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湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2015-2016学年高一数学下学期期中联考试题


2015—2016 学年下学期高一期中考试 数学试 题
第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1. sin 10 cos50 ? cos10 sin 50 的值等于(
? ? ? ?



A.

1 4

B.

3 2

C.

1 2

D.

3 4
)项.

2.若数列 2 , 5 , 2 2 , 11 , 14 ,… … ,则 4 2 是这个数列的第(

A.8
3.若 sin ?? ? ? ? ?

B .9

C .10


D.11

tan ? 1 1 , sin ?? ? ? ? ? ,则 为( 2 3 tan ?

A.5

B. - 1

C.6

D.

1 6
)时,{an } 的前 n 项

4.若等差数列 {an } 满足 a8 ? a9 ? a10 ? 0, a9 ? a10 ? 0 ,则当 n =( 和最大.

A.8
5.若 cos?

B .9

C .10


D.11

2? ?? ? 1 ? 2? ) ? ( ? ? ? ? ,则 cos( 3 ?6 ? 3 2 9
B .?

A.

2 9

C.

7 9

D .?


7 9

? 6.已知 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 3 3 , A ? 30 ,则 B 等于(

A.30?

B.30? 或150?

C.60?
2

D.60? 或120?


7.已知等比数列 ?an ? 的公比为正 数,且 4a2 a8 ? a4 ,a2 ? 1,则 a6 =(

A.

1 8

B.

1 16

C.

1 32

D.

1 64
? ,且 a ? b ? 4 , 3

8.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .若 c ? 3 , C ? 则 ?ABC 的面积为( )

1

A.

7 3 12

B.

7 3 4

C.

7 12

D.

5 3 12


9.已知 ?an ? 是等比数列, a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ? (

A.

2 1 ? 4 ?n 3

?

?

B.

2 1 ? 2 ?n 3

?

?

C.

2 n 4 ?1 3

?

?

D.2 n ?1 ? 2
A B

10.某学习小组进行课外研究性学习,为了测量如图所示不能到达 的 A、B 两地, 他们测得 C、D 两地的直线距离为 2 km , 并用 仪 器 测 得 相 关 角 度 大 小 分 别 为

?ADB ? 30? , ?CDB ? 30? , ?ACD ? 60? , ?ACB ? 45? , 则
A、B 两 地 的 距 离 大 约 等 于 (
) (提供数据: D C

2 ? 1.414, 3 ? 1.732,结果保留两个有效数字)
A.1.3 B.1 .4
2

C .1 .5

D.1.6

11.在 ?ABC 中,已知 cos B cos C ? sin

A. 直角三角
12.用正奇数按下表排列

B. 等边三角形
第1列 第2列 1 15 13 17 … 列.

A ,则 ?ABC 的形状是( ) 2 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
第3列 3 11 19 27 第4列 5 9 21 25 ( ) 23 第5列 7

第一行 第二行 第三行 … 则 2017 在第 行第 A .第 253 行第 1 列 C .第 252 行第 3 列

B .第 253 行第 2 列 D .第 254 行第 2 列
第 II 卷

二、填空题(本大 题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上) 13.已知数列 ?an ? 是等差数列, sn 是其前 n 项和,若 s6 ? 3, s12 ? s6 ? 9 ,则 s18 = 14.已知 sin( 60 ? ? ) ?
?

.

5 ? ? , 30 ? ? ? 120 ,则 cos? ? 13



15 .在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 sin B ? sin C ?

1 sin A , 4

2b ? 3c ,则 cos A =



16.如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 ? 角,前进 m 千 米后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 ? 角,已知该岛周围 n 千米范围内(包括边界)有

2

暗礁,现该船继续东行.当 ? 与 ? 满足下列_____(填序号)条件时,该船没有触礁危险. (1) m cos? cos ? ? n sin(? ? ? ) (2) m cos? cos ? ? n sin(? ? ? ) (3)

m ? tan ? ? tan ? n

(4)

m n ? tan? ? tan ? tan? ? tan ?

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)已知 tan ? ? ?3 ,求下列各式的值: (1)

sin ? ? 3 cos ? ; sin ? ? cos ?

