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2016届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学(理)试题 解析版


2016 届宁夏银川一中高三上学期第三次月考 数学(理)试题及解析

一、选择题(题型注释) 1.不等式(1+x) (1-|x|)>0 的解集是 A. x ?1 ? x ? 1 B. x x ? 1





?

?

?

?

C. x x ? ?1或x ? 1

?

?
?

D. x x ? 1且x ? ?1 答案:D

?

试题分析: 当 x ? 0 时, 原不等式为 (1 ? x)2 ? 0 ,x ? ?1 , 所以 x ? 0且x ? ?1 , 当x ?0 时,原不等式为 (1 ? x)(1 ? x) ? 0 ,即 ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 , ?1 ? x ? 1 ,所以 0 ? x ? 1 , 综上原不等式的解为 x ? 1且x ? ?1 ,故选 D. 考点:解绝对值不等式. 2.等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项和等于 ( ) A.160 答案:B 试 题

B.180 分 析 :

C.200 由 等

D.220 差 数 列 的 性
1


2


3 1 8

1 a1 ? a ? 2a ? 0 a ?a ? ( a ? a ?3a ? a 1? a 8) 2a ? 1a ? 9 3 20(a1 ? a20 ) 1 ? ( ?24 ? 78) ? 18 ,所以 S20 ? ? 180 ,故选 B. 3 2
考点:等差数列的性质,等差数列的前 n 项和.

3 .已知向量 a ? ( x ? 1, 2) , b ? ? 2,1? , 则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的 ( ) A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 答案:A B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?

试题分析:a, b 夹角为锐角 ? a ? b ? 2( x ?1) ? 2 ? 2x ? 0 ,x ? 0 , 当 x ? 5 时,a // b , “ x ? 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的必要不充分条件,故选 A. 考点:向量的数量积与夹角. 4.对一切实数 x,不等式 x ? a x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

? ?

? ?

?

?

?

?





A. (- ? ,-2) 答案:B

B.[-2,+ ? )

C.[-2,2]

D.[0,+ ? )

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2 试题分析:对一切实数 x,不等式 x ? a x ? 1 ? 0 恒成立,等价于对任意实数 t ? 0 ,

? a ?? ? 0 或 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,解得 a ? ?2 , f (t ) ? t ? at ? 1 ? 0 恒成立,因此有 ? 2 ? ? f (0) ? 1 ? 0
2

故选 B. 考点:不等式恒成立,二次函数的性质. 【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题,由于题中含有绝对值符号,因此解题的关键 是换元思想,设 t ? x ,这样原来对一切实数 x 恒成立,转化为对所有非负实数 t ,不 等式 t 2 ? at ? 1 ? 0 恒成立,也即二次函数 f (t ) ? t 2 ? at ? 1在区间 [0, ?? ) 上的最小值 大于或等于 0,最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题,解题中始终贯 彻了转化与化归的数学思想. 5. 命题 p : ?x ? R, ax 2 ? ax ? 1 ? 0 , 若 ? p 是真命题, 则实数 a 的取值范围是 ( A. (0, 4] 答案:D 试题分析:若 ? p 是真命题,即 ?x ? R, ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,当 a ? 0 时显然满足题意,当 B. [0, 4] C. ? ??,0? ? ?4, ??? D. ? ??,0? ? ? 4, ??? )

a ? 0 时,不满足题意,当 a ? 0 时, ? ? a 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 0或a ? 4 ,综上有
a ? 0或a ? 4 ,故选 D.
考点:二次函数的性质,一元二次不等式问题. 6.设点 P

? x0 , y0 ?

