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2013届高考文科数学第一轮复习测试题30


活页限时训练
命题要点:?1?三角函数的图象的变换?′11 年 2 考,′10 年 2 考?;?2?已知三角 函数图象求解析式?′11 年 3 考,′10 年 2 考?;?3?三角函数图象与性质的综合 应用?′11 年 7 考,′10 年 6 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) π 1.若将某正弦函数的图象向右平移 以后,所得到的图象的函数式是 y= 2 ? π? sin?x+4?,则原来的函数表达式为( ? ? ? 3π? A.y=sin?x+ 4 ? ? ? ? π? C.y=sin?x-4? ? ? ? π π? ? 3π? 解析 y=sin?x+4+2?=sin?x+ 4 ?. ? ? ? ? 答案 A π? π? ? ? 2.(2011· 新课标全国)设函数 f(x)=sin?2x+4?+cos?2x+4?,则( ? ? ? ? π? π ? A.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图象关于直线 x=4对称 ? ? π? π ? B.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图象关于直线 x=2对称 ? ? π? π ? C.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图象关于直线 x=4对称 ? ? π? π ? D.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 ? ? π? π? π? ? ? ? 解析 因为 y=sin?2x+4?+cos?2x+4?= 2sin?2x+2? ? ? ? ? ? ? π? ? = 2cos 2x,所以 y= 2cos 2x 在?0,2?单调递减,对称轴为 2x=kπ(k∈Z),即 x ? ? kπ π = 2 (k∈Z),当 k=1 时,x=2. 答案 D ). ). ? π? B.y=sin?x+2? ? ? ? π? π D.y=sin?x+4?-4 ? ? 满分:60 分)

π 3.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中 ω>0,|φ|<2)的最小正周期是 π,且 f(0) = 3,则( ). 1 π B.ω=2,φ=3 π D.ω=2,φ=3

1 π A.ω=2,φ=6 π C.ω=2,φ=6

2π 解析 由 T= ω =π,∴ω=2.由 f(0)= 3?2sin φ= 3, ∴sin φ= 答案 D π 4.(2012· 龙岩模拟)将函数 y=f(x)· x 的图象向右平移4个单位后,再作关于 x sin 轴对称变换,得到函数 y=1-2sin2x 的图象,则 f(x)可以是( A.sin x B.cos x C.2sin x D.2cos x 解析 运用逆变换方法:作 y=1-2sin2x=cos 2x 的图象关于 x 轴的对称图象得 π ? π? y=-cos 2x=-sin 2?x+4?的图象,再向左平移4个单位得 y=f(x)· x=-sin sin ? ? ? π? 2?x+2?=sin 2x=2sin xcos x 的图象.∴f(x)=2cos x. ? ? 答案 D π? ? 5.(2011· 辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图象如 ? ? ?π? 图,则 f?24?=( ? ? A.2+ 3 3 C. 3 ). B. 3 D.2- 3 ). 3 π π ,又|φ|< ,∴φ= . 2 2 3

?3π π? π 解析 由题中的图象可知:T=2? 8 -8?=2,∴ω=2, ? ? π π π π ∴2×8+φ=kπ+2(k∈Z).又|φ|<2,∴φ=4. π 又 f(0)=1,∴Atan4=1,得 A=1, π? ? ∴f(x)=tan?2x+4?, ? ? π ?π? ? π π? ∴f?24?=tan?12+4?=tan3= 3. ? ? ? ? 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) π ? π? 6.将函数 y=sin?x+3?的图象向右平移6个单位,再向上平移 2 个单位所得图象 ? ? 对应的函数解析式是________. π ? π? 解析 y=sin?x+3?向右平移6个单位得: ? ? ? π π? ? π? ? π? y=sin?x-6+3?=sin?x+6?,再向上平移 2 个单位得 y=sin?x+6?+2. ? ? ? ? ? ? ? π? 答案 y=sin?x+6?+2 ? ? 7.(2011· 江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图 象如图所示,则 f(0)的值是________.

