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期末复习综合练习3参考答案和提示(5)


期末复习综合练习 3 参考答案和提示(5)

6.答:第一数学归纳法是根据下面定理给出的证明方法。 定理:设 p (n) 是一个关于自然数 n 的命题,如果

1 ? 当 n =1 时, p (n) 成立; 2 ? 假设 n ? k (k ? N )时P(n) 成立,在此前提下推出 n ? k ? 1 p(k ? 1 也成立。 时 )
那么 p (n) 对任意自然数 n 都成立。

( 证明: (1)当 n=1 时 1 ? a) ? 1 ? a ,显然命题成立。
1

(2)假设 n=k 时命题成立,即 (1 ? a) k ? 1 ? ka 当 n=k+1 时:

(1 ? a) k ?1 ? (1 ? a)(1 ? a) k ? (1 ? a)(1 ? ka) ? 1 ? (k ? 1)a ? ka2
因为 a ? 0 ,所以 ka 2 ? 0 。 于是 (1 ? a)
k ?1

? 1 ? (k ? 1)a ? ka 2 ? 1 ? (1 ? k )a 。

所以当 n=k+1 时命题成立。 由(1)和(2)可知命题对于任何自然数都成立。 [提示] 该题目主要涉及第五章的内容。也属于难度较低的问题。 7.解:第二数学归纳法根据下面定理给出的证明方法。 定理:设 p (n) 是一个关于自然数 n 的命题,如果

1 ? 当 n =1 时, p (n) 成立; 2 ? 假设 n ? k (k ? N )时P(n) 时 ) 成立,在此前提下推出 n ? k ? 1 p(k ? 1 也成立。
那么 p (n) 对任意自然数 n 都成立。 证明:设 ? ? 3 ? 5,? ? 3 ? 5 于是 ? ? ? ? 6,?? ? 4 (1)当 n=1 时 3 ? 5) 3 ? 5) 6 ? 2 ? 3 是 2 的倍数。 ( ? ( ?

当 n=2 时 3 ? 5) ? 3 ? 5) ? 28 ? 2 ? 7是2 的倍数。 ( (
2 2 2 2

(2)假设 n=1,2,??,k+1 时命题成立, 当 n=k+2 时:

(3 ? 5 ) k ? 2 ? (3 ? 5 ) k ? 2 ? ? k ?2 ? ? k ?2 ? (? ? ? )(? k ?1 ? ? k ?1 ) ? ?? (? k ? ? k ) ? 6(? k ?1 ? ? k ?1 ) ? 4(? k ? ? k )
因为 ? k ? ? k 是 2 的倍数, ? k ?1 ? ? k ?1是2 k ?1 的倍数,
k

所以 6 ? k ?1 ? ? k ?1) 4( ? k ? ? k )是 2 和 ( 即 ? k ?2 ? ? k ?2 是 2
k ?2

k ?2

的倍数。

的倍数。

所以当 n=k+2 时命题成立。 由(1)和(2)可知命题对于任何自然数都成立。 [提示] 该题目与前题类似,也是第五章的内容。

8.解: (1)理解题意:本题的条件是(ⅰ)c=10, (ⅱ)cosA/cosB=b/a=4/3; (ⅲ)P 是三角 形△ABC 内切圆上的动点,所求的结论是要求出 P 点到 A、B、C 三顶点的距离的平方和的最 值。综观之,这是一道关于图形的最值问题。 (2)拟订计划:设想以前未曾遇到过这个问题,但曾见过也解过与密切相关的两类问 题: 第一, 第二, 已知三角形某些边角之间的数量关系,要求判断这三角形的形状或解出它。 在一确定的三角形中的某曲线上有一动点,求这点到三角形顶点或三边的距离

和或平方和的最小值。 于是原问题可分裂为两个较为简单的问题: ① 大小。 ② 在确定的△ABC 的内切圆上有一动点 P,试求 PA?+PB?+PC?的最小值与最大值。 对①小题,△ABC 已具备了三个条件式,这类问题据以前的经验,只要对数式进行适当 的推算,三角形不难解出来。对于②小题,在确定了三角形的形状大小以后,因涉及内切圆 上一个动点,拟引入直角坐标系,即能利用解析法列出目标函数,其最值也可用一般的代数 三角方法顺利求出。至此,一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。 a、b、c 为△ABC 的三边,且 c=10,cosA/cosB=b/a=4/3,试确定△ABC 的形状及其