x 与 y ? ? x ? x ? 0? 的 图 象 的 一 个 交 点 , 则 是函数 y?tan

?x

2

0

? 1? ?1 ? cos2x0 ? 的值为 (
B.2+ 2

) C.2+ 3 D.因为 x0 不唯一,故不确

A.2 定 答案:A

2 试题分析:由题意 tan x0 ? ? x0 ,所以 ( x0 ? 1)(1 ? cos 2x0 ) ? (tan 2 x0 ?1) ? 2cos2 x0

? 2(sin 2 x0 ? cos2 x0 ) ? 2 ,故选 A.
考点:同角三角函数的关系. 7. 已知 x、 y 为正实数, 且 x, a1, a2, y 成等差数列, x, b1, b2, y 成等比数列, 则 的取值范围是 ( A.R 答案:C 试 题 分 析 : 由 已 知 ) C. ?4, ? ? ? D. ?? ?, 0? ? ?4, ? ??
(a1 ? a 2 ) 2 b1b2

B. ?0, 4?

a1 ? a2 ? x ? y



b1b2 ? xy







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(a1 ? a2 )2 ( x ? y)2 x y x y ? ? ? ?2?2 ? ? 2 ? 4 ,当且仅当 x ? y 时取等号,故选 b1b2 xy y x y x
C. 考点:等差数列与等比数列的性质,基本不等式. 8.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切, 则圆 C 的方程为 ( A. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 答案:C 试题分析: 设圆心为 C ( a, 0)( a ? 0 ) , 由题意 )

3a ? 4 32 ? 52

, ? 2 ,a ? 2 或 a ? ?7(舍去)

所以圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,故选 C. 考点:圆的方程. 9.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an = 大小是 ( A. an > an ?1 答案:B 试题分析:an ?1 ? an ? ) B. an < an ?1 C. an = an ?1 D.与 n 的取值有关

an ,其中 a、b、c 均为正数,那么 an 与 an ?1 的 bn ? c

a(n ? 1) an ac ? ? ? 0, 所以 an?1 ? an , b(n ? 1) ? c bn ? c (bn ? b ? c)(bn ? c)

故选 B. 考点:比较大小,数列的单调性. 10.已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 , 则 c 的最大值是 (

?

?

?

? ?

? ?

?



A.1 答案:C

B.2

C. 2

D.

2 2

试题分析:设 a ? b 与 c 的夹角为 ? ,由于 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 所以 a ? b ?

? ?

?

?

?

? ?

2 ,由

?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? (a ? c) ? (b ? c) ? 0 得 a ? b ? (a ? b) ? c ? c ? 0 ,即 c ? (a ? b) ? c ? a ? b ? c cos ? ,
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所以 c ?

?

2 cos ? ,最大值为 2 ,故选 C.
1 ? 2sin ? x 在区间 ? ?2,4? 上的所有零点之和等于 ( 1? x

考点:向量的数量积. 11. 函数 f ? x ? ? A. 2 答案:C )

B. 6

C. 8

D. 10

试题分析:作出函数 y ?

1 与 y ? 2sin ? x 的图象,如图,由于这两个函数的图象都 1? x

关于点 (1, 0) 对称,因此它们的交点也关于点 (1, 0) 对称,由图象知它们在 [1, 4] 上有四 个交点,因此在 [?2,1] 上也有四个交点,且对应点的横坐标之和为 2,所以 f ( x ) 在

[?2, 4] 上的所有零点之和为 2 ? 4 ? 8 ,故选 C.

考点:函数的零点. 【名师点晴】本题考查函数的零点问题,解题的关键是把函数零点转化为函数图象的交 点,从而利用函数图象的对称性,把零点两两配对,它们的和为 2,再根据图象(函数 的周期性与单调性)确定出在给定区间内零点的个数,最终求得结论. 12. 已知函数 f ( x ) 的周期为 4, 且当 x ? ? ?1,3? 时, f ( x) ? ?
2 ? ?m 1 ? x x ? ? ?1,1?, 其 x ? 1, 3 , ? ? 1 ? x ? 2 ? ?

中 m ? 0 .若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为 ( A. ?



? 15 8 ? ? 3 ,3? ? ? ?