T 7π π π 解析 由题图可知 A= 2, 4=12-3=4,∴T=π. 2π 2π 又 ω =T,∴ω= π =2. π 根据函数图象的对应关系得 2×3+φ=2kπ+π(k∈Z), π ∴φ=2kπ+3(k∈Z),令 k=0 得

π? π ? φ=3,则 f(x)= 2sin?2x+3?, ? ? π 6 ∴f(0)= 2sin3= 2 . 答案 6 2

π? ? 8.已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完 ? ? π? ? 全相同,若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. ? ? 解析 ∵f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同,∴f(x)与 g(x)的最小正周期相等, π? π π π 5π 1 ? ∵ω>0,∴ω=2,∴f(x)=3sin?2x-6?,∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 ,∴-2 ? ? π? π? 3 ? ? ? 3 ? ≤sin?2x-6?≤1,∴-2≤3sin?2x-6?≤3,即 f(x)的取值范围为?-2,3?. ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 答案 ?-2,3? ? ? 三、解答题(共 23 分) π 9.(11 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,试写出变 换过程. 解 (1)由图象知 A=2. 2π ?5π π? f(x)的最小正周期 T=4×?12-6?=π,故 ω= T =2. ? ? ?π ? ?π ? 将点?6,2?代入 f(x)的解析式,得 sin?3+φ?=1. ? ? ? ? π π 又|φ|<2,∴φ=6. π? ? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

? x π? ?x π? 10.(★)(12 分)(2011· 深圳一调)已知函数 f(x)=2 3· ?2+4?cos?2+4?-sin(x+ sin ? ? ? ? π).

(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位, 得到函数 g(x)的图象, 求函数 g(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值. 解 ? 3 ? 1 ? π? (1)因为 f(x)= 3sin ?x+2? +sin x= 3cos x+sin x=2 ? cos x+ sin x? = ? ? 2 ?2 ?

? π? 2sin?x+3?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π ? π? (2)∵将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象,∴g(x)=f?x-6?= ? ? π ?π 7π? ?? π? π? ? π? 2sin??x-6?+3?=2sin?x+6?.∵x∈[0,π],∴x+6∈?6, 6 ?, ? ? ? ? ? ? ? ? π π π ? π? ∴当 x+6=2,即 x=3时,sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? π 7π 1 ? π? 当 x+6= 6 ,即 x=π 时,sin?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ? ?

错误!
B级

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

满分:40 分)

1.(2011· 天津)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x) π 的最小正周期为 6π,且当 x=2时,f(x)取得最大值,则( A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 1 π 1 π 解析 ∵f(x)的最小正周期为 6π, ∴ω=3, ∵当 x=2时, f(x)有最大值, 3×2+ ∴ π π π ? x π? φ=2+2kπ(k∈Z),φ=3+2kπ(k∈Z),∵-π<φ≤π,∴φ=3.∴f(x)=2sin?3+3?, ? ? 由此函数图象易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π, 5π]上均不是单调的,在区间[4π,6π]上是单调增函数. 答案 A π 2.(2011· 全国)设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移3个单位长 度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( 1 A.3 B.3 C.6 ). D.9 ).

π ? π? 解析 依题意得, y=f(x)的图象向右平移3个单位长度后得到的是 f?x-3?=cos 将 ? ? ωπ? ? π? ? ω?x-3?=cos?ωx- 3 ? ? ? ? ? ωπ? ωπ? ? ? 的图象, 故有 cos ωx=cos?ωx- 3 ?, cos ωx=cos?2kπ+ωx- 3 ?(k∈Z), ωx 而 故 ? ? ? ? ωπ? ? -?ωx- 3 ?=2kπ(k∈Z), ? ? 即 ω=6k(k∈Z),∵ω>0,因此 ω 的最小值是 6. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2011· 福州模拟)在函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期内,当 x