(2) sin

2

? ? sin ? cos? ? 2 .

18. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是公差为 1 的等差数列, a1 , a5 , a 25 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 且

2b s i n B ? (2a ? c) s i n A ? (2c ? a) s i n C , a cos A ? b cos B ,求 ?A, ?B, ?C 的大小.

20. (本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,

D Q

C

P, Q 分别为边 AB, DA 上的点,且都不与 A, B, D 重

3

A P

B

合,线段 PQ 的长为 1, ?CPQ 的面积用 y 表示. (1)设 ?QPA ? ? ,试用 y 表示为 ? 的函数; (2)求 ?CPQ 的面积 y 的最小值.

21. (本小题满分 12 分)阅读下 面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ①, sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 由① + ② 得: sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2 sin ? cos ? ③ 令 ? ? ? ? A , ? ? ? ? B ,有 ? ? 代入③得: sin A ? sin B ? 2sin



A? B A? B ,? ? 2 2

A? B A? B . cos 2 2 (1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式 ,证明: A? B A? B ; sin 2 2 (2)若△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 cos 2 A ? cos 2 B ? 1 ? cos 2C ,试判断△ABC 的形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论). cos A ? cos B ? ?2sin

22. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,a1 = (1)求 an , sn ;

1 1 ? , 其前 n 项和为 sn , 且 s n ? a n ?1 ? (n ? N ) 2 2

(2)设 bn ? log2 (2sn ? 1) ? 2 ,数列 ?cn ? 满足 cn ? bn?3 ? bn?4 ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? 2 n ,
b

数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使 4Tn ? 2

n ?1

?

1 成立的最小整数 n 的值. 504

4

曾都一中 宜城一中
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13、27

2015—2016 学年下学期高一期中考试 枣阳一中 数学试题参考答案 襄州一中

1 B

2 D

3 A

4 B

5 C

6 D

7 B

8 A

9 C

10 B

11 C

12 B

14、

5 3 ? 12 26

15、 ?

1 4

16、 (1) , (3)

三、解答题 17 、 解 : ( 1 )

sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3 ? ? 3 …………………….................................... sin ? ? cos ? tan ? ? 1
……5 分 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2
2

sin 2 ? ? sin ? cos? ? ? 2 ………………………………………..................….……… sin 2 ? ? cos2 ?
8分

?

tan2 ? ? tan? ?2 tan2 ? ? 1

?

13 ………………………………………......…………………….......... .........…… 5

…10 分 18、解: (1)? a1 , a5 , a25 成等比数列
2 ? a5 ? a1a25

…………………………………………………………..........…….…..

5

……2 分 则

(a1 ? 4d ) 2 ? a1 (a1 ? 24d ) ……………………………………...........……..….….....4


?d ?1

? a1 ? 1

? an ? n ………………………………………….............….……6 分
(2) bn ? 2 n ? n

Tn ? (21 ? 22 ? ... ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) ……………………..…….…...........……8


2(1 ? 2 n ) n(n ? 1) ? ? 1? 2 2


……………………………………………...……..........………10

? 2( 2 n ? 1) ?

n(n ? 1) ……………………………………………………..…..........…12 分 2

19、解:由 2b sin B ? (2a ? c) sin A ? (2c ? a) sin C 得:

2b 2 ? (2a ? c)a ? (2c ? a)c ……………………………………………….........……..…2
分 即

b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac



6

1 a2 ? c2 ? b2 ? cos B ? cos B ? ……………........………4 分 2 2ac


0? B ??

?B ?

?
3

………………………………………………………......….……6 分

由 a cos A ? b cos B 得: sin A cos A ? sin B cos B

sin 2 A ? sin 2B ?


3 ,又 0 ? 2 A ? 2? ………………………………….......………8 2

? 2A ?

?
3



2 2 A ? ? ………………………………………… ……………......………10 分 3 ?当A ?
分 综上: A ? 分 20、解: (1)由已知得 AP ? cos? , AQ ? sin ?

?

6

时, C ?

?

2

或 当A ?

?

3

时, C ?

?

3

………………………………………...11

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

或A?