B. ?

? 15 ? , 7 ? ? 3 ? ? ?

C. ? , ?

? 4 8? ? 3 3?

D. ? , 7 ?

?4 ?3

? ?

答案:B 试题分析:作出函数 y ? f ( x) 的图象及直线 y ?

x x ,显然直线 y ? 与 y ? f ( x) 在 3 3

[0,3] 上显然有 3 个交点,由题意直线 y ?

x 与 y ? f ( x) 在 [3,5] 上有两交点,在 [7,9] 3
2

? y ? m 1 ? ( x ? 4) 2 ? y ? m 1? (x ? 8) 15 ? ? 上无交点, 由? 有两解, 得m ? , 由? x x 3 ?y ? ?y ? 3 3 ? ?

无解,

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得 m ? 7 ,所以

15 ? m ? 7 ,故选 B. 3

y 2

-2

-1

O 1

2

3

4

x

考点:方程根的分布与函数的零点. 【名师点晴】本题考查方程的解与函数零点之间的关系.解题关键是把方程的解的个数 转化为函数图象的交点个数, 由函数的周期性作出函数 f ( x ) 的大致图象, 直线 y ?

x 与 3

y ? f ( x) 的图象一定有三个交点,还要有两个交点,同样由周期性知直线 y ?

x 与曲 3

2 2 线 y ? m 1 ? ( x ? 4) 要有两个交点且与曲线 y ? m 1 ? ( x ? 8) 无交点,由此可得 m

的取值范围. 二、填空题(题型注释) 13.直线 ax+y+1=0 与连结 A(2,3) ,B(-3,2)的线段相交,则 a 的取值范围是_ _. 答案:a≤-2 或 a≥1. 试 题 分 析 : 直 线 ax ? y ? 1 ? 0 过 定 点 P(0, ?1) , k PA ?

3 ? ( ?1) ?2 , 2?0

k PB ?

2 ? (?1) ? ?1 , ?3 ? 0 ? 2 ,所以 ? a ? 2 或 ?a ? ?1 ,即 a ? ?2 或 a ? 1 . ?3 ? 0

考点:直线的斜率.
, 2) 的直线 l 与圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 交于 A 、 B 两点, C 为圆心,当 14.过点 M (1
?ACB 最小时,直线 l 的方程是 答案: x ? y ? 3 ? 0



1 AB AB 1 2 试题分析: 由已知点 M 在圆内,sin ?ACB ? , 因此要使 ?ACB 最小, ? 2 r 2r
则 AB 取 最 小 值 , 又 AB 过 点 M , 因 此 M 为 AB 中 点 , 即 CM ? AB ,

kCM ?

4?2 ? 1 ,所以 kl ? ?1, l 方程为 y ? 2 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 3 ? 0 . 3 ?1

考点:直线与圆的位置关系.

? x ? y ?1 ? 15.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的 ?2 x ? y ? 2 ?
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最大值为 7,则 答案:7

3 4 ? 的最小值为 a b



试 题 分 析 : 作 出 约 束 条 件 表 示 的 可 行 域 , 如 图 ?ABC 内 部 ( 含 边 界 ) ,作直线

l : ax ? by ? 0 ,把直线 l 向上平移时 z 增大,即 l 过点 A(3, 4) 时, z 取最大值 7,所以

3 4 1 3 4 3a ? 4b ? 7 ,因此 ? ? (3a ? 4b)( ? ) a b 7 a b

1 12b 12a 1 12b 12a 12a 12b ? 时等号成立, ? (25 ? ? ) ? (25 ? 2 ? ) ? 7 ,当且仅当 b a 7 a b 7 a b
故所求最小值为 7.

考点:简单的线性规划问题,基本不等式. 【名师点晴】本题把简单的线性规划问题与基本不等式结合在一起,考查简单线性规划 中已知目标函数的最值反求参数的值得出 a , b 的关系, 巧妙利用整体代换思想把最值问 题转化为基本不等式,是一道典型的知识交汇题,考查了我们的分析问题解决问题的能 力.

