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数学《椭圆》复习讲义

第二部分

圆锥曲线


一 重点难点归纳 1 掌握椭圆的定义、标准方程 2 椭圆的简单几何性质 3 椭圆的参数方程 二 知识要点归纳 1 椭圆的定义:



第一定义:平面内 到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于定长 2a(2a ? F1F2 )的点的 轨迹。①椭圆上任意一点 M,满足 MF ? MF2 ? 2a ? F F2 . 1 1 ②当点 M 满足 MF ? MF2 ? 2a ? F F2 是表示的图形为线段 F1F2 . 1 1 第二定义:平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e(e ? ? 0,1? )的点 的轨迹.①椭圆上任意一点 M,满足 2 椭圆的方程及简单性质:
x2 y 2 椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 a b
(a ? b ? 0) ;
[来源:学+科+网]

MF ? e(0 ? e ? 1) 。 d

标准方程

椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

方程 参数方程 一般方程

(a ? b ? 0) ;

? x ? a cos ? ? x ? a cos ? ( ? 为参数) ? ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ? ? y ? b sin ?
mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0.n ? 0, m ? n)

图形

焦点坐标

[来源:Zxxk.Com]

F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0?
A1 ? ?a,0? , A2 ? a,0? ; B1 ? 0, ?b? , B2 ? 0, b ? ;

F1 ? 0, ?c ? , F2 ? 0, c ?

[来源:学*科*网]

顶点

A1 ? 0, ?a ? , A2 ? 0, a ? ; B1 ? ?b,0? , B2 ? b,0? ;

范围

x ≤a , y ≤b ;
l1 :x ? ?
a2 a2 , 2 :x ? l c c

x ≤b , y ≤a ;
l1 : y ? ?
a2 a2 , l2 : y ? c c

几何 性质
ZXXK]

准线 焦半径

[来

源:Z,xx,k.Com][来源:学科网

P ? x0 , y0 ? ? C
对称性 离心率

r1 ? PF1 ? a ? ex0 , r2 ? PF2 ? a ? ex0
c ? ? 0,1? a

r1 ? PF1 ? a ? ey0 , r2 ? PF2 ? a ? ey0

关于 x , y 轴均对称,关于原点中心对称;

e?

a, b, c 的关系

c ? a 2 ? b2
2

焦点三角形 △PF1F2 的面积:S△ PF1F2 ? b tan ( ?F PF2 ? ? ,b 为短半轴长) 1

?

2

b2 3 焦准距:椭圆的焦点到相应的准线的距离, p ? 。 c

4 通径:过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫椭圆的通径, H1 H 2 ? 5 结论:如果 ?PF2 F1 ? ? , ?PF1F2 ? ? ,由定义和正弦定

2b 2 。 a

理可以推出离心率 e ?

cos cos

? ?? ? ??
2 2
(如图)

6 点 P ( x0 , y0 ) 与椭圆 0

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系 a 2 b2 x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1 内部,则 02 ? 02 ? 1 a2 b a b

(1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0

x0 2 y0 2 x2 y 2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则 2 ? 2 ? 1 0 a b a b

(3)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0 7 椭圆的切线问题 (1)椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? 2 ? 1 外部,则 02 ? 02 ? 1 a2 b a b

xx yy x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点 P ( x0 , y0 ) 出的切线方程为 20 ? 20 ? 1 0 2 a b a b

( 2 ) 直 线 A x? B y C? 与 椭 圆 ? 0
2 A2 a 2 ? B 2 b?

x2 y 2 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) 相 切 的 条 件 为 a 2 b2

C2

(3)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )外一点 P ( x0 , y0 ) 引椭圆的两条切线,切点 0 a 2 b2

xx0 yy0 ? 2 ?1 a2 b (4)过切点与此点处切线垂直的直线称为椭圆的法线,经过椭圆上一点的法线 平分过这一点的两条焦半径的夹角。

分别为 P1 与 P2 ,则直线 PP2 (切点弦所在直线)的方程为 1

特别注意的问题:在椭圆的有关计算和证明中,注意椭圆的焦点在 x 轴还是在 y 轴。

三 基本题型归纳 题型一 有关椭圆的标准方程求法
求椭圆方程的方法:除了根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型,再定参).