?
3

,B ?C ?

?
3

……………………..….…..…12

? BP ? 1 ? cos?

DQ ? 1 ? sin ? .

1 1 ?1 ? y ? S ?CPQ ? 1 ? ? sin ? cos? ? (1 ? cos? ) ? (1 ? sin ? )? …………………………2 分 2 2 ?2 ? 1 ?1 ? ? 1 ? ? sin ? cos? ? (cos? ? sin ? ) ? 1? 2 ?2 ?
?
分 (2)令 cos ? ? sin ? ?

1 ? (cos ? ? sin ? ? cos ? sin ? )( 0 ? ? ? ) (不写 ? 范围的扣 1 分)………..….……4 2 2

2 sin(? ?

?
4

) ? t …………………………………………………6 分

7

t 2 ?1 则 1 ? 2 sin ? cos? ? t ,得 sin ? cos? ? 2
2

?y ?


1 1 1 t 2 ?1 1 1 2 1 2 (t ? ) ? (? t ? t ? ) ? ? ?t ? 1? ? ………………....………8 4 2 2 2 2 2 2

?0 ? ? ?

?
2

?

?
4

?? ?

?
4

?

3 ? 4

?


2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4

?1 ? t ? 2 …………………………………....………10

当t ? 分

2 即? ?

?
4

时, y min ?

2 2 ?1 …………………………………....………12 4

21、证明: (1)由 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
得 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?2 sin ? sin ? 分 ( 1 )………………………....….……2

A? B A? B ,? ? 2 2 A? B A? B sin 代入(1)式得:cos A ? cos B ? ?2 sin ……………………....……4 分 2 2
令 ? ? ? ? A, ? ? ? ? B ,有 ? ? (2)由(1)中的结论得:

cos2 A ? cos2B ? ?2 sin( A ? B) sin( A ? B) ………………………………….………6 分
又 分

1 ? cos2C ? 2 sin 2 C ? 2 sin 2 ( A ? B) ………………………………….……….…8

? ?2 sin(A ? B) sin(A ? B) ? 2 sin 2 ( A ? B)

8

? sin(A ? B) ? 0

? ? sin(A ? B) ? sin( A ? B)
,得 2 sin A cos B ? 0 ……………….….………10 分

即 sin( A ? B) ? sin( A ? B) ? 0

? sin A ? 0

? cos B ? 0

?B ?

?
2

?

?ABC

为 直 角 三 角

形………..……....…...12 分 22、解: (1)由 S n ? a n ?1 ?

1 1 得 S n ?1 ? a n ? (n ? 2) 2 2
即 an?1 ? 2an ①………………………………..….…2

? n ? 2 时, an ? an?1 ? an
分 又 n ? 1 时, a1 ? a 2 ?

1 1 , a1 ? , ? a2 ? 1 2 2

? a2 ? 2a1


②………………………………………………………………...….…..…4

由① ②及 a1 ? 0 得数列 ?an ? 为等比数列

an ?


1 n ?1 1 ? 2 ? 2 n ? 2 , S n ? 2 n ?1 ? …………………………………………..…...…6 2 2

(2) bn ? log2 (2 n ? 1 ? 1) ? 2 ? n ? 2, bn ? 3 ? n ? 1, bn ? 4 ? n ? 2 则 cn ? (n ? 1)(n ? 2) ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) ? 2 n?2

? cn ?

1 1 1 ? 2 n?2 ? ? ? 2 n ?2 ……………………………………8 分 (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2

1 1 ? 2n 1 1 ? 2 ?1 1 1 1 ? ? Tn ? ? ? ? ? ? ? ?? n ?1 n ? 2 ? 1? 2 ?2 3 3 4
?
……10 分

?

?

1 1 1 1 ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? …………………………............... 2 n?2 2 n?2

?

?

? 4Tn ? 2 n ?1 ?

1 4 1 n ?1 ? 2 n ?1 ? 即2 ? 504 n?2 504
9

得 n >2014, 所以,使得 4Tn ? 2 分

n ?1

?

1 成立的正整数 n 的最小值为 2015. …..…..12 504

10


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