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高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教A版必修2_图文

第一章 §1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系,并能利用计 算公式求几何体的表面积与体积.

内容索引

问题导学 题型探究 达标检测

问题导学

知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积

图形

表面积

多 多面体的表面积就是各个面的面积的和,
面 也就是 展开图 的面积


特别提醒 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 ①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,其侧面展开图分别是由若干个平行 四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展开图的面 积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. ②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.

知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积

图形

表面积公式

圆柱 旋转体
圆锥

底面积:S底=_2_π_r_2 侧面积:S侧=_2_π_r_l 表面积:S=_2_π_r(_r_+__l)_
底面积:S底=_π_r_2 侧面积:S侧=_π_rl_ 表面积:S=_π_r_(_r+__l_)

旋转体 圆台

上底面面积:S上底=_π_r_′__2_ 下底面面积:S下底=_π_r_2 侧面积:S侧=_π_(_r_′__l+__r_l)_ 表面积:S=_π_(_r′__2_+__r_2+__r_′__l_+__r_l)

知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式

几何体

体积

说明

柱体

V柱体=Sh

S为柱体的底__面__积__,h为柱体的_高__

锥体 台体

V锥体=13Sh

S为锥体的底__面__积__,h为锥体的_高__

V台体=13 (S′+

S′S+S)h

S′,S分别为台体的_上__、__下__底__面__面_ _积__,h为台体的_高__

[思考辨析 判断正误]
1.锥体的体积等于底面面积与高之积.(×) 2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(√ ) 3.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周 长.(×)

题型探究

类型一 柱体、锥体、台体的侧面积

例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,

求该直四棱柱的侧面积. 解 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,

对角线A1C=15,B1D=9, ∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56. ∵该直四棱柱的底面是菱形,

∴AB2=????A2C????2+????B2D????2=a2+4 b2=2004+56=64, ∴AB=8.

∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.

解答

反思与感悟 空间几何体的表面积的求法技巧: (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

跟踪训练1 (1)如图是由圆柱与圆锥组合

而成的几何体的三视图,则该几何体的

表面积为

A.20π
√C.28π

B.24π D.32π

解析 答案

(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环 的圆心角是180°,求圆台的表面积. 解 如图所示,设圆台的上底面周长为c cm, 由于扇环的圆心角是180°, 则c=π·SA=2π×10,解得SA=20 cm. 同理可得SB=40 cm. 所以AB=SB-SA=20 cm. 所以S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2).
解答

类型二 柱体、锥体、台体的体积

例2 (1)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.2π+2 3 B.4π+2 3

√C.2π+2 3 3

D.4π+2

3 3

解析 答案

(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则

该几何体的体积为

A.9

B.10

√C.11

D.

23 2

解析 由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的

正方形、高是3的直四棱柱的基础上,

截去一个底面积为21×2×1=1,高为 3 的三棱锥形成的, V 三棱锥=13×1×3=1,

所以V=4×3-1=11.

解析 答案

反思与感悟 (1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台 体,则可直接利用公式求解. (2)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何体的直观 图,然后根据条件求解.

跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,
7 3π 则这个圆台的体积是____3____.
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h, 则S上=πr2=π,S下=πR2=4π. ∴r=1,R=2,S侧=π(r+R)l=6π. ∴l=2,∴h= 3,

∴V=13π(12+22+1×2)×

3=7

3π 3.

解析 答案

类型三 几何体体积的求法 命题角度1 等体积变换法 例3 如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点, F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.
解答

引申探究 例3中条件改为点F为CC1的中点,其他条件不变,如图,求四棱锥A1-EBFD1 的体积
解答

反思与感悟 四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积 和高都易求的形式即可.

跟踪训练3 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求点A到 平面A1BD的距离d.
解答

命题角度2 割补法求体积 例4 如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方 形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求 该多面体的体积.
解答

反思与感悟 割补法是求不规则几何体体积的常用求法,解此类题 时,分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体,且 体积易求.

跟踪训练4 如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几

何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为

A.5π

B.6π

C.20π

√D.10π

解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一

个圆柱,如图,

则圆柱的体积为π×22×5=20π,

故所求几何体的体积为10π.

解析 答案

达标检测

1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧 面积的比是

1+2π
√A. 2π

1+4π B. 4π

1+2π C. π

解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r,l,

由题意知l=2πr,S侧=l2=4π2r2. S表=S侧+2πr2=4π2r2+2πr2=2πr2(2π+1),

1+4π D. 2π

SS表侧=2πr24?π22πr+2 1?=1+2π2π.

12345

解析 答案

2.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是 16 2π,则圆锥的体积是

128π A. 3

√B.643π

C.64π

解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,

D.128 2π

由题意知 2r= l2+l2,即 l= 2r,

∴S 侧=πrl= 2πr2=16 2π,解得 r=4. ∴l=4 2,圆锥的高 h= l2-r2=4, ∴圆锥的体积为 V=13Sh=13π×42×4=643π.

12345

解析 答案

3.已知某正三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为

A.9 3

B.9 2+943

C.12 2

√D.12 3

解析 由侧视图可知三棱锥的高为 2 2,

底面三角形的高为3,设底面正三角形的边长为a,

由 23a=3,解得 a=2 3.
所以侧棱长为 ?2 2?2+22=2 3, 所以正三棱锥是正四面体,所以该三棱锥的表面积为 4× 43×(2 3)2=12 3.

12345

解析 答案

4.若圆台的高是12,母线长为13,两底面半径之比为8∶3,则该圆台 的表面积为_2_1_6_π__.
解析 设圆台上底与下底的半径分别为r,R, 由勾股定理可得 R-r= 132-122=5. ∵r∶R=3∶8, ∴r=3,R=8. S侧=π(R+r)l=π(3+8)×13=143π, 则表面积为143π+π×32+π×82=216π.

12345

解析 答案

5.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,
1 则三棱锥A-DED1的体积为__6___.

解析 V三棱锥A-DED1 ? V三棱锥E-DD1A =13×12×1×1×1=16.
12345

解析 答案

规律与方法
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和. 2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件 尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助 相似的相关知识求解. 3.S圆柱表=2πr(r+l);S圆锥表=πr(r+l);S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2). 4.对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出,等底、 等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.

(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”,还 原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.



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