x2 y 2 ? ?1 m n 2 2 ( m, n ? 0 )可以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ). 例题 1 根据下列条件求椭圆的标准方程:
当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时,可设方程为

?1? 已 知 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 以 坐 标 轴 为 对 称 轴 , 且 经 过 两 点 P1 ?
P2 ? 3, ? 2 ;

6,1 ,

?

?

?

? 2 ? 两准线间的距离为

18 5 ,焦距为 2 5 ; 5 1 x2 y 2 ? 3? 和椭圆 ? ? 1 共准线,且离心率为 2 ; 24 20

? 4 ? 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为
2 5 ,过点 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点. 3

4 5 和 3

? 5? 以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形,且焦点到椭圆的最
短距离为 3 。

变形 1 已知椭圆

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 若将这个椭圆绕着它的右焦 2 5 a b

? 16 后, 所得新椭圆的一条准线方程是 y ? ,则原来的椭圆 2 3 方程是 ;新椭圆方程是 . 题型二 椭圆的定义在解题中的应用
点按逆时针方向旋转 例题 2 设 F1 、F2 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, F2 的 过 100 64

直线交椭圆于 A、B 两点,求 ? ABF1 的周长。 变形 1 如图,动圆与定圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 32 ? 0 内切, 且过定圆内的一个定点 A(0, ?2) ,求动圆圆心 P 的轨迹 方程。 变形 2 已知椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴, 焦距为 6,椭圆上一点 P 在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上运动, 求长轴最短时点 P 的坐标及椭圆的标准方程。 变形 3 设 F1 、F2 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆 9 4

上的一点,已知 P 、 F1 、 F2 是一个直角三角形的三个顶 点,且 PF1 ? PF2 ,求

PF1 PF2

的值。

2 2 变形 4 已知 A (?1, 0) , B (1, 0) ,点 C ( x, y) 满足: ( x ? 1) ? y ? 1 , A ?C 则 C B

x?4

?(



2

A. 6

B. 4

C. 2

D. 不能确定

题型三 有关离心率的问题 椭圆的离心率 e ?

c b ? 1 ? ( )2 当 b ? a 时 e ? 0 椭圆越圆 a a

当 b ? 0 时 e ? 1 椭圆越扁。 例题 3 如图,椭圆的中心为 O,F 是左焦点,A、B 是左右 顶点, 左准线 l 交 x 轴于点 C,P,Q 在椭圆上, PD ? l 于 D,

QF ? OA 于 F,给出下列六个比值:①

PF PD

;②

QF CF





AO AF OF BF ;④ ;⑤ ;⑥ ,其中为离心率的是 CO AC OA BC



变形 1 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , A(?a, 0) , B(0, b) 是两个定点, a 2 b2 b ,则椭圆的离心率为 7

如果 F 到直线 AB 的距离为

变形 2 已知椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 a 的值等于 2 a ?8 9

变形 3 在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , ?A ? 30? ,则以 A,B 为焦点,过点 C 的椭圆的离 心率是
x2 y 2 变形 4 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,若椭圆上存在一点 P, 使 a b

???? ???? ? PF1 ?PF2 ? 0 ,求椭圆的离心率 e 的取值范围。
题型四 焦半径公式及应用 例题 4 设椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 2 (c,0) , P( x1 , y1 ) 点 F a 2 b2

是椭圆上任意一点,求 PF1 和 PF2 的长。 变形 1 已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1 , F1 、 F2 为两个焦点,问能否在椭圆上找到一点 M, 4 3

