B.2∶π D.1∶3π 3 ,其表面积 2 ) 2 ) B. 2倍 D.3 2倍 【解析】 设正方体棱长为 1,则正方体表面积为 6.则其外接球半径为 为 4π ·( 3 2 ) 即 3π .所以表面积之比为 2∶π . 2 【答案】 B 3.(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶 点都在同一球面上,则这个球的表面积是( A.25π C.125π 【解析】 设球的半径为 R.则 2R= 3 +4 +5 =5 2. ∴S 表=4π R =π (2R) =π (5 2) =50π . 【答案】 B 4.把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱,则圆柱的高为( A.R C.3R B.2R D.4R ) 2 2 2 2 2 2 ) B.50π D.都不对 4 3 2 【解析】 设圆柱的高为 h,则 π R ×3=π R ·h, 3 ∴h=4R. 【答案】 D 5.(2013·宁夏高一检测)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在 一个球面上,则该球的表面积为( A.π a C. 2 ) 7 2 B. π a 3 D.5π a 2 11 2 πa 3 【解析】 正三棱柱内接于球,则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处,在直角三 角形中可得 R= a 2 3 2 7 ? ? +? a? = a, 2 3 12 2 7a 7π 2 2 ∴S=4π R =4π × = a . 12 3 【答案】 B 二、填空题 6.若一个球的体积为 4 3π ,则它的表面积为________. 4 3 【解析】 V= π R =4 3π , 3 ∴R= 3, ∴S 球面=4π R =12π . 【答案】 12π 7.图 1-7- 16 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 __________. 2 图 1-7-16 【解析】 该几何体为一个半径为 1 的球与底面半径为 1, 高为 3 的圆柱组成的组合体. S 表=4π ×12+2×π ×12+2π ×1×3=12π . 【答案】 12π 8. (2013·武汉高一检测)圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水, 若放入三个相同的球(球 的半径与圆柱的底面半径相同)后, 水恰好淹没最上面的球(如图 1-7-17 所示), 则球的半 径是________cm. 图 1-7-17 【解析】 设球的半径为 r cm, 4 2 3 2 则有 8π r +3× π r =π r ×6r,由此解得 r=4. 3 【答案】 4 三、解答题 9.一个球的外切圆台上、下底面半径分别为 r、R,求球的体积和表面积. 【解】 如图,圆台及内切球的轴截面 ABCD,O1、O2、O 分别为上、下底面圆心及球心, 设球的半径为 x, 则 O1O2=2x, 过 C 作 CE⊥AB 于 E,则 CE=2x, BE=R-r, ∵BC=R+r, ∴在 Rt△CBE 中,CB =BE +CE , 即(R+r) =(R-r) +(2x) . ∴x =Rr, ∴x= Rr. 4 4 3 2 ∴V 球= π x = π Rr Rr,S 球=4π x =4π Rr. 3 3 10.如图 1-7-18,一个长、宽、高分别是 80 cm、60 cm、55 cm 的水槽中有水 200 000 cm .现放入一个直径为 50 cm 的木球,如果木球的 2/3 在水中,1/3 在水上,那么水是否会 3 2 2 2 2 2 2 2 从水槽中流出? 图 1-7-18 【解】 水槽的容积 V=80×60×55=264 000(cm ), 4 3 3 木球的体积 V 木= π ×25 ≈65 417(cm ). 3 2 ∵200 000+65 417× ≈243 611<V, 3 ∴水不会从水槽中流出. 11.如图 1-7-19,半径为 R 的半圆 O 的直径为直角梯形垂直于两底的腰,且半圆 O 分别切 AB,BC,CD 于点 A、E、D.将半圆与梯形绕 AD 所在直线旋转一周,得到一个球和一 个圆台,若球的表面积与圆台的侧面积的比为 3∶4,求圆台的体积. 3 图 1-7-19 【解】 设圆台的上、下底的半径分别为 r1、r2,母线长为 l. 由题意知,圆台的高 h=2R,DC=CE=r1,AB=BE=r2,OE=R,∠BOC=90°.OE⊥BC. ∵在 Rt△COB 中, CE·BE=OE2,BC=CE+BE, ∴r1r2=R ,l=r1+r2. 又∵S 球=4π R ,S 圆台侧=π (r1+r2)l 且 S 球∶S 圆台侧=3∶4, ∴4π R ∶π l(r1+r2)=3∶4. 16 2 2 ∴(r1+r2) = R , 3 1 π π 16 2 26 2 2 2 2 3 ∴V 台= π h(r1+r2+r1r2)= ×2R[(r1+r2) -r1r2]= ×2R×( R -R )= π R . 3 3 3 3 9 26 3 故圆台的体积为 πR . 9 2 2 2


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