π? π 1 4π 1 ? =9时有最大值2,当 x= 9 时有最小值-2,若 φ∈?0,2?,则函数解析式 f(x)= ? ? ________. 1 π 1 4π 1 解析 首先易知 A=2, 由于 x=9时 f(x)有最大值2, x= 9 时 f(x)有最小值-2, 当 π π? 2π 1 ? π ?4π π? ? 1 ? 所以 T=? 9 -9?×2= 3 ,ω=3.又2sin?3×9+φ?=2,φ∈?0,2?,解得 φ=6, ? ? ? ? ? ? π? 1 ? 故 f(x)=2sin?3x+6?. ? ? π? 1 ? 答案 2sin?3x+6? ? ? ? ? π π?? 4.设函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,φ∈?-2,2??的最小正周期为 π,且其图象关于 ? ? ?? π 直线 x=12对称,则在下面四个结论中: π? ?π ? ?π ? ? ①图象关于点?4,0?对称;②图象关于点?3,0?对称;③在?0,6?上是增函数; ? ? ? ? ? ? ? π ? ④在?-6,0?上是增函数. ? ? 以上正确结论的编号为________. 解析 ∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为 π, 2π π ∴ω= π =2,又其图象关于直线 x=12对称, π π π ∴2×12+φ=kπ+2(k∈Z),∴φ=kπ+3,k∈Z. π? π ? π π? ? 由 φ∈?-2,2?,得 φ=3,∴y=sin?2x+3?. ? ? ? ? kπ π π 令 2x+3=kπ(k∈Z),得 x= 2 -6(k∈Z). π? ? ?π ? ∴y=sin?2x+3?关于点?3,0?对称.故②正确. ? ? ? ? π π π 令 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z),得 5π π kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z). π? ? ∴函数 y=sin?2x+3?的单调递增区间为 ? ?

5π π? ? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? 5π π? ? π ? ? ∵?-6,0???kπ-12,kπ+12?(k∈Z).∴④正确. ? ? ? ? 答案 ②④ 三、解答题(共 22 分) π 5.(10 分)(2011· 潍坊质检)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2)的部分图 象如图所示. (1)求 f(x)的解析式;

π ?? ?? ? π π? (2)设 g(x)=?f?x-12??2,求函数 g(x)在 x∈?-6,3?上的最大值,并确定此时 x 的 ?? ?? ? ? 值. T π 2π π 3 解 (1)由题图知 A=2,4 =3,则 ω =4×3,∴ω=2. ?3 ? π? ? ? π? 又 f?-6?=2sin?2×?-6?+φ? ? ? ? ? ? ? ? π ? =2sin?-4+φ?=0, ? ? π? π π π π ? ∴sin?φ-4?=0,∵0<φ<2,∴-4<φ-4<4, ? ? π π ∴φ-4=0,即 φ=4, ?3 π? ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+4?. ? ? π ? π? π? ?3? ? ? (2)由(1)可得 f?x-12?=2sin?2?x-12?+4? ? ? ? ? ? ?3 π? =2sin?2x+8?, ? ? π? ? 1-cos?3x+4? π ?? ? ? ?? ∴g(x)=?f?x-12??2=4× 2 ?? ??

π? ? =2-2cos?3x+4?, ? ? π π 5π ? π π? ∵x∈?-6,3?,∴-4≤3x+4≤ 4 , ? ? π π ∴当 3x+4=π,即 x=4时,g(x)max=4. 6.(12 分)(2012· 华东师大附中模拟)已知函数 f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A、B、ω 是 1 常数,ω>0)的最小正周期为 2,并且当 x=3时,f(x)max=2. (1)求 f(x)的解析式; ?21 23? (2)在闭区间? 4 , 4 ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程; ? ? 如果不存在,请说明理由. 2π 解 (1)因为 f(x)= A2+B2sin(ωx+φ),由它的最小正周期为 2,知 ω =2,ω=π, 1 1 π π 又因为当 x=3时,f(x)max=2,知3π+φ=2kπ+2(k∈Z),φ=2kπ+6(k∈Z),所以 π? π? ? ? f(x)=2sin?πx+2kπ+6?=2sin?πx+6?(k∈Z). ? ? ? ? π? ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?πx+6?. ? ?

(2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就 1 π π 是正弦曲线的对称轴,令 πx+ =kπ+ (k∈Z),解得 x=k+ (k∈ 6 2 3 21 1 23 59 65 Z),由 ≤k+ ≤ ,解得 ≤k≤ ,又 k∈Z,知 k=5,由此可知 4 3 4 12 12 在闭区间?
?21

23? 16 , ?上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x= . 4? 3 ?4



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