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2017-2018学年人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案:4.1圆的方程 Word版含答案

4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 预习课本 P118~120,思考并完成以下问题 1.确定圆的几何要素有哪些? 2.圆的标准方程是什么? 3.点与圆的位置关系有哪几种?怎样去判断? [新知初探] 1.圆的标准方程 (1)圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称 为圆的半径. (2)确定圆的要素是圆心和半径,如图所示. (3)圆的标准方程:圆心为 A(a,b),半径长为 r 的圆的标准方程是(x-a) +(y-b) =r . 当 a=b=0 时,方程为 x +y =r ,表示以原点为圆心、半径为 r 的圆. 2.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,圆心 A(a,b),半径为 r.设所给点为 M(x0,y0), 则 位置关系 点在圆上 点在圆内 点在圆外 判断方法 几何法 │MA│=r?点 M 在圆 A 上 │MA│<r?点 M 在圆 A 内 │MA│>r?点 M 在圆 A 外 代数法 点 M(x0,y0)在圆上?(x0-a) +(y0-b) =r 点 M(x0,y0)在圆内?(x0-a) +(y0-b) <r 点 M(x0,y0)在圆外?(x0-a) +(y0-b) >r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x-a) +(y-b) =m 一定表示圆( 2 2 2 2 2 2 ) ) (2)若圆的标准方程为(x+m) +(y+n) =a (a≠0),此圆的半径一定是 a( 答案:(1)× (2)× 2.点 P(m,5)与圆 x +y =24 的位置关系是( A.在圆外 C.在圆上 解析:选 A ∵m +25>24, ∴点 P 在圆外. 2 2 2 ) B.在圆内 D.不确定 3.经过原点,圆心在 x 轴的负半轴上,半径为 2 的圆的方程是________________. 解析:圆心是(-2,0),半径是 2,所以圆的方程是(x+2) +y =4. 答案:(x+2) +y =4 2 2 2 2 求圆的标准方程 [典例] 求经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上的圆的方程. [解] [法一 待定系数法] 设圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r , 2 2 2 a +b =r , ? ? 2 + b- 则有? a- ? ?2a+3b+1=0, 2 2 2 2 2 =r , 2 a=4, ? ? 解得?b=-3, ? ?r=5. 2 ∴圆的标准方程是(x-4) +(y+3) =25. [法二 几何法] 由题意知 OP 是圆的弦,其垂直平分线为 x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心, ?2x+3y+1=0, ? ∴由? ?x+y-1=0, ? 得? ?x=4, ? ?y=-3, ? 2 2 即圆心坐标为(4,-3),半径 r= 4 + - ∴圆的标准方程是(x-4) +(y+3) =25. 2 2 =5. 确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C(a,b)及半径 r,其求解的方法:一是待定系数法, 如法一,建立关于 a,b,r 的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得 圆心坐标和半径,如法二.一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化 较为简捷. [活学活用] 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外 接圆的方程. 解:法一:设所求圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r . 因为 A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的标准方程, 2 2 2 -a + -b =r , ? ? 2 2 2 -a + -2-b =r , 于是有? ? ? -3-a 2+ -4-b 2=r2. 2 2 2 a=-3, ? ? 解得?b=1, ? ?r=5. 故所求圆的标准方程是(x+3) +(y-1) =25. 2 2 ?1 3? 法二:因为 A(0,5),B(1,-2),所以线段 AB 的中点的坐标为? , ?,直线 AB 的斜率 kAB ?2 2? = -2-5 3 1? 1? =-7,因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- = ?x- ?,即 x-7y+10=0.同理 1-0 2 7? 2? 可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x+y+5=0. 由? ?x-7y+10=0, ? ? ?2x+y+5=0 得圆心的坐标为(-3,1), -3- 2 2 又圆的半径长 r= + - 2 2 = 5, 故所求圆的标准方程是(x+3) +(y-1) =25. 点与圆的位置关系 [典例] 已知圆 C 的圆心为 C(-3, -4), 且过原点 O, 求圆 C 的标准方程, 并判断点 M1(- 1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆 C 的位置关系. [解] -3- 因为圆 C 过原点 O ,圆心为 C( - 3 ,- 4) ,所以圆 C 的半径长 r = |OC| = 2 + -4- 2 2 =5,因此圆 C 的标准方程为(x+3) +(y+4) =25. 2 2 2 2 因为(-1+3) +(0+4) =20<25,所以点 M1(-1,0)在圆 C 内;因为(1+3) +(-1+4) 2 2 2 =25,所以点 M2(1,-1)在圆 C 上;因为(3+3) +(-4+4) =36>25,所以点 M3(3,-4)在 圆 C 外. 判断点与圆的位置关系的方法 (1)确定圆的方程:化为(x-a) +(y-b) =r . (2)将点的坐标代入代数式(x-a) +(y-b) ,比较代数式的值与 r 的大小关系. (3)下结论:若(x-a) +(y-b) =


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