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动量和能量中的滑板滑块模型专题


动量和能量中的滑块—滑板模型
一、三个观点及其概要 ——— 解决力学问题的三把金钥匙 思想观点 动力学观点 规律 牛顿运动(第一 第二第三)定律 及运动学公式 动量守恒定律 动量定理 能量观点 动能定理 机械能守恒定律 能量守恒定律 研究对象 单个物体或整体

动量观点

系统 单个物体 单个物体 单个 (包含地球) 或系统

二、思维切入点 1、五大定律和两大定理是该模型试题所用知识的思维切入点。该模型试题一般主要是 考查学生对上述五大定律和两大定理的综合理解和掌握, 因此, 学生在熟悉这些定律和定理 的内容、研究对象、表达式、适用条件等基础上,根据试题中的已知量或隐含已知量选择解 决问题的最佳途径和最简捷的定律,以达到事半功倍的效果。 2、由于滑块和木板之间依靠摩擦力互相带动,因此,当滑块和木板之间的摩擦力未知时, 根据动能定理、动量定理或能量守恒求摩擦力的大小是该模型试题的首选思维切入点。 3、滑块和木板之间摩擦生热的多少和滑块相对地面的位移无关,大小等于滑动摩擦力与滑 块相对摩擦面所通过总路程之乘积是分析该模型试题的巧妙思维切入点。 若能先求出由于摩 擦生热而损失的能量,就可以应用能量守恒求解其它相关物理量。 4、确定是滑块带动木板运动还是木板带动滑块运动是分析该模型运动过程的关键切入点之 一.当(没有动力的)滑块带动木板运动时,滑块和木板之间有相对运动,滑块依靠滑动摩 ... 擦力 带动木板运动;当木板带动滑块运动时,木板和滑块之间可以相对静止,若木板作变速 .. 运动,木板依靠静摩擦力 带动滑块运动。 .... 三、专题训练 1.如图所示,右端带有竖直挡板的木板 B,质量为 M,长 L=1.0m,静止在光滑水平面上.一 个质量为 m 的小木块(可视为质点)A,以水平速度 v0 ? 4.0m / s 滑上 B 的左端,而后与其右 端挡板碰撞, 最后恰好滑到木板 B 的左端. 已知 M=3m, 并设 A 与挡板碰撞时无机械能损失, 碰撞时间可忽略(g 取 10m / s ) .求: (1)A、B 最后的速度; (2)木块 A 与木板 B 间的动摩擦因数.
2

2.如图所示,光滑水平地面上停着一辆平板车,其质量为 2m,长为 L,车右端(A 点)有 一块静止的质量为 m 的小金属块.金属块与车间有
1

B

C

A F L

摩擦,与中点 C 为界,AC 段与 CB 段摩擦因数不同.现给车施加一个向右的水平恒力,使车 向右运动,同时金属块在车上开始滑动,当金属块滑到中点 C 时,即撤去这个力.已知撤去 力的瞬间,金属块的速度为 v0,车的速度为 2v0,最后金属块恰停在车的左端(B 点)如果 金属块与车的 AC 段间的动摩擦因数为μ1,与 CB 段间的动摩擦因数为μ2,求μ1 与μ2 的比 值.

3.如图所示,质量为 M 的小车 A 右端固定一根轻弹簧,车静止在光滑水平面上,一质量为 m 的小物块 B 从左端以速度 v0 冲上小车并压缩弹簧,然后又被弹回,回到车左端时刚好与车 保持相对静止.求整个过程中弹簧的最大弹性势能 EP 和 B 相对于车向右运动过程中系统摩 擦生热 Q 各是多少?

B

A

4.如图所示,质量 M=4kg 的滑板 B 静止放在光滑水平面上,其右端固定一根轻质弹簧,弹 簧的自由端 C 到滑板左端的距离 L=0.5m,这段滑板与木块 A 之间的动摩擦因数μ=0.2,而 弹簧自由端 C 到弹簧固定端 D 所对应的滑板上表面光滑.可视为质点的小木块 A 以速度 v0 =0.2, 由滑板 B 左端开始沿滑板 B 表面向右运动. 已知 A 的质量 m=1kg, g 取 10m/s2 . 求: (1)弹簧被压缩到最短时木块 A 的速度; (2)木块 A 压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能.