16.已知 M 、m 分别是函数 f ( x) ?

?? ? 2 sin ? x ? ? ? 2x 2 ? x 4? ? 的最大值、最小值,则 2 2 x ? cos x

M ?m?
答案:2 试 题 分 析 :



f ( x) ?

sin x ? cos x ? 2 x 2 ? x sin x ? x ? 1? , 显 然 函 数 2 2 x ? cos x cos x ? 2 x 2

sin x ? x 是奇函数,设其最大值为 A ,则其最小值为 ? A ,所以 M ? A ? 1 , cos x ? 2 x 2 m ? ? A ? 1 ,从而 M ? m ? 2 . g ( x) ?
考点:函数有奇偶性与最值. 【名师点晴】 本题考查函数的最值, 求函数的最值一般方法有: 一是利用函数的单调性, 如二次函数,指、对数函数,三角函数等,二是利用不等式的性质,三是利用导数确定 函数的单调性,确定最值.而本题的关键是构造奇函数,利用奇函数的的最大最小值互 为相反数,从而求得题中函数的最大与最小值之和. 三、解答题(题型注释)
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17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ,( x ? R) 2 2

(1)当 x ? ? ?

? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ( x) 的最小值和最大值; ? 12 12 ?

( 2 )设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0 ,若向量

?? ? m ? (1,sin A )与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值.
答案: (1)最小值是 ?

3 (2) a ? 1, b ? 2 . ? 1 ,最大值是 0; 2

试题分析: (1)求三角函数的最值,一般是把函数化为一个三角函数的形式,即化为

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? k 的 形 式 , 由 二 倍 角 公 式 及 两 角 差 的 正 弦 公 式 有

f ( x)?

3 1 ? cos x2 1 ? 由正弦函数的性质可得结论; (2) s i nx 2 ? ? ? sin x (?2 ?1 , ) 2 2 2 6

把已知条件变形,由(1)有 f (C ) ? sin(2C ?

?
6

) ? 1 ? 0可得 C ?

?
3

,两向量共线有

sin B ? 2 sin A , 这个结论结合正弦定理得 b ? 2a , 最后应用余弦定理可求得 a , b 的值.
试题解析: (1) f ( x) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 1, 2 2 6

因为 x ? ? ?

? ? 5? ? ? ? 2? ? , ? ,所以 2 x ? ?? , ? ? 3 3 ? ? 12 12 ?

?? ? 3 ? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ?? ,1?, 所以 函数 f ?x ? 的最小值是 ? ? 1 , f ?x ? 的最大值是 6? ? 2 ? 2 ?
0 (2)由 f ?C ? ? 0 解得 C=

?? ? ? ,又 m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线 3


? sin B ? 2 sin A,? b ? 2a

2 2 由余弦定理得 3 ? a ? b ? 2ab cos

?
3



解方程组① ②得 a ? 1, b ? 2 . 考点:二倍角公式与两角和与差的正弦公式,正弦定理与余弦定理,向量共线. 【名师点晴】本题考查三角函数的性质,平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理, 属于基础题.三角函数的性质由函数的解析式确定,在函数解析式较为复杂时要注意使 用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式,然后利用正弦(余 弦)函数的性质求解. 18. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的各项均为正数, 它的前 n 项的和为 Sn , 点 (an , S )n
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在函数 y ?

1 2 1 1 x ? x ? 的图像上;数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1, bn?1( an?1 ? an ) ? bn .其中 8 2 2

n? N? .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

5 an ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Tn ? ( n ? N ? ) . 9 bn

n ?1 答案: (1) an ? 4n ? 2 , bn ? 2 ? ( ) ; (2)证明见解析.

1 4

试题分析: (1)由已知得 S n ?

