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湖北省孝感市2006-2007学年度高三第二次统一考试数学(理科)


湖北省孝感市 2006-2007 学年度高三第二次统一考试数学(理科)
一、选择题: 1、 对集合 M、N,定义 M ? N ? {x | x ? M且x ? N} .若 M={1,2},N={2,3},则 M-N=( A、{1}
2



B、{2}

C、{1,2}

D、{1,2,3} ) C、 1 ? 2i D、 ? (1 ? 2i )

2、若 z ? ?3 ? 4i (其中 i 为虚数单位),则 z ? ( A、 1 ? 2i B、 ? (1 ? 2i )

3、在下列图形中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有( )

4.在 ( x ? A、2 项

1 2 x
4

)12 的展开式中,所有有理项共有(
C、4 项 D、6 项



B、3 项

5.等差数列 {an } 中, a3 ? 8, a7 ? 20 ,若数列 { A、14 B、15 C、16

4 1 } 的前 n 项和为 ,则 n 的值为( 25 a n a n ?1
D、18



6.已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 的反函数为 y ? f ( ) A、0 7.已知 C、 ? 1

?1

( x) ,且 y ? f ( x ? 1) 是奇函数,则 f ?1 (0) ?
D、以上都不对 )

B、1

? 2 sin 2 ? ? sin 2? ? ? k (0 ? ? ? ) ,则 sin(? ? ) 的值( 4 1 ? tan? 4

A、随 k 的增大而增大 C、随 k 的增大而减小

B、有时随 k 的增大而增大,有时随 k 的增大而减小 D、 是一个与 k 无关的常数 )

8.从集合 {1,2,3,?,9} 中任取三个数排成一列,则这三个数成等差数列的概率是( A、

2 63

B、

4 63

C、

2 21

D、

4 21

9.称 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a 、 b 间的“距离”.若向量 a 、 b 满足:① | b |? 1 ;② a ? b ;③

对任意的 t ? R ,恒有 d (a, tb) ? d (a, b) 则( A、 a ? b B、 a ? (a ? b) C、 b ? (a ? b)

) D、 (a ? b) ? (a ? b)

10.已知双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 的左、右顶点分别为 A、B,双曲线在第一象限的图像上有 一点 P, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?APB ? ? ,则( A、 tan? ? tan ? ? tan? ? 0 C、 tan? ? tan ? ? 2 tan? ? 0 二、填空题: )

B、 tan? ? tan ? ? tan? ? 0 D、 tan? ? tan ? ? 2 tan? ? 0

? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? 11.设 f ( x) ? ?4, x ? 1 ,则 lim f ( x ) ? ______________. x ?1 ?2 x,1 ? x ? 2 ?
12.不等式 | 3x ? 2 |? x 的解集是___________.

13.已知正数 x 、 y 满足 ?

?2 x ? y ? 0 1 x 1 y ,则 z ? ( ) ? ( ) 的最小值为__________. 4 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0

14.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) 过 F 作与 x 轴垂直的直线与椭圆相交于 a2 b2

点 P ,过点 P 的椭圆的切线 l 与 x 轴相交于点 A ,则点 A 的坐标为__________. 15.一次单元测试由 50 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中恰有一个是正确的答案,每 题选择正确得 3 分,不选或选错得 0 分,满分 150 分.学生甲选对任一题的概率为 0.8,则该生在这 次测试中成绩的期望值是_________,标准差是_____________. 三、解答题: 16.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S 4 ? 1, S8 ? 17,求数列 {an } 的通项公式. 17.在 ?ABC 中, | AB |? 4, | AC |? 2, AD ? (1)证明: AB, AD ? AD, AC ; (2)若 | AD |?

1 2 AB ? AC . 3 3

6 ,求 | BC | 的值.

18.如图(1)在直角梯形 ABCP 中,BC ∥ AP, AB ? BC, CD ? AP, AD ? DC ? PD =2,E 、

F 、G 分别是 PC 、PD 、BC 的中点, 现将 ?PDC 沿 CD 折起, 使平面 PDC ? 平面 ABCD(如
图 2) (1)求二面角 G ? EF ? D 的大小; (2)在线段 PB 上确定一点 Q ,使 PC ? 平面 ADQ ,并给出证明过程.

