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第二章 函数 §5 简单的幂函数(一) 学习目标 1.理解幂函数的概念. 2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方 法. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征, 能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 幂函数的概念 思考 1 y=x,y=x,y=x2 三个函数有什么共同特征? 答案 底数为x,指数为常数. 答案 梳理 如果一个函数底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样 的函数称为幂函数. 知识点二 幂函数的图像与性质 思考 如图在同一坐标系内作出函数(1)y=x; y ? (2) x2 =x2;(4)y=x-1;(5)y=x3的图像. 1 ;(3)y 填写下表: y=x 定义域 R ___ R y=x2 y? y x 2=x3 1 ∞) ___ R [0,+___ {x|x≠0} _________ {y|y≠0} _________ ∞) R [0,+___ ∞) 值域 R ___ [0,+ ___________ 单调性 增 增加 在[0,+ ∞) 上____, 减少 在(-∞ ,0]上_____ 在 增 增____ 减少 ___ _ 减少 0 梳理 根据上表,可以归纳一般幂函数特征: (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都过点 (1,1) (2)α>0时,幂函数的图像通过 原点 ,并且在区间[0,+ ∞)上是 增 ; 函数.特别地,当α>1时,幂函数的图像下凸;当0<α<1时,幂函 数的图像上凸; α<0 (3) 时,幂函数的图像在区间(0,+∞)上是减函数; (4) 幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线 y =x 对称; (5)在第一象限,作直线 x=a (a>1),它同各幂函数图像相交,按 小 大 交点从下到上的顺序,幂指数按从 到 的顺序排列. 题型探究 类型一 幂函数的概念 例1 值. m -2 已知y=(m2+2m-2) 2 x +2n-3是幂函数,求m,n的 ?m=-3或1, 2 ? ? ?m +2m-2=1, 解 由题意得? 解得? 3 ? ?n = , ?2n-3=0, ? 2 3 所以 m=-3 或 1,n=2. 解答 反思与感 悟 只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x,指数为常 ?x ?y=(2x)3,y= 量这三个条件,才是幂函数.如:y=3x2, ? ?4 都不 是幂函数. ? ? ?2? 跟踪训练1 的个数为 在函数y1 = 2 x ,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数 A.0 B.1 C.2 D.3 1 =x-2,所以是幂函数; 解析 因为y= y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数; y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=1=x0(x≠0),可 x2 以看出,常函数y=1的图像比幂函数y=x0的图像多了一个点 (0,1), 所以常函数y=1不是幂函数. 解析 答案 类型二 幂函数的图像及应用 解答 反思与感 悟 幂函数由于指数α的不同,它们的定义域也不同,性质也不同, 幂函数的图像主要分0<α<1,α>1和α<0三种情况讨论. 跟踪训练2 幂函数y=xα(α≠0),当α取不同的正数 时,在区间 [0,1] 上它们的图像是一簇美丽的曲线 ( 如图 ).设点 A(1,0) ,B(0,1) ,连接 AB ,线段 AB 恰好 被其中的


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