1 2 1 1 an ? an ? ,这是 Sn 与 an 的关系,求通项的方法 8 2 2

是利用 an ? Sn ? Sn?1 把此关系式转化为 an 与 an ?1 的关系,从而求得通项,数列 {bn } 的 关系式实质上是

bn ?1 1 1 (2)由(1)知 ? ? ,是一个等比数列; bn an ?1 ? an 4

cn ?

an 1 ,它是一个等差数列与等比数列相乘构成的新数列,其前 n 项 ?(2 n ? 1?) n? 4 bn

和用错位相减法可求和 Tn ,可证得结论.

1 2 1 1 an ? an ? , ① 8 2 2 1 1 1 2 当 n ? 2 时, S n ?1 ? an ?1 ? an ?1 ? , ② 8 2 2 1 2 1 1 2 ①-②得: an ? (an ? an ?1 ) ? (an ? an ?1 ) ,即 an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) , 8 2 4
试题解析: (1)由已知条件得 S n ? ∵数列 ?an ? 的各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 4 ( n ? 2 ) , 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 4n ? 2 ;∵ b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn , ∴ b1 ? 2,

1 bn?1 1 ? ,∴ bn ? 2 ? ( ) n ?1 ; 4 bn 4

(2)∵ cn ?

an ? (2n ?1)4 n?1 , bn

∴ Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 42 ? ?? (2n ? 3) ? 4n?2 ? (2n ?1) ? 4n?1 ,

4Tn ?

4 ? 3 ? 42 ? ?? (2n ? 5) ? 4n?2 ? (2n ? 3) ? 4n?1 ? (2n ?1) ? 4n ,
5 5 5 ? (2n ? ) ? 4n ? ? , 3 3 3

2 n ?1 n 两式相减得 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 ? ? ? 4 ) ? (2n ? 1)4 ? ?

∴ Tn ?

5 . 9
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考点:等差数列与等比数列的通项公式,错位相减法.

19. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 , 设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 答案: (1) y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 ; (2) ?0,

? 12 ? . ? 5? ?

试题分析: (1)求圆的切线方程,首先要求出圆的方程,本题已知圆的半径为 1,因此 要求出圆心坐标,由已知把两直线方程联立方程组可解得圆心坐标,得圆方程,由此可 知过点 A 的切线斜率一定存在,故可设其方程为 y ? kx ? 3 ,由圆心到切线距离等于圆 的半径可求得 k 值; (2) 平面上满足 MA ? 2MO 的点 M 的轨迹是圆 x ? ( y ? 1) ? 4 ,
2 2

因此题设就变为圆 C 与圆 x ? ( y ? 1) ? 4 有公共点, 由两圆位置关系可得圆心 C 的横
2 2

坐标 a 的取值范围. 试题解析: (1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2) ,∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 (1 分) 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ? 分)

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 (3 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) 2 ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1 (2 分)
2

又 ∵ MA ? 2 MO ∴ 设 M 为 ( x,y ) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理 得 :

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆 D(3 分)
∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

即圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1 (2 分)
? 12 ? (1 分) ? 5? ?

解得, a 的取值范围为: ?0,

考点:直线和圆的位置关系,圆与圆的位置关系. 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 过点 ( P 1, 1) , 且与圆 M: ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? r 2 ?r ? 0?
2 2

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关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称. (1)求圆 C 的方程: (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 最小值; (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 交与 A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互 补,O为坐标原点,试判断直线OP与直线AB是否平行?请说明理由. 答案: (1) x2 ? y 2 ? 2 ; (2)-4; (3)平行. 试题分析: (1)由题意圆心 C 与圆心 M 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称; (2)设 Q( x, y) , 由 ( 1 ) 有 x2 ? y 2 ? 2 , PQ ? MQ ? x2 ? y 2 ? x ? y ? 4 ? x ? y ? 2 , 可 设

??? ? ???? ?

x? 2 c o ?s y ?,

(3)本题证明用解析法, ?2,代入可求得 s i n PQ ? MQ 的最小值;

??? ? ???? ?