5.一块质量为 M 长为 L 的长木板,静止在光滑水平桌面上,一个质量为 m 的小滑块以水平 速度 v0 从长木板的一端开始在木板上滑动,直到离开木板,滑块刚离开 木板时的速度为 . 若把此木板固定在水平桌面上, 其他条件相同. 求: 5 (1)求滑块离开木板时的速度 v; (2)若已知滑块和木板之间的动摩擦因数为μ,求木板的长度.
M

v0

v0
m

6.如图所示,质量 mA 为 4.0kg 的木板 A 放在水平面 C 上,木板与水平面间的动摩擦因数μ

2

B A L C

为 0.24,木板右端放着质量 mB 为 1.0kg 的小物块 B(视为质点) ,它们均处于静止状态.木 板突然受到水平向右的 12N·s 的瞬时冲量 I 作用开始运动,当小物块滑离木板时,木板的 2 动能 EkA 为 8.0J,小物块的动能 EkB 为 0.50J,重力加速度取 10m/s ,求: (1)瞬时冲量作用结束时木板的速度 v0; (2)木板的长度 L.

7.如图所示,长木板 ab 的 b 端固定一挡板,木板连同档板的质量为 M=4.0kg,a、b 间距离 s=2.0m.木板位于光滑水平面上.在木板 a 端有一小物块,其质量 m=1.0kg,小物块与木板 间的动摩擦因数μ=0.10,它们都处于静止状态.现令小物块 以初速 v0=4.0m/s 沿木板向前滑动, 直到和挡板相碰.碰撞后, 小物块恰好回到 a 端而不脱离木板. 求碰撞过程中损失的机械 能.

8.如图所示,在一光滑的水平面上有两块相同的木板 B 和 C.重物 A(视为质点)位于 B 的右端,A、B、C 的质量相等.现 A 和 B 以同一速度滑向静止的 C、B 与 C 发生正碰.碰后 B 和 C 粘在一起运动, A 在 C 上滑行, A 与 C 有摩擦力. 已知 A 滑到 C 的右端而未掉下. 试问: 从 B、C 发生正碰到 A 刚移到 C 右端期间,C 所走过的距离是 C 板长度的多少倍.

9.如图所示,光滑水平面上有一质量 M=4.0kg 的带有圆弧轨道的平板车,车的上表面是一 段长 L=1.5m 的粗糙水平轨道,水平轨道左侧连一半径 R=0.25m 的

1 光滑圆弧轨道,圆弧轨 4

道与水平轨道在 O′点相切。现将一质量 m=1.0kg 的小物块(可视为质点)从平板车的右端 以水平向左的初速度 v0 滑上平板车,小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5。小物块恰 2 能到达圆弧轨道的最高点 A。取 g=10m/ ,求: A O (1)小物块滑上平板车的初速度 v0 的大小。 (2)小物块与车最终相对静止时,它距 O′点的距离。 v M O (3)若要使小物块最终能到达小车的最右端,则 v0 要增大到多 0 / 大?

m

10.竖直平面内的轨道 ABCD 由水平滑道 AB 与光滑的四分之一 D
3

v C B A

圆弧滑道 CD 组成 AB 恰与圆弧 CD 在 C 点相切,轨道放在光滑的水平面上,如图所示。一个 质量为 m 的小物块(可视为质点)从轨道的 A 端以初动能 E 冲上水平滑道 AB,沿着轨道运 动,由 DC 弧滑下后停在水平滑道 AB 的中点。已知水平滑道 AB 长为 L,轨道 ABCD 的质量为 3m。求: (1)小物块在水平滑道上受到摩擦力的大小。 (2)为了保证小物块不从滑道的 D 端离开滑道,圆弧滑道的半径 R 至少是多大? (3)若增大小物块的初动能,使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是 1.5R,试分析小 物块最终能否停在滑道上?

