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2010届中考数学数形结合思想在几何中的应用专题练习


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专题练习 数形结合思想在几何中的应用
一. 填空题 1. 若A(-5,3)、B(3,3),则以AB为底边、腰长为5的等腰三角形ABC的顶点C(点 C不在坐标轴上)的坐标是______________。 应填入:(-1,6)

2. 已知:半径为 5的圆与两坐标轴都相切,圆心在第二象限,则圆心坐标是 __
______________。 应填入: (? 5, 5) 3. 若第四象限点A到坐标原点O的距离为2,OA与x轴正半轴夹角为30°,则A点坐标是 __________________。 应填入: ( 3, ? 1) 4. 已知:A(3,-5),|AB|=13,点B在x轴负半轴上,则B点坐标是_____________。 应填入: ( ?9 ,0) 5. 已知:如图所示,△ABC中,A为坐标原点,AB在x轴上,∠BAC=180°-α(0° <α<90°),AC=m,则C点坐标(用α 的三角函数及m表示)是_____________。

y C α O A B x

应填入: ( ?m cos?,m sin ? ) 6. 如图所示,在矩形ABCD中,BD=10,△ABD的内切圆半径为2,切三边于E、F、G, 则矩形两边AB=________________,AD=_______________。
A E G B C F D

应填入:6,8
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二. 解答题 7. 已知:如图所示,矩形AOBC中,以O为坐标原点,OB、OA分别在x轴、y轴上,A(0, 4),∠OAB=60°,以AB为轴对折后,使C点落在D点处,求D点坐标。(利用点到轴的距 离等于点坐标的绝对值沟通形与数)
y A C

O D

B

x

解: (2 3, ? 2) 8. 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=4,AD=BC,

cos?ADC ?

3 ,求: 5

(1)DC的长; (2)sinB的值。(图形中线段和差作为等量关系)
A

B

D

C

? Rt?ACD中, cos?ADC ?
解:(1) 设CD=3k,∴AD=5k

CD 3 ? AD 5

又 ? BC ? AD, ? 3k ? 4 ? 5k ? k ? 2, ? CD ? 3k ? 6

(2) ? BC ? 3k ? 4 ? 6 ? 4 ? 10,AC ? AD 2 ? CD 2 ? 4k ? 8,
? AB ? AC2 ? BC2 ? 82 ? 102 ? 2 41

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?s i n ? B

AC 8 4 41 ? ? AB 2 41 41

9. 已知:如图所示,在矩形ABCD中,以AB为直径作圆O切CD于F,连AC交圆O于P,PE ⊥AB于E,AB=a,求PE的长。(利用几何定理构造方程组)

D

F P

C

A

O

E

B

依题意,FC ? BC ?
略解:

1 5 a,设PE ? x,CP ? y,则AC ? a?y 2 2

?? a ? 2 ? 5 ? a? ?? ? ? y ? ? 2? ? 2 ? ? ? 5 ?? a?y 2 ?x 2 ,解得PE ? x ? a ?a ? 5 5 ? a 2 ?2
10. 已知:如图所示,△ABC内接于圆O,AD是圆O直径交BC于E。求证:

tan B ? tan C ?

AE 。(构造直角三角形,将三角函数值转化为线段比,等比代换) DE
A

O E B D C

略证: 作AG?BC于F,交圆O于G,

AF AF ,tan ? C BF FC AF ? AF AF ? AF AF AE ?t a n ?t a n ? B C ? ? ? BF ? FC AF ? FG FG DE tan ? B
11. 边长为2的正方形ABCD的对角线交于O点,若CD、BA同时分别绕C点、B点逆时针旋 转到如图所示位置形成四边形A′BCD′,设A′C交BD′于点O′,若旋转60°时,点O 运动到O′所经过的路径是线段还是曲线?长度是多少?(图形运动中的相关计算)
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A

D

A′

D′ O′ B

O

C

分析与解答:如图所示,当D以C为圆心,CD为半径逆时针旋转60°到达D′点时,A 同样地旋转到A′点,此时O以BC中点M为圆心,OM长为半径,旋转到O′

点,OM ?

? 1 边长 ? 1,?OMO' ? 60 ? ,O运动的路径是弧 OO' , 2 ? 60? ? 1 ? ? OO' 的长度 ? ? 180 3
A D

A′

D′ O′ B M

O

C

12. 如图所示,∠ABC=30°,D为切点,FG⊥AB于F,圆O圆心在AB上,连结

ED,且BD ? 3。设OF ? x,S 四边形EDGF ? y.
(1)求y与x的函数关系式; (2)若S四边形EDGF=5S△BED,确定FG与圆O的位置关系,并说明理由。 (线段、面积作为函数中的变量,图中面积和差作为等量关系)

A

OF E B D G C

解: (1)连结OD, ? OD?BC于D,

OD ? BD ? tan 30? ? 3 ?
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3 ? 1, 3

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? OB ? 2。由OE ? OD ? 1
? BE ? 1,FC ? BF ? tan 30? ? ?2 ? x?
S ?BDE ?

