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高二数学选修2-2与2-3综合试卷含答案


一选择题 1:若 x2 ? 1 ? x2 ? 3x ? 2 i 是纯虚数,则实数 x 的值是 A. ?1 B.1 C. ?1 。 D.第四象限

?

? ?

?

。 D. 以上都不对

i 2:复数 z= 在复平面上对应的点位于 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3:若 2 (3x2 ? k )dx ? 10, 则k ? ?0 。

A.1 B.2 C.3 D.4 x 4:函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是 。 A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 5:从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿 者不能从事翻译工作,则选派方案共有 。 A.280 种 B.240 种 C.180 种 D.96 种 6: .从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任) ,要求这 3 位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 A.210 种 B.420 种 C.630 种 ( ) D.840 种

9 有四位司机、四个售票员组成四个小组,每组有一位司机和一位售票员,则不同的分组方案共 有 。
8 A. A8 种 4 B. A8 种 4 4 C. A4 · A4 种 4 D. A4 种

7:从甲袋中摸出 1 个红球的概率为 1 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率为 1 ,从两袋中各摸出一个球,则 2 3 3 2 等于 。 A. 2 个球都不是红球的概率 B. 2 个球都是红球的概率 C. 至少有 1 个红球的概率 D. 2 个球中恰有 1 个红球的概率 8:已知回归直线的斜 率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回 归直线方程为 A. ? y ? 1.23x ? 4 B. ? y ? 1.23x ? 5 C. ? y ? 1.23 x ? 0.08 D. ? y ? 0.08 x ? 1.23



9:正态总体的概率密度函数为

f ( x) ?

1 8π

e

?

x2 ( x?R ) 8

,则总体的平均数和标准差分别为



A.0,8 B.0,4 C.0,2 D.0,2 3 2 10:已知 f(x)=x +bx +cx+d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b+c 15 A.有最大值 2 二:填空题 11:由直线 x ? 1 ,x=2,曲线 y ? 1 及 x 轴所围图形的面积是 2 x 12:曲线 y ? ln(2 x ?1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是
n



15 B.有最大值- 2

15 C.有最小值 2

15 D.有最小值- 2

。 。

1 ? (n ? N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数 13:二项式 ? ?2 x ? 4 ? x? ? 是 。 14:某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相互之间没有
1

影响,有下列结论:他第 3 次击中目标的概率是 0.9;②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93 ? 0.1;他至 少击中目标 1 次的概率是 1 ? 0.1 .其中正确结论的序号
4

。 (写出所有正确结论的序号)

15:已知一系列函数有如下性质:函数 y ? x ? 1 在 (0,1] 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数;函数 y ? x ? 2 x x 在 (0, 2] 上是减函数,在 [ 2, ??) 上是增函数;函数 y ? x ? 3 在 (0, 3] 上是减函数,在 [ 3, ??) 上是增
x

函数;…….根据上述提供的信息解决问题:若函数 y ? x ? 值是__________。 三:解答题

3m ( x ? 0) 的值域是 [6, ??) ,则实数 m 的 x

16:已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x 2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R , m ? 0 。 (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间。

17:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字: (1)可组成多少个无重复数字的自然数? (2)可组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)组成无重复数字的四位数中比 4023 大的数有多少?

18:在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每 投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次,某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 ,该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表示该同学 投篮训练结束后所得的总分,其分布列为: (1)求 q 2 的值; (2)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; 0 0.03 2 P1 P2 3 4 P3 5 P4

?
p

(3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。

2

19:在研究某种新药对猪白痢的防治效果时得到如下数据:未用新药的猪存活数为 101,死亡数为 38;用 新药的猪存活数为 129,死亡数为 20. (1)请据此列出列联表并画出等高条形图,然后由图形判断新药对防治猪白痢是否有效? (2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为新药对防治猪白痢有效?

20:当 n ? N * 时, S n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ?? ? 1 ? 1 , Tn ? 1 ? 1 ? 1 ? ?? ? 1 。 2 3 4 2n ? 1 2n n ?1 n ? 2 n ? 3 2n (1)求 S1 、 S 2 , T1 、 T2 ; (2)猜想 S n 与 Tn 的关系,并用数学归纳法证明。

21:已知函数 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 。 x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1, x2 ??1 ,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范 围。

2

3

答案: 一 选择题 1-5:B A A D B;6-10:D C C D B。 二 填空题 11: 2 ln 2 ;12: 2 5 ;13:3;14:①③;15:2。 三 解答题 ( 6m ) 1? ? n , 0 ? 16: (1)f '( x) ? 3mx 2 ? 6(m ? 1) x ? n. 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一 个极值点.所以 f '(1) ? 0 , 即 3m ?
2 所以 n ? 3m ? 6 ; (2)由(1)知, f '( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 3m( x ?1)[ x ? (1 ? )] 。 m 2 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ? ,当 x 为化时, f ( x) 与 f '( x) 的变化如下表: m 2 2 2 (1, ? ?) 1? (? ?,1 ? ) (1 ? ,1) 1 x m m m f '( x) 0 + 0 单调递 单调递 f ( x) 单调递减 极小值 极大值 增 减 2 2 故由上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 (? ?,1 ? ) 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ? ?) 上单调递减. m m

17:(1)组成无重复数字的自然数共有 偶数中个位数是 0 共有

1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 C6 ? C5 A5 ? C5 A5 ? C5 A5 ? C5 A5 ? C5 A5 ? 1631 个;(2)无重复数字的四位