11. 如图所示, 两个完全相同的质量为 m 的木板 A、 B 置于水平地面上, 它们的间距 s=2.88m. 质 量为 2m,大小可忽略的物块 C 置于 A 板的左端.C 与 A 之间的动摩擦因数为μ1=0.22,A、B 与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.10, 最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力. 开始时, 三个物体处于静止状态.现给 C 施加一个水平向右,大小为 2 mg 的恒力 F,假定木板 A、B
5

碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起,要使 C 最终不脱离木板,每块木板的长度至少应为多 少?
C F A s B

12.如图所示,一质量为 M、长为 l 的长方形木板 B 放在光滑的水平地面上,在其右端放一 质量为 m 的小木块 A,m<M.现以地面为参照系,给 A 和 B 以大小相等、方向相反的初速度 (如图) ,使 A 开始向左运动、B 开始向右运动,但最后 A 刚好没有滑离木板.以地面为参 考系. (1)若已知 A 和 B 的初速度大小为 v0,求它们最后的速度的大小和方向; (2)若初速度的大小未知,求小木块 A 向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的 距离. v0 v0

滑板滑块模型之二 动量和能量中的滑块—滑板模型参考答案
4

1.【答案】 (1)1m/s; (2) 0.3 解析: (1)A、B 最后速度相等,由动量守恒可得

( M ? m)v ? mv0
解得 v ?

v0 ? 1m / s 4
1 1 2 mv 0 ? ( M ? m)v 2 2 2

(2)由动能定理对全过程列能量守恒方程

?mg ? 2 L ?
解得 ? ? 0.3

2.【答案】 ?1 ? 3 ?2 2 解:设水平恒力 F 作用时间为 t1. 对金属块使用动量定理 Ff t1=mv0-0 即μ 1mgt1=mv0,得 t1= 对小车有(F-Ff)t1=2m×2v0-0,得恒力 F=5μ 1mg 金属块由 A→C 过程中做匀加速运动,加速度 a1= 小车加速度 a2 ?

?1 g

v0

Ff m

=

?1 m g
m

? ?1 g

F ? Ff 2m

?

5?1mg ? ?1mg ? 2?1 g 2m

金属块与小车位移之差 s ?
2 而 s ? L ,所以, ?1 ? v0 2 gL

v 1 2 1 2 1 a2t1 ? a1t1 ? (2?1 g ? ?1 g )( 0 )2 2 2 2 ?1 g

从小金属块滑至车中点 C 开始到小金属块停在车的左端的过程中, 系统外力为零, 动量守恒, 设共同速度为 v,由 2m×2v0+mv0= (2m+m)v,得 v= 由能量守恒有 ? mg 所以, ?1 ? 3 ?2 2
2 m Mv0 1 2 1 2 3.解. mv0 ? (m ? M )v , 2Q ? mv 0 ? (m ? M )v ,EP=Q= 2 2 4(m ? M )

5 v0 3

2 L 1 2 1 1 5 ? mv0 ? ? 2m ? (2v0 ) 2 ? ? 3m ? ( v0 ) 2 ,得 ?2 ? 2v0 2 2 2 2 3 3gL

4.【答案】 (1)2m/s; (2)39J 解析:(1)弹簧被压缩到最短时,木块 A 与滑板 B 具有相同的速度,设为 V,从木块 A 开 始沿滑板 B 表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中,A、B 系统的动量守恒,则 mv0= (M+m)V ①

5

V=

m v0 M ?m



木块 A 的速度:V=2m/s ③ (2)木块 A 压缩弹簧过程中,弹簧被压缩到最短时,弹簧的弹性势能最大. 由能量守恒,得
2 ? EP= mv0

1 2

1 (m+M )v 2-? mgL 2



解得 EP=39J
2 v0 v0 16m 8m 5.【答案】 (1) ; (2) 1? (12 ? ) 5 M 25? g M

解析: (1)设长木板的长度为 l,长木板不固定时,对 M、m 组成的系统,由动量守恒定律, 得 mv0 ? m

v0 ? Mv? 5



由能量守恒定律,得 ? mgl ?

1 2 1 v0 2 1 mv0 ? m( ) ? Mv?2 2 2 5 2




当长木板固定时,对 m,根据动能定理,有

? ? mgl ?

1 2 1 2 mv ? mv0 2 2

联立①②③解得 v ?

v0 16m 1? 5 M
2 v0 8m (12 ? ) 25? g M

(2)由①②两式解得 l ?