由于直线PA和直线PB的倾斜角互补,设 PA 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,则 PB 方程为

y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ,把它们代入圆 C 的方程求得 A, B 的坐标,计算得 kOP ? kAB ,即

OP // AB .

?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ? 试题解析: (1)设圆心 C(a,b) ,则 ? ?b ? 2 ? 1 ? ?a ? 2
所以圆 C 的方程为 x ? y ? r
2 2 2
2

解得 a=0 b=0

, 将点 P 的坐标代人得 r ? 2 , 所以圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 2 .
(2)设 Q(x,y) ,则 x ? y ? 2
2 2

所以 PQ ? MQ ? x2 ? y 2 ? x ? y ? 4 ? x ? y ? 2 所以 PQ ? MQ 的最小值为 -4 (可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意可知,直线PA和直线PB的斜率存在且互为相反数 故 可设PA: y ? 1 ? k ( x ? 1) PB: y ? 1 ? ?k ( x ? 1)
2 2

??? ? ???? ?

??? ? ???? ?

由?

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ?x ? y ? 2
2 2

得 (1 ? k ) x ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0
2

k 2 ? 2k ? 1 因为点 P 的横坐标是 x=1,一定是方程的解 故可得 x A ? 1? k 2
同理 x B ?

k 2 ? 2k ? 1 1? k 2

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所以

k AB ?

y B ? y A ? k ( x B ? 1) ? k ( x A ? 1) 2k ? k ( x B ? x A ) ? ? ? 1 ? k OP xB ? x A xB ? x A xB ? x A

所以直线OP与直线AB一定平行. 考点:圆的方程,向量的数量积,圆的参数方程,直线与圆的交点,两直线平行的判定. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x (a, b ? R) . (Ⅰ)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ?2b 的大小. 答案: (Ⅰ)当 a ? 0 ,b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,??? ,当 a ? 0 ,b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ? ,?? ? ,当 a ? 0 时,函数

1 b

?1 ?b

? ?

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ?, f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0, ,?? ? ; 单调递增区间是 ? ? ? ? ? 4a 4a ? ? ? ? (Ⅱ) ln a ? ?2b .
2ax 2 ? bx ? 1 试题分析: (Ⅰ) 函数定义域为 (0, ??) , 求出导函数 f '( x) ? , 由于 a ? 0 , x
分两种情况, a ? 0 和 a ? 0 , a ? 0 时, f '( x ) ? 立,当 b ? 0 时, f '( x) ? 0 的解为 x ?

bx ? 1 ,当 b ? 0 时, f '( x) ? 0 恒成 x

1 ,可得单调区间,当 a ? 0 时, f '( x ) ? 0 有 b

两根,可得 f '( x) ? 0 (或 ? 0 )的解集,即单调区间; (Ⅱ)由已知得 f (1) 是 f ( x ) 的

极小值,由(1)得

? b ? b 2 ? 8a ? 1 ,即 b ? 1 ? 2a ,因此问题为比较 ln a 与 4a ? 2 4a
1 4

的大小,为此研究函数 g ( x) ? ln x ? 4x ? 2,通过导数得 g ( x) 绵最大值为 g ( ) 且

1 g ( ) ? 0 ,因此得 ln a ? 4a ? 2 . 4
2 试题解析: (Ⅰ)由 f ?x? ? ax ? bx ? ln x, x ? ?0,??? ,得 f ??x ? ?

2ax2 ? bx ? 1 . x

(1)当 a ? 0 时, f ?? x ? ?

bx ? 1 x

①若 b ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?? x ? ? 0 恒成立,所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,??? ②若 b ? 0 ,当 0 ? x ? 当x?