1 1 2 C11 A53 ? 60 个;个位数是 2 或 4 共有 C2 C4 A4 ? 96 个,所以,重复数字的四位偶数共

1 3 有 60 ? 96 ? 156 个;(3)无重复数字的四位数中千位数字是 5 的共有 C1 A5 ? 60 个,千位数字是 4、百位数

字是 1、2、3、5 之一的共有
1 1 1 1

1 2 C11C4 A4 ? 48 个,千位数字是 4、百位数字是 0、十位数字是 3、5 之一的

共有 C1C1 C2 A3 ? 6 个,千位数字是 4、百位数字是 0、十位数字是 2、个位数字只能是 5 有 1 个。所以,比 4023 大的数共有 60 ? 48 ? 6 ? 1 ? 115 个。 18: (1) 设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, P( A) ? 0.75 , P(B)=q 2 , P(B) ? 1? q2 .根据分布列知: ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1? q2 )2 =0.03,所以 1 ? q2 ? 0.2 , q 2 =0.8 ; ( 2 )当 ? =2 时 , P1= P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB) ? P( A)P(B) P( B) ? P( A)P(B)P(B) =0.75 q 2 ( 1 ? q2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q2 )=0.24;当 ? =3 时, P2 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25(1? q2 )2 =0.01, 当

?

=4



,

P3=

P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q22

=0.48,



?

=5



,

P4= P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB) ? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24。 所以随机变量 ? 的分布列为如右; 随机变量 ? 的数学期望

?
p

0 0.03
4

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

(3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 ; 分的概率为 P(BBB ? BBB ? BB) ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 。 该同学选择 (1) 中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分 的概率大。 19: (1)列联表如右,等高条形图略; 存活数[来源:学科网] 未用新药 用新药 合计 (2)由公式计算得 k ? 101 129 230 死亡数 38 20 58 合计 139 149 288

288 ? (101? 20 ? 38 ?129)2 ? 8.658 ,由于 8.658 ? 6.635 ,故可以有 99 % 的把握认 139 ?149 ? 230 ? 58 为新药对防治猪白痢是有效的。
20: (1) S1 ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 7 ? , S2 ? 1 ? ? ? ? , T1 ? ? , T2 ? ? ? , 2 2 1?1 2 2 3 4 12 2 ? 1 2 ? 2 12
即: 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 . (n∈N*)
2 3 4 2n ? 1 2n n ?1 n ? 2 n?3 2n

(2)猜想: Sn ? Tn (n ? N * ) 下面用数学归纳法证明。 ① n=1 时,已证 S1=T1

② 假设 n=k 时,Sk=Tk(k≥1,k∈N*) ,即: 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3 4

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? . 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 Sk ?1 ? Sk ? ? ? Tk ? ? ? ? ? ??? ? ? 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1) k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2(k ? 1)
?

1 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ?? ? ?? 2k 2k ? 1 2(k ? 1) k ?2 k ?3 2k ? 1 ? k ? 1 2(k ? 1) ? (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2

? Tk ?1
由①,②可知,对任意 n∈N*,Sn=Tn 都成立。 21: (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? a ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? ,
2

x

∴ h? ? x ? ? 2 ? a 2 ? 1 . ∵ x ? 1 是函数 h ? x ?
x2 x

的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a 2 ? 0 .∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值 点,∴ a ?
3.
2 a2 ? ?? , ∴ h? ? x ? ? 2 ? a 2 ? 1 . 令 h? ? x ? ? 0 , 即 ? ln x , 其 定 义 域 为 ? 0, x x x

解 法 2 : ∵ h ? x ? ? 2x ?

2?

2 2 2 a2 1 ?1 ? 1 ? 8a 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 .∵ ? ? 1? 8a ? 0 ,∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ? 2 x x 4

2 (舍去) , x2 ? ?1 ? 1 ? 8a ,

4

x
h? ? x ?

? 0, x2 ?
— ↘

x2
0 极小值

? x2 , ???
+ ↗

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:
2 2 依题意, ?1 ? 1 ? 8a ? 1 ,即 a ? 3 ,

h ? x?

4

5

∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . (2) 解: 对任意的 x1, x2 ??1,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1, x2 ??1,e? 都有 ? f ? x ? ? ≥ ? g ? x ? ? . ? ? min ? ?
max

当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? 1 ? 0 .∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e? 上是增函数.
x

∴? ? g ? x ?? ?

max

? g ? e ? ? e ? 1 .∵ f ? ? x ? ? 1 ? a ? ? x ? a ?? x ? a ? ,且 x ? 2 2
2

x

x

?1, e? , a ? 0 .
2

①当 0 ? a ? 1 且 x ?[1, e ]时, f ? ? x ? ? ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,∴函数 f ? x ? ? x ? a 在[1,e ]上是增函数, 2
x

x

∴? ? f ? x ?? ?

min

? f ?1? ? 1 ? a 2 .由 1 ? a

2

≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ,又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.

②当1≤ a ≤ e 时,若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ? ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 .
x2

x2

∴函数 f ? x ? ? x ? a 2 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数.∴ ? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
x

由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ? 1 ,又1≤ a ≤ e ,∴
2

e ?1 ≤a ≤e . 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ?
2 ∴函数 f ? x ? ? x ? a 在 x

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

?1,e? 上是减函数.∴ ? ? f ? x ?? ?

min

a a2 ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , ? f ? e ? ? e ? .由 e ? e e

2

又 a ? e ,∴ a ? e .

e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? ? 2 ?

6


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