6.【答案】0.50m 解析: (1)设水平向右为正方向,有 I=mAv0 ① 代入数据得 v0=3.0m/s ② (2)设 A 对 B、B 对 A、C 对 A 的滑动摩擦力的大小分别为 FAB、FBA 和 FCA,B 在 A 滑行的时间 为 t,B 离开 A 时 A 和 B 的速度分别为 vA 和 vB,有 -(FBA+FCA)t=mAvA-mAvA ③ FABt=mBvB ④ 其中 FAB=FBAFCA=μ (mA+mB)g ⑤ 设 A、B 相对于 C 的位移大小分别为 sA 和 sB, 有 - ( FBA + FCA )sA =

1 1 2 2 mAvA - mAv0 2 2

⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩

FABsB=EkB
动量与动能之间的关系为 mAvA ? 2mA EkA

mBvB =

2mB EkB

木板 A 的长度 L=sA-sB 代入数据解得 L=0.50m 7.【答案】2.4J

6

解析:设木块和物块最后共同的速度为 v,由动量守恒定律得

mv0 ? (m ? M )v
设全过程损失的机械能为 E,则



E?

1 2 1 mv 0 ? (m ? M )v 2 ② 2 2

用 s1 表示从物块开始运动到碰撞前瞬间木板的位移, W1 表示在这段时间内摩擦力对木板所做 的功.用 W2 表示同样时间内摩擦力对物块所做的功.用 s2 表示从碰撞后瞬间到物块回到 a 端时木板的位移, W3 表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功. 用 W4 表示同样时间内摩擦力 对物块所做的功.用 W 表示在全过程中摩擦力做的总功,则

W1= ?m gs 1 W2= ? ?mg(s1 ? s) W3= ? ?m gs2 W4= ?mg( s 2 ? s) W=W1+W2+W3+W4 用 E1 表示在碰撞过程中损失的机械能,则 E1=E-W
由①~⑧式解得

③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

E1 ?

1 mM 2 v0 ? 2 ?mgs 2 m?M



代入数据得 E1=2.4J ⑩ 7 8.【答案】 3 解析:设 A、B、C 的质量均为 m.碰撞前,A 与 B 的共同速度为 v0,碰撞后 B 与 C 的共同速 度为 v1.对 B、C,由动量守恒定律得 mv0=2mv1 ① 设 A 滑至 C 的右端时,三者的共同速度为 v2.对 A、B、C,由动量守恒定律得 2mv0=3mv2 ② 设 A 与 C 的动摩擦因数为μ ,从发生碰撞到 A 移至 C 的右端时 C 所走过的距离为 s,对 B、C 由功能关系 ?mgs ?

1 1 2 ( 2 m)v 2 ? (2m)v12 2 2



设 C 的长度为 l,对 A,由功能关系

?mg ( s ? l ) ?

1 2 1 2 mv 0 ? mv 2 2 2
s ? 7



由以上各式解得

l 3 9.解: (1)平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒,设小物块到达圆弧最高点 A 时,
二者的共同速度 v1 ,由动量守恒得:

mv0 ? (M ? m)v1


7

由能量守恒得:

1 1 2 mv 0 ? ( M ? m)v12 ? mgR ? ?mgL 2 2
联立①②并代入数据解得: v0 ? 5m / s

② ③

(2)设小物块最终与车相对静止时,二者的共同速度 v2 ,从小物块滑上平板车,到二者相 对静止的过程中,由动量守恒得:

mv0 ? (M ? m)v2



设小物块与车最终相对静止时,它距 O′点的距离为 x 。由能量守恒得:

1 1 2 2 mv 0 ? ( M ? m) v 2 ? ?mg ( L ? x) ⑤ 2 2 联立③④⑤并代入数据解得: x ? 0.5m ⑥
(3)设小滑块最终能到达小车的最右端,v0 要增大到 v01 ,小滑块最终能到达小车的最右端 时的速度为 v3 ,与(2)同理得:

mv01 ? (M ? m)v3

⑦ ⑧

1 1 2 2 mv 01 ? ( M ? m)v 3 ? 2 ?mgL 2 2
联立⑦⑧并代入数据解得: v01 ?

5 6 m/ s 2



10 解: (1)小物块冲上轨道的初速度设为 v ( E ?

1 mv 2 ) , 2

最终停在 AB 的中点,跟轨道有相同的速度,设为 V 在这个过程中,系统动量守恒,有 mv ? (M ? m)V ① 系统的动能损失用于克服摩擦做功,有
?E ?
?E ?

