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2017_高中数学第二章函数5简单的幂函数(一)课件北师大版必修1_图文

第二章 函数 §5 简单的幂函数(一) 学习目标 1.理解幂函数的概念. 2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方 法. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征, 能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 幂函数的概念 思考 1 y=x,y=x,y=x2 三个函数有什么共同特征? 答案 底数为x,指数为常数. 答案 梳理 如果一个函数底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样 的函数称为幂函数. 知识点二 幂函数的图像与性质 思考 如图在同一坐标系内作出函数(1)y=x; y ? (2) x2 =x2;(4)y=x-1;(5)y=x3的图像. 1 ;(3)y 填写下表: y=x 定义域 R ___ R y=x2 y? y x 2=x3 1 ∞) ___ R [0,+___ {x|x≠0} _________ {y|y≠0} _________ ∞) R [0,+___ ∞) 值域 R ___ [0,+ ___________ 单调性 增 增加 在[0,+ ∞) 上____, 减少 在(-∞ ,0]上_____ 在 增 增____ 减少 ___ _ 减少 0 梳理 根据上表,可以归纳一般幂函数特征: (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都过点 (1,1) (2)α>0时,幂函数的图像通过 原点 ,并且在区间[0,+ ∞)上是 增 ; 函数.特别地,当α>1时,幂函数的图像下凸;当0<α<1时,幂函 数的图像上凸; α<0 (3) 时,幂函数的图像在区间(0,+∞)上是减函数; (4) 幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线 y =x 对称; (5)在第一象限,作直线 x=a (a>1),它同各幂函数图像相交,按 小 大 交点从下到上的顺序,幂指数按从 到 的顺序排列. 题型探究 类型一 幂函数的概念 例1 值. m -2 已知y=(m2+2m-2) 2 x +2n-3是幂函数,求m,n的 ?m=-3或1, 2 ? ? ?m +2m-2=1, 解 由题意得? 解得? 3 ? ?n = , ?2n-3=0, ? 2 3 所以 m=-3 或 1,n=2. 解答 反思与感 悟 只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x,指数为常 ?x ?y=(2x)3,y= 量这三个条件,才是幂函数.如:y=3x2, ? ?4 都不 是幂函数. ? ? ?2? 跟踪训练1 的个数为 在函数y1 = 2 x ,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数 A.0 B.1 C.2 D.3 1 =x-2,所以是幂函数; 解析 因为y= y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数; y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=1=x0(x≠0),可 x2 以看出,常函数y=1的图像比幂函数y=x0的图像多了一个点 (0,1), 所以常函数y=1不是幂函数. 解析 答案 类型二 幂函数的图像及应用 解答 反思与感 悟 幂函数由于指数α的不同,它们的定义域也不同,性质也不同, 幂函数的图像主要分0<α<1,α>1和α<0三种情况讨论. 跟踪训练2 幂函数y=xα(α≠0),当α取不同的正数 时,在区间 [0,1] 上它们的图像是一簇美丽的曲线 ( 如图 ).设点 A(1,0) ,B(0,1) ,连接 AB ,线段 AB 恰好 被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ的图像三等分, 即有BM=MN=NA.那么αβ等于 A.1 B.2C.3 D.无法确定 1 2α 2 1β 1 2 2 1 解析 由条件知,M(3,3)、N(3,3), ∴3=(3) ,3=(3) , 1 αβ 1 β α 2 α 1 ∴(3) =[(3) ] =(3) =3,∴αβ=1.故选 A. 解析 答案 类型三 幂函数性质 命题角度1 探讨幂函数性质 2 例3 探讨函数f(x)x= ? 1 的单调性. 解答 反思与感 悟 研究函数单调性要先研究函数定义域 . 幂函数的定义域主要受两 个因素影响:偶次根式被开方数不小于零;分式的分母不为零. 1 2 m 跟踪训练3 已知幂函数f(x ) = x ?m (m∈N+). 试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性. 解 ∵m∈N+,∴m2+m=m×(m+1)为偶数. 令 m2+m=2k,k∈N+,则 f(x)= x, 2k ∴f(x)的定义域为[0,+∞),在[0,+∞)上为增函数. 解答 命题角度2 应用幂函数性质 例4 (1)比较 32 解 3 1 3 2, 52 1 的大小. 32 ? 27 2 , 1 ∵y ? x 2 在[0,+∞)上是增函数,27>25, 1 1 ∴2 7 2 ? 25 2 , 即 3 1 3 2 ? 25 2. 解答 ? (2)若(a+1) 2 1 2 3 (3,2 ) <(3-2a) ,则a的取值范围是 ________. ? 1 2 ? 1 解析 由(1)知f(x)= 在区间(0,+∞)内是减函数. 2 x ? ?a+1>0, 1 1 ? ? ? 2 2 所以(a+1) <(3-2a) 等价于?3-2a>0, ? ? ?a+1>3-2a, 2 3 2 3 解得3<a<2.所以 a 的取值范围是(3,2). 解析 答案 反思与感 悟 应用幂函数性质比大小解不等式,首先是根据研究目标的特征 构造幂函数,其次是根据所构造的幂函数性质如定义域、单调 性来解决问题. 跟踪训练4 (1)比较 2 3 解 ? 1 3 ? 1 3 2, 1 4 3 3, 1 2 的大小. 2 ? ( )3, 2 1 1 4 2 2 3 ? (1 6 ) 3 , 3


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