1 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递减, b

1 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增, b
试卷第 11 页,总 16 页

所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ? . (2)当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 ,
2

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

得 2ax2 ? bx ? 1 ? 0 ,

? b ? b 2 ? 8a ? b ? b 2 ? 8a 由 ? ? b ? 8a ? 0 得 x1 ? , x2 ? 4a 4a

显 然 ,

x1 ? 0, x2 ? 0
当 0 ? x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递减, 当 x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增,

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 所 以 函 数 f ?x ? 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? ? 4a ? ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,?? ? , ? ? 4a ? ?
综上所述 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,??? 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ?

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

当 a ? 0 时 ,函 数 f ?x ? 的 单 调 递减区 间 是 ? 0,

? ? ?

? b ? b 2 ? 8a ? ? , 单 调递 增 区间是 ? 4a ?

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,?? ? . ? ? 4a ? ?
(Ⅱ) 由 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,则函数 f ?x ? 在 x ? 1 处取得最小 值,

? b ? b 2 ? 8a 由(Ⅰ)知, 是 f ?x ? 的唯一的极小值点, 4a


? b ? b 2 ? 8a ? 1 ,整理得 4a

2a ? b ? 1 即 b ? 1 ? 2a .
1 ? 4x x

令 g ?x ? ? 2 ? 4 x ? ln x , 令 g ??x ? ? 0, 得 x ? 当0 ? x ?

则 g ?? x ? ?

1 , 4

1 1 时, g ??x ? ? 0, g ?x ? 单调递增;当 x ? 时, g ??x ? ? 0, g ?x ? 单调递减. 4 4
试卷第 12 页,总 16 页





1 ?1? g ?x ? ? g ? ? ? 1 ? ln ? 1 ? ln 4 ? 0 4 ?4?





g ?a ? ? 0





2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 , 即 ln a ? ?2b .
考点:导数与函数的单调性、极值,比较大小. 【名师点晴】本题主要考查导数与函数单调性、函数的极值,比较大小等基础知识,属 于难题,解答此题关键在于第(Ⅰ)问要准确求出 f ? x ? 的导数后,要对其中的参数进 行分类讨论,首先对 x 2 的系数 a 分 a ? 0 和 a ? 0 两类,在 a ? 0 时,对 b 的正负也要分 类,当 a ? 0 时,由于 f '( x) ? 0 有两不等实根,故不需要再对 b 分类了,第(Ⅱ)小题 一 是 由 已 知 得 f (1) 是 f ( x ) 的 极 小 值 , 二 是 比 较 大 小 是 通 过 构 造 新 函 数

g ?x? ? 2 ? 4 x ? ln x ,研究 g ( x) 的单调性来确定两数的大小关系.
22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 正方形 ABCD 边长为 2, 以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E .
A D

E

F

B

O

C

(1)求证: AE ? EB ; (2)求 EF ? FC 的值. 答案: (1)证明见解析; (2)

4 . 5

试题分析: (1)要证明两线段相等,这里两线段不在两个全等三角形中,但由于 AB 是
2 2 两圆的切线,而 EFC 是两圆的割线,由切割线定理可得 EA ? EF ? EC ? EB ,得证;

2 (2)要求 EF ? FC ,仔细观察图形会发现有 BF ? EC ,因此 EF ? FC ? BF ,BF 是

直角三角形斜边上的高,由直角三角形的性质可求. 试题解析: (1)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB 2 ? EF ? EC 故 AE ? EB (2)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径, ∴ BF ? EC 在 RT△EBC 中,有
BF BE = BC EC

又在 Rt?BCE 中,由射影定理得

试卷第 13 页,总 16 页

4 ? 1? 2 ? EF ? FC ? BF ? ? ? ? 5 ? 5 ?
2

2

A

D

E

F

B

O

C

考点:切割线定理,直角三角形中的射影定理. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程

? ?x ? 1 ? ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 4 ? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) .再以原点为极点, 2 t 2

以 x 正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位.在该 极坐标系中圆 C 的方程为 ? ? 4sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ,若点 M 的坐标为 ? ?2,1? ,求 MA ? MB 的值. 答案: (1) x2 ? ? y ? 2? ? 4 ; (2) 3 2 .
2

试题分析: (1)利用公式 ?