1 1 1 M 3 mv 2 ? ( M ? m)V 2 ? mv 2 ( )? E 2 2 2 M ?m 4
3 fL 2





解得摩擦力 f ?

E . 2L

(2)若小物块刚好到达 D 处,此时它与轨道有共同的速度(与 V 相等) ,在此过程中系统总 动能减少转化为内能(克服摩擦做功)和物块的势能,同理,有
?E1 ? 1 1 3 mv 2 ? ( M ? m)V 2 ? E ? fL ? mgR 2 2 4



解得要使物块不从 D 点离开滑道,CD 圆弧半径至少为 R ?

E . 4m g

(3) 设物块以初动能 E′, 冲上轨道, 可以达到的最大高度是 1.5R,物块从 D 点离开轨道后, 其水平方向的速度总与轨道速度相等,达到最高点后,物块的速度跟轨道的速度相等(设为

8

V2) ,同理,有
?E ? ? 1 1 3 3 mv ? 2 ? ( M ? m)V22 ? E ? ? fL ? mgR 2 2 4 2



物块从最高点落下后仍沿圆弧轨道运动回到水平轨道上沿 BA 方向运动,假设能沿 BA 运动 x 远,达到与轨道有相同的速度(等于 V2) ,同理,有,
?E ? ? 1 1 3 mv ? 2 ? ( M ? m)V22 ? E ? ? f ( L ? x) 2 2 4



解得 x ? 3 L
4

物块最终停在水平滑道 AB 上,距 B 为

3 L 处。 4

11.【答案】0.3m 解析:设 A、C 之间的滑动摩擦力大小 f1,A 与水平地面之间的滑动摩擦力大小为 f2

?1 ? 0.22,?2 ? 0.10 ,则
2 2 F ? mg ? f1 ? ?1 ?2mg 且 F ? mg ? f 2 ? ?2 (2m ? m) g 5 5 说明一开始 A 和 C 保持相对静止,在 F 的作用下向右加速运动,有 1 2 ( F ? f2 )?s ? (2m ? m)v1 2 A、B 两木板的碰撞瞬间,内力的冲量远大于外力的冲量,由动量守恒定律得: mv1=(m+m)v2 碰撞结束后三个物体达到共同速度的相互作用过程中, 设木板向前移动的位移 s1, 选三个物
体构成的整体为研究对象,外力之和为零,则 2mv1+(m+m)v2=(2m+m+m)v3 设 A、B 系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为 f3,则 A、B 系统,由动能定理:

1 1 2 2 f1 ?s1 - f3 ?s1 = 2mv3 - ?2mv2 2 2 f3 = m2 (2m + m + m) g
2 对 C 物体,由动能定理得 F ? (2l + s1 ) - f1 ? (2l + s1 ) = 2mv3 -

1 2

1 2 2mv1 2

联立以上各式,再代入数据可得 l=0.3m. 12.【答案】 (1)

M ?m M ?m v0 ,方向向右; l (2) M ?m 4M

解析: (1)A 刚好没有滑离 B 板,表示当 A 滑到 B 板的最左端时,A、B 具有相同的速度.设 此速度为 v,A 和 B 的初速度的大小为 v0,由动量守恒可得

Mv0 ? mv0 ? (M ? m)v
解得 v ?

M ?m v0 ,方向向右 M ?m



(2)A 在 B 板的右端时初速度向左,而到达 B 板左端时的末速度向右,可见 A 在运动过程 中必经历向左作减速运动直到速度为零,再向右作加速运动直到速度为 v 的两个阶段.设 l1 为 A 开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程, l2 为 A 从速度为零增加到速度为 v 的 过程中向右运动的路程,L 为 A 从开始运动到刚到达 B 的最左端的过程中 B 运动的路程,如 图所示.设 A 与 B 之间的滑动摩擦力为 f,根据动能定理,

9

1 1 2 Mv0 ? Mv 2 2 2 1 2 对 A,有 fl1 ? mv0 2 1 fl2 ? mv 2 2
对 B,有 fL ? 由几何关系 L+(l1-l2)=l 由①②③④⑤式解得 l1 ?

② ③ ④ ⑤ ⑥

M ?m l 4M

10



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