3 3

1 S ?BDO ?? BE ? EO ? 1,等底等高 ? 2

? S ?BDE ?

1 1 1 3 ? BD ? OD ? ? 3 ? 1 ? 2 2 4 4 1 3 BF ? FG ? 2 4

由S 四边形EDGF ? S ?BGF ? S ?BDE ? ? 1 3 3 ( 2 ? x) ? ( 2 ? x) ? ? 2 3 4 3 3 ( 2 ? x) ? ? 6 4

?y ?

化简:y ?

3 2 2 3x 5 x ? ? 3 6 3 12

(2)若S四边形EDGF ? 5S?BED
? S ?B F G? 6S ?B D E

?

3 ( 2 ? x) 2 3 ? 6? ,解得x1 ? 1,x 2 ? ?5 6 4

当x=1时, 即OF=1时, F为圆上一点, 且FG⊥AB, 所以F为切点, GF为圆O切线; 当x=-5, 不满足题意,舍。 初三数学模拟练习(一) 一. 选择题:(1~8题各3分,9~12题各4分) 1. 如果 | a| ?| b| ,那么一定有( A. a ? b D. a ? b 2. 下面计算正确的是( A. ) B. ) C. a ? b

B. a ? b

6 ? 2 ? 6?2 ? 2

2 ? 3 ? 2?3 ? 5
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C. 3. 当

3 ? 2 3? 6 ? 3 3
?1 ? a ? 1时,化简 (a ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 得(
B. ?2
2 2

D.

5? 3 ? 10 ? 6 2


C. 2a

A. 2 D. ?2a

4. 若关于x的一元二次方程 k( x ? 2x ? 1) ? 2x ? x ? 0 有实数根,则k的取值范围是 ( )

k??
A.

1 4

1 k ? ? 且k ? 2 4 B.

k??
C.

1 4

1 k ? ? 且k ? 2 4 D.

?x ? y ? a ? x ? y ? b 只有一个实数解,那么a、b满足的条件是( 5. 关于x、y的方程组 ?
A. a ? 4 b
2



B. a ? 4 b
2

C. a ? 4 b
2

D. a ? 0,b ? 0 6. 直角坐标平面上有一点P,点P到y轴的距离为2,点P的纵坐标为 ?3 ,则P点坐标一定是 ( ) A. (?3, ? 2) B. (?2, ? 3) C. (2, ? 3)

D. (2, ? 3) 或( ?2, ? 3)

7. 如果 x ? 0时,函数 A. k 1 ? 0且k 2 ? 0

y ? k 1 x ? b和函数y ?

k2 x 都是y随x的增大而减小,那么(
C. k 1 ? 0且k 2 ? 0



B. k 1 ? 0且k 2 ? 0

D. k 1 ? 0且k 2 ? 0 8. 若抛物线 y ? x ? 2 2x ? c 的顶点在x轴上,则c值为(
2

) C. ?2

A. 2

B. 0

D.

2 2


9. 如图所示,a、b、c、d的位置已经确定,则下列不等式中不成立的是(
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A. a ? b D. a ? b ? c ? d

B. ac ? d

C. bd ? d

b

a
?

0

c

d
) C. 钝角三角形 ) C. 8 D. D.

10. 在 ?ABC 中,如果 ?A ? ?B ? 90 ,那么 ?ABC 是( A. 直角三角形 锐角三角形或钝角三角形 11. 已知两数a=16,b=4,则a与b的比例中项是( A. 4 B. ?4 B. 锐角三角形

?8
12. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则在这个圆锥的侧面展开图中,扇形圆心角的 度数为( A. 60° 180° 二. 填空题:(13~18题各3分,19、20两题各4分)
2 2 13. 已知关于x的方程 x ? 3x ? m ? 1 ? 0 的两根之差是 14 ,则m=______________。

) B. 90° C. 120° D.

2 14. 已知方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两根为 x 1 、x 2 ,则 ( x1 ? x 2 ) ? _____________。

2

x 2 ? 3x 4 ? x ? a 的增根为-1,则a=____________________。 15. 若分式方程 x ? a
16. 等腰三角形顶角的外角是100°,则它的一个底角是_____________________度。 17. 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的对角线的长分别是5和8, 则等腰梯形的面 积是____________________。

2 5 18. 矩形的一条对角线长为 2 5cm ,这条对角线与一条边夹角的余弦值为 5 ,则矩形
的面积是____________________ cm 。 19. 半径分别为1和2的两圆交于A、B,过A点分别作两圆的切线,恰好互相经过另一个圆 圆心,则AB长为__________________。 20. 如果扇形的半径为10, 扇形的弧所对的圆周角为36°, 那么扇形的弧长为__________。
2

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试题答案 一. 选择题 1. D 5. B 9. C 二. 填空题 2. C 6. D 10. C 11. D 3. A 7. D 12. D 4. D 8. A

?
13. 15.

3 2

14. 16. 50

20

?1
4 5 5

17. 40

18. 8

19.

20.

4?

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