?? 2 ? x2 ? y 2 ? ? sin ? ? y

可化圆 C 的极坐标方程为直角坐标方程; (2)

把 直 线 参 数 方 程化 为 普通 方 程 , 代 入 圆的 方 程可 求 出 A, B 两 点 坐 标 , 然 后求 得

MA ? MB ,这种方法计算量较大,也可利用参数方程中参数的几何意义,由于点 M
? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 ,这样直线 就在直线 l 上,可把直线化为以点 M 为基点的标准参数方程 ? ?y ?1? 2 t ? ? 2
上点 P(t ) 的参数 t 的几何意义为 MP ? t .把此参数方程代入圆方程得 t1 ? t2 ? 3 2 ,
t1t2 ? 1 ,于是有 t1 ? 0, t2 ? 0 ,易得

MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 .

试题解析: (1)由极坐标与直角坐标互化公式得 圆的直角坐标方程式为 x2 ? ? y ? 2? ? 4 .
2

(2)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 3 ,点 M 在直线上.

试卷第 14 页,总 16 页

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 l 的标准参数方程为 ? ?y ?1? 2 t ? ? 2
代入圆方程得: t 2 ? 3 2t ? 1 ? 0 设 A 、 B 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t2 ? 3 2 , t1t2 ? 1 于是 MA ? MB = t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 考点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线参数方程的应用. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 3 5 已知 f ? x ? ? 2 x ? ? 2 x ? . 4 4 (1)关于 x 的不等式 f ? x ? ? a2 ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)设 m, n ? R ? ,且 m ? n ? 1 ,求证: 2m ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 f ? x ? . 答案: (1) ?1 ? a ? 2 ; (2)证明见解析. 试题分析: (1)不等式 f ? x ? ? a2 ? a 恒成立,不等式或两个字母 x 与 a 是分离的,因此 有 a 2 ? a 小于或等于 f ( x ) 最小值,由绝对值的几何意义可求得 f ( x ) 的最小值( f ( x ) 表示数轴上的点 P(2 x) 与点 A( ) 和点 B ( ? ) 的距离之和,最小值为 2) ,解不等式

3 4

5 4

a 2 ? a ? 2 即 得 a 的 取 值 范 围 ;( 2 ) 问 题 实 质 上 就 是 证 明 不 等 式

2m ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 2 ,观察已知发现当 m ? n ?

2? m ?

1 时,等号成立,由此我们凑出 2
式 , 即
1 2 2 2 ?m 2? n? ? , 结 1论得 2
3 5 ? 2 x ? 表示数轴上点 P 4 4







??

2 ? n?

??

2? m? ? 2n ? 1 1 ? ? m2? ? n ? 2 2

证. 试题解析: (1) 依据绝对值的几何意义可知函数 f ? x ? ? 2 x ? ( 2 x )到点 A(

3 5 )和 B( ? )两点的距离,其最小值为 f ? x ?min ? 2 4 4
∴只需证明: 2m ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 2 成立即可.
?m? 2 ? ? 2n ? 1? 3 3 ?n? . ; 2 ? 2n ? 1? ? 2 2 2

∴不等式恒成立只需 2 ? a 2 ? a ,解得 ?1 ? a ? 2 (2)∵ f ? x ?min ? 2
2 ? 2m ? 1? ? 2

2 ? ? 2m ? 1?

于是 2 ? 2m ? 1? ? 2 ? 2n ? 1? ? m ? ∴ 2m ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 2 故要证明的不等式成立.

3 3 ?n? ? m?n?3? 4 2 2

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考点:不等式恒成立问题,不等式的证明.

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