19.某研究所试制出一大批特种陶瓷刀,他们从这批产品中随机抽取了 50 个样本,检测它们的硬 度和耐磨度.硬度和耐磨度各分为 5 个档次,检测结果如下表.如表中所示硬度为 5、耐磨度为 4 的 刀具有 3 把.若在该批产品中任选一把刀具,其硬度记为 x ,耐磨度记为 y . (1)试根据这 50 个样本估计 y ? 5 的概率是多少? x ? 3 且 y ? 3 的概率是多少? (2) 若从这一大批产品中任意取出 3 把刀具, 则这 3 把刀具至少有 2 把的耐磨度为 5 的概率是多 少? 耐 磨 度 (3)根据这 50 个样本估计 y 的期望 值.

y

5

4 3 0 1 2 0

3 1 7 0 6 1

2 0 5 9 0 1

1 0 1 3 1 3

x
5 1 1 2 1 0



4 3



2 1

20.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线 l1 : x ? 2 与 x 轴相交于点 D ,右焦点 F 到上顶点 a2 b2

的距离为 2 ,点 C (m,0) 是线段 OF 上的一个动点. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,使得 (CA ? CB) ? BA ,并说 明理由.

21.已知函数 f ( x) ? ? cos x, g ( x) ? ax ? ? . (1)求函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x)( x ? [?

? ?

, ]) 的单调区间; 2 2

(2)证明:对任意的 x ? R ,都有 | f ?( x) |?| x | ; (3)若 a ? 2, x1 ? ? (? ? [

? 3?
4 , 4

]), g ( x n ?1 ) ? f ( x n ), 求证:

| x1 ?

?
2

| ? | x2 ?

?
2

| ? ??+ | x n ?

?
2

|?

?
2

(n ? N ? ) .

参考答案
1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.B 7.A 8.B 9.C 10.C 11.2 12. (?? , ) ? (1,?? )

1 2

13.

1 16

14. (

a2 ,0 ) c

15.120, 6 2

16.设 {an } 的公比为 q ,由 S 4 ? 1 , S8 ? 17 知 q ? 1 , 所以

a1 (1 ? q 4 ) a (1 ? q 8 ) ? 1且 1 ? 17 1? q 1? q



两式项除,得

1 ? q8 ? 17 ,解得 q 4 ? 16 ,?q ? 2 或 q ? ?2 . 1? q4
1 2 n ?1 ,所以 a n ? ; 15 15 1 (?1) n ? 2 n ?1 ,所以 a n ? . 5 5

将 q ? 2 代入①式,得 a1 ?

将 q ? ?2 代入①式,得 a1 ? ? 17.设 ?BAC ? ? ,则

16 16 ? cos? AB ? AD 3 cos ? AB , AD ?? = 3 , | AB || AD | 4 | AD |
8 8 cos? ? 3, cos ? AD, AC ?? ?3 | AD || AC | 2 | AD | AD ? AC

?cos ? AB, AD ?? cos ? AD, AC ? ,
又 ? AB, AD ??[0, ? ], ? AD, AC ??[0, ? ] ,

?? AB, AD ??? AD, AC ? .
2 2 2 1 4 4 AC ) 2 ? AB ? AB ? AC ? AC 3 9 9 9 16 4 16 11 ? ? 4 ? 2 cos ? ? ? 6 ,? cos ? ? , = 9 9 9 16

(2)?| AD | ? ( AB ?
2

1 3

? BC ?| AB | 2 ? | AC | 2 ? 2 | AB || AC | cos ? ? 16 ? 4 ? 2 ? 4 ? 2 ?

2

11 ? 9, 16

? BC |? 3. |

18.取 AD 的中点 H ,连 HG 、 HF ,? PD ? DC, EF ∥ DC ,

? DF ? EF, 又平面 PDC ? 平面 ABCD ,且 HD ? DC ,
? HD ? 平面 PDC ,又 EF ? 平面 PDC , 由三垂线定理,得 HF ? EF , ? ?DFH 就是二面角 G ? EF ? D 的平面角. 1 1 在 RT?HDF 中, DF ? PD ? 1, DH ? AD ? 1, 2 2

? ?DFH ? 45? ,即二面角 G ? EF ? D 的大小为 45? .
(2) 当点Q是线段PB 的中点时,有 PC ? 平面 ADQ .证明过程如下:

? E 为 PC 的中点,? EQ ∥ BC ,又 AD ∥ BC ,? EQ ∥ AD ,
从而 A 、 D 、 E 、 Q 四点共面. 在 Rt?PDC 中, PD ? DC, E 为 PC 的中点,? PC ? DE , 又? PD ? 平面 ABCD , AD ? CD , ? AD ? PC ,又 AD ? DE ? D ,

? PC ? 平面 ADEQ ,即 PC ? 平面 ADQ .
解法二: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(2,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), P(0,0,2),

? E (0,1,1), F (0,0,1), G(1,2,0).
设平面 GEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

?n ? EF ? ? y ? 0 ? ,取 n ? (1,0,1). ? ?n ? EG ? x ? y ? z ? 0 ?
又平面 EFD 的法向量为 m ? (1,0,0), 所以 cos m, n ?

m?n | m || n |

?