(3)实现计划 由 cosA/cosB=b/a,用正弦定理作代换,得 cosA/cosB=sinB/sinA, 即 sinA·cosA =sinB·cosB 或 sin2B=sin2A 因为 cosA/cosB =4/3,知 A≠B,且 A、B 是三角形内角, 所以 2A=π -2B,即 B+A=π /2 所以△ABC 是直角三角形。 再由 c=10,b/a=4/3 及 a?+b?=c?,可解得 a=6,b=8。 如图 1—2,建立直角坐标系,使直角△ABC 的三个顶点 为 A(8,0) 、B(0,6) 、C(0、0) 在直角△ABC 中,有 a+b=c+2r ,r=2, 所以,内切圆的圆心为 Oˊ(2,2) , 方程为(x-2)?+(y-2)?=4。 设圆上的任一点为 P(x,y) ,则有 S=|PA|?+|PB|?+|PC|? =(x-8)?+y?+x?+(y-6)?+x?+y? =3{(x-2)?+(y-2)?}-4x+76 =3·4-4x+76=88-4x 因 P 是内切圆上的点,故 0≤x≤4,于是当 X=4 时,有最小值 72,当 x=0 时,有最大 值 88。 (4)回顾讨论:对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑: x=0 时,P 点运动到 BC 边上的 M,此时的所求平方和最大值为 88;当 x=4 时,P 点运动 到过 M 的直径的另一端点 N,此时得所求平方和最小值为 72。 此外, 能否用别的方法来导出结果呢?对第①小题也可一开始用余弦定理作代换, 对第 ②小题除选择不同的位置建立坐标系外, 圆上的动点 P 也可以利用参数式表示, 于是有好几 种解法。 [提示] 该题目主要涉及第八章的内容,是书上的例题。 O M N PP A y B

9.解: a、b、c 为△ABC 的三边,且 c=10,cosA/cosB=b/a=4/3, 由 cosA/cosB=b/a,用正弦定理作代换,得 cosA/cosB=sinB/sinA, 即 sinA·cosA =sinB·cosB 或 sin2B=sin2A 因为 cosA/cosB =4/3,知 A≠B,且 A、B 是三角形内角, 所以 2A=π -2B,即 B+A=π /2 所以△ABC 是直角三角形。

再由 c=10,b/a=4/3 及 a?+b?=c?,可解得 a=6,b=8。 如图 1—2,建立直角坐标系,使直角△ABC 的三个顶点 为 A(8,0) 、B(0,6) 、C(0、0) 在直角△ABC 中,有 a+b=c+2r ,r=2, 所以,内切圆的圆心为 Oˊ(2,2) , 方程为(x-2)?+(y-2)?=4。 设圆上的任一点为 P(x,y) ,则有 S=|PA|?+|PB|?+|PC|? =(x-8)?+y?+x?+(y-6)?+x?+y? =3{(x-2)?+(y-2)?}-4x+76 =3·4-4x+76=88-4x 因 P 是内切圆上的点,故 0≤x≤4,于是当 X=4 时,有最小值 72,当 x=0 时,有最大 值 88。 影响问题解决的因素有: (1)知识结构;即解决问题时个体所拥有的数学知识、已掌握的事实和算法,以及这 些知识和经验的表述方式,知识的良好组织。解决此问题时,需要三角函数、三角形以及解 析几何的知识,没有这些知识,是不能解决此问题的。 (2)探索方法(或解题策略) 。即处理非熟悉或者非常规问题的策略与技术。解决上述 问题时,考虑是否遇到过这个问题?是否曾见过也解过与密切相关的两类问题: 第一,已知三角形某些边角之间的数量关系,要求判断这三角形的形状或解出它。 第二,在一确定的三角形中的某曲线上有一动点,求这点到三角形顶点或三边的距离 和或平方和的最小值。 于是原问题可分裂为两个较为简单的问题: ① a、b、c 为△ABC 的三边,且 c=10,cosA/cosB=b/a=4/3,试确定△ABC 的形状及其大 小。 ② 在确定的△ABC 的内切圆上有一动点 P,试求 PA?+PB?+PC?的最小值与最大值。 上述这种探索方法对解决问题是非常重要的。 (3)数学能力。要成功地、迅速地解决问题,需要多种能力的综合,对于解决问题起 作用的能力。比如解决问题后的评估能力,包括对于上面解题过程的运算检验;考虑 x=0 时,P 点运动到 BC 边上的 M,此时的所求平方和最大值为 88;当 x=4 时,P 点运动到过 M 的直径的另一端点 N, 此时得所求平方和最小值为 72。 此外, 能否用别的方法来导出结果呢? 对第①小题也可一开始用余弦定理作代换, 对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外, 圆 上的动点 P 也可以利用参数式表示,于是有好几种解法。 (4)情感态度 情感态度主要是指良好的心理素质,如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等非智力因 O M N PP A y B