使 M 到左准线 l 的距离 MN 是 MF1 和 MF2 的等比中项?若存在, 求出 M 的坐标, 若不存在,说明理由。 变形 2 设点 A( x1 , y1 ) 为椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 2 上任意一点, A 作一条斜率为 ? 过
x1 的 2 y1

直线 l ,又设 d 为原点到直线 l 的距离, r1 、 r2 分别为 A 到两焦点的距离,求证:

rr2 ? 为定值 d 1
题型五 椭圆 的参数方程的应用

椭圆的参数方程由

x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? ( )2 ? ( ) 2 ? 1 , 2 a b a b

?x ? a ? cos ? ? x ? a cos ? ? ?? (? 为参数) 令? ? y ? b sin ? ? y ? sin ? ?b ?
x2 y 2 ? 1 ,求 2 x ? 3 y 的最大值和最小值。 例题 5 已知椭圆为 ? 9 4

变形 1 已知椭圆为

x2 y 2 1 ? ? 1 ,求 的最小值。 9 4 xy x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : x ? 2 y ? 18 ? 0 ,在椭圆上求一点 P1 ,使得 9 4

变形 2 已知椭圆为

P1 到直线 l 的距离最小;在椭圆上求一点 P2 ,使得 P2 到直线 l 的距离最大。
变 形 3 设椭圆的中心是坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率 e ?
3 3 , 已知点 P (0, ) 2 2

到这个椭圆上的点的最远距离等于 7 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐标。

题型六 与椭圆有关的最值问题 例题 6 如图,已知点 P 的坐标是 (?1, ?3) , F 为椭圆 当 QF ?
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,点 Q 在椭圆上移动, 16 12
1 PQ 取最小值时, 求点 Q 的坐标, 并其求最小值。 2

变形 1 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,与 x 轴、 轴分别 y a 2 b2

交与 A、B 两点,当 P 在第一象限内且在椭圆上运动时,

求四边形 OAPB 的面积 S 的最大值。

变形 2 如图已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 内有 a 2 b2

一点 A, F1 为左焦点,在椭圆上求一点 P,使

PF ? PA 取得最大值。 1

题型七 直线与椭圆的关系问题 1 直线与椭圆的位置关系的判断,主要是由直 线与椭圆的方程联立,化成关于 x 的一元二次方程以后,用判别式处理。 当 ? ? 0 时,两个公共点即相交; 当 ? ? 0 时,一个公共点即相切; 当 ? ? 0 时,没有公共点即相离。 2 中点弦问题的求解一般不直接求交点,而是根据中点关系与斜率关系求解。
x2 y 2 ? ? 1 有且只有两个 20 5

例题 7 当实数 m 取什么值时,直线 y ? ? x ? m 与椭圆

公共点?有且只有一个公共点?没有公共点? 变形 1 已知椭圆中心在原点, 过它的右焦点引倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 M、 8 N 两点,M、N 到椭圆的右准线的距离为 ,它的左焦点到直线 l 的距离为 2 ,求 3 椭圆方程 。

例题 8 已知椭圆

x2 ? y2 ? 1 2

1 1 (1) 过点 P ( , ) 且被 P 平分的弦所在的直线方程; 2 2 (2) 斜率为 2 的平行弦的中点的轨迹方程;

(3) 过 A(2,1) 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程。
x2 y 2 ? 1, 变形 1 已知椭圆 ? 试确定 m 的取值范围,使椭圆上存在两个不同的点 4 3

关于直线 y ? 4 x ? m 对称。

变形 2 已知某 个椭圆的两个焦点分别是 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B,且 F B ? F2 B ? 10 ,椭圆上不同两点 A( x1 , y1 ) , 1

C ( x2 , y2 ) 满足条件: F2 A 、 F2 B , F2C 成等差数列。
(1) 求该椭圆的方程; (2) 求弦 AC 中点的横坐标; (3) 设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,求 m 的取值范围。



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