1 2

,

? m, n ? 45? , 即二面角 G ? EF ? D 的大小为 45? .
(2) 设 PQ ? ? PB(0 ? ? ? 1), 则 AQ ? AP ? PQ ? (?2 ? 2?,2?,2 ? 2?).

? AQ ? PC ? AQ ? PC ? 0 ? 2 ? 2? ? 2(2 ? 2? ) ? 0 ? ? ?
又 AD ? PC ,? PC ? 平面 ADQ ? ? ?

1 , 2

1 2

? 点 Q 是线段 PB 的中点.
19. (1) P( y ? 5) ?

1?1? 2 ?1 1 ? ; 50 10 1? 7 4 P( x ? 3, y ? 3) ? ? ; 50 25 1 ,故任取 3 把,至少有 2 10

(2)由(1)可知,任取 1 把刀具,其耐磨度为 5 的概率 p ? 把耐磨度为 5 的概率为 C 3 (
2

1 2 9 1 9 7 3 1 ) ( ) ? C3 ( ) 3 ( ) 0 ? ; 10 10 10 10 250

(3) 由题意可知 y 的分布列为

y

5

4

3

2

1

P

5 50

6 50

15 50

15 50

9 50

? Ey ? 5 ?

5 6 15 15 9 133 ? 4? ? 3? ? 2? ? 1? ? . 50 50 50 50 50 50

?a2 ? ?2 2 2 2 20. (1)由题意可知 ? c ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 2, b ? c ? 1 , ? b2 ? c2 ? 2 ?

x2 ? 椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 ; 2
(2)由(1)得 F (1,0) ,所以 0 ? m ? 1 .假设存在满足题意的直线 l ,设 l 的方程为

y ? k ( x ? 1) ,代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 2 4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1


设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ?

? 2k , 2k 2 ? 1

? CA ? CB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y 2 ) ? (

4k 2 ? 2k ? 2m, 2 ) , 2 2k ? 1 2k ? 1

? (CA ? CB) ? AB, 而 AB 的方向向量为 (1, k ) ,
? 4k 2 ? 2k ? 2m ? 2 ? k ? 0 ? (1 ? 2m)k 2 ? m ; 2 2k ? 1 2k ? 1
1 m 时, k ? ? ,即存在这样的直线 l ; 2 1 ? 2m

?当 0 ? m ?


1 ? m ? 1 时, k 不存在,即不存在这样的直线 l . 2

21. (1) ? h( x) ? ax ? ? ? cos x,? h?( x) ? a ? sin x , 当 a ? 1 时, h?( x) ? 0,? h( x) 在 [ ?

? ?

, ] 上单调递增; 2 2

当 a ? ?1 时, h?( x) ? 0,? h( x) 在 [ ? 当

? ?

, ] 上单调递减; 2 2

?1 ? a ? 1





x ? [?

?

x ? (arcsin a, ], h?( x) ? 0, h( x) 单调递减; 2

?

2

, arcsin a), h?( x) ? 0, h( x)











? (2) f ( x) ? ? cos x, f ?( x) ? sin x; 设 F1 ( x) ? sin x ? x, 则 F1?( x) ? cos x ? 1 ? 0, 所以 F1 ( x)
在 R 上是减函数,故当 x ? 0 时, F1 ( x) ? F1 (0) ? 0, 即 sin x ? x ?| x | ; 又设 F2 ( x) ? sin x ? x, 则 F2?( x) ? sin x ? x, 则 F2?( x) ? cos x ? 1 ? 0 ,所以 F2 ( x) 在 R 上是增 函数,故当 x ? 0 时, F2 ( x) ? F2 (0) ? 0 ,即 sin x ? ? x ? ? | x | ; 即有 | f ?( x) |?| sin x |?| x | ; 同理可证, x ? 0 时, x ? 0 当 故 ? 当 x ? 0 时,? | x |? sin x ?| x | , 时, | f ?( x) |?| sin x |?| x | ,故结论成立; (3)由 g ( xn?1 ) ? f ( xn ) ,得 2 xn?1 ? ? ? ? cos xn ,根据(2),有

1 1 ? 1 ? | cos x n |? | sin( x n ? ) |? | x n ? | (n ? N ? ), 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? 1 2 ? 1 n ?1 ? ?| x n ? |? | x n ?1 ? |? ( ) | x n ?2 ? |? ? ? ( ) | x1 ? | , 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 1 1 2 1 n ?1 ? ?| x1 ? | ? | x 2 ? | ? ? ? | x n ? |? [1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ] | ? ? | 2 2 2 2 2 2 2 | x n ?1 ? |?

?

1 1 ? ( )n 2 | ? ? ? |? 2 | ? ? ? |? ? (? ? [ ? , 3? ]) , ? 1 2 2 2 4 4 1? 2
所以不等式成立.



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