素。如解决此问题的过程中需要认真、一丝不苟的品质。 [提示] 该题目所用实例与前题相同,但要求分析回答的问题发生了变化。前面这些题目都要 求掌握中学数学题的解题技巧, 尽管题目并不算难, 但由于有些学员不了解中学数学教材的 具体内容,不熟悉某些习题的解法,可能感到有些困难。而从另一个角度考虑,做一个合格 的中学数学教师,常用的解题方法还是必须要掌握的。

10.答: 上好数学课要做到: ①教学目的明确,要求具体,并使之付诸实践; ②教学内容难易适度,安排紧凑; ③教学方法、手段运用得当; ④能够突出重点,解决难点; ⑤充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用; ⑥在传授知识的同时,注意发展学生智力; ⑦关注学生的情感、态度、价值观的培养; ⑧语言精炼准确,板书规范,安排合理。 个人体会: (略) 。 [提示] 该题目主要涉及第九章的内容,注意其回答包括两个方面: 一方面,应当力求全面叙述课堂教学应当注意的要点; 另一方面,要结合实际,这方面的叙述不要求全面,只要能对上述要点中的一点或若 干点展开叙述即可。 需注意举例要贴切, 所举例子应当是个人在数学教学或学习中的切实体 会。

11.答: (1)思维的创造性或创造性思维表现为能独立地发现问题、分析问题和解决问题, 主动地提出新的见解和采用新的方法的思维品质。 (2)根据心理学家林崇德教授的研究,创造性思维具有如下五个重要特点: ①新颖、独特且有意义的思维活动“ ②思维加想象是创造性思维的两个重要成分 ③在创造性思维过程中,新形象和新假设的产生有突然性,常被称为“灵感” ④分析思维和直觉思维的统一 ⑤创造性思维是发散思维与辐合思维的统一 (3)数学教学中,学生创造性思维的培养:

①培养归纳、类比能力,鼓励大胆猜想 ②一题多解,培养发散思维能力 ③鼓励质疑提问,培养思维的批判性 ④重视直觉思维能力培养 ⑤引人数学开放题 ⑥指导学生写数学小论文 ⑦多一点耐心和宽容 [提示] 该题目主要涉及第九章的内容,注意其回答包括两个方面: 一方面,应当力求全面叙述以上要点; 另一方面, 要结合实际, 能结合自己的教学经验对其中一个或多个要点进行深入阐述。 需注意举例要贴切,所举例子应当是个人在数学教学或学习中的切实体会。

12.答: 1.数学能力就是一种特殊能力,它是与数学活动相适应,保证数学活动顺利完成的心 理条件。 2.数学能力由以下一些主要成份组成: ①感知数学材料形式化的能力; ②对数学对象.数和空间的关系的抽象概括能力; ③运用数学符号进行推理的能力; ④运用数学符号进行运算的能力; ⑤思维转换能力; ⑥记忆特定数学符号、抽象的教学原理和方法、形式化的数学关系结构的能力。 3.培养学生数学能力的途径: (1)加强数学基础知识的教学,为学生能力的发展打下一个坚实的基础 ①抓好基础知识和基本技能的教学 ②重视数学思想和方法的教学 (2)激发学生的求知欲望,培养学生的兴趣,调动和发挥学生的主动性和积极性。 ①学习的主动性首先表现为学习的自觉性 ②整个教学过程应充分体现学生是学习的主体的教学思想 ③保持兴趣的持久性稳定性 (3)改进教学方法,为培养能力开辟有利的途径 采取怎样的教学方法才有利于学生能力的培养呢? ①在教学过程中要采用启发式,废除注入式 ②重视观察与思维的训练

③根据教学的不同内容和要求,采用适当的教学方法,以促使各种能力的发展 (4)注意知识应用,在实践中发展学生的能力 [提示] 该题目主要涉及第九章的内容,注意其回答包括两个方面: 一方面,应当力求全面叙述以上要点; 另一方面, 要结合实际, 能结合自己的教学经验对其中一个或多个要点进行深入阐述。 需注意举例要贴切,所举例子应当是个人在数学教学或学习中的切实体会。


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