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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:第一章 1.3 1.3.2 函数的极值与导数

1.3.2 函数的极值与导数

预习课本 P26~29,思考并完成下列问题 (1)函数极值点、极值的定义是什么?

(2)函数取得极值的必要条件是什么?

(3)求可导函数极值的步骤有哪些?

[新知初探] 1.函数极值的概念 (1)函数的极大值 一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)< f(x0),就说 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点. (2)函数的极小值 一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)> f(x0),就说 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点.极大值与 极小值统称为极值. [点睛] 如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值比较它是最 大值或最小值,但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值. (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. (5)单调函数一定没有极值. 2.求函数 y=f(x)极值的方法 一般地,求函数 y=f(x)的极值的方法是: 解方程 f′(x)=0. 当 f′(x0)=0 时:

(1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. [点睛] 一般来说,“f′(x0)=0”是“函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值”的必要不充分 条件.若可导函数 y=f(x)在点 x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,那么 f′(x0)=0;反之, 若 f′(x0)=0,则点 x0 不一定是函数 y=f(x)的极值点. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 f(x)=x3+ax2-x+1 必有 2 个极值.( ) )

(2)在可导函数的极值点处,切线与 x 轴平行或重合.( 1 (3)函数 f(x)= 有极值.( x 答案:(1)√ (2)√ (3)× )

2.下列四个函数:①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x,其中在 x=0 处取得极小 值的是( ) B.②③ C.③④ D.①③

A.①② 答案:B

3.已知函数 y=|x2-1|,则( A.y 无极小值,且无极大值 B.y 有极小值-1,但无极大值 C.y 有极小值 0,极大值 1 D.y 有极小值 0,极大值-1 答案:C

)

π? 4. 函数 f(x)=x+2cos x 在? ?0, 2 ?上的极大值点为( A.0 π C. 3 答案:B π B. 6 π D. 2

)

运用导数解决函数的极值问题 题点一:知图判断函数的极值 1.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)( )

A.在(-∞,0)上为减函数 C.在(4,+∞)上为减函数

B.在 x=0 处取极小值 D.在 x=2 处取极大值

解析:选 C 由导函数的图象可知:x∈(-∞,0)∪(2,4)时,f′(x)>0,x∈(0,2)∪(4, +∞)时,f′(x)<0,因此 f(x)在(-∞,0),(2,4)上为增函数,在(0,2),(4,+∞)上为减函数, 所以 x=0 取得极大值,x=2 取得极小值,x=4 取得极大值,因此选 C. 题点二:已知函数求极值 2.求函数 f(x)=x2e
-x

的极值.

解:函数的定义域为 R, f′(x)=2xe x+x2· e x· (-x)′
- -

=2xe x-x2· e


-x

=x(2-x)e x.


令 f′(x)=0,得 x(2-x)· e x=0,


解得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,0) - ? 0 0 极小值 0 (0,2) + ? 2 0 极大值 4e
-2

(2,+∞) - ?

因此当 x=0 时,f(x)有极小值, 并且极小值为 f(0)=0; 4 - 当 x=2 时,f(x)有极大值,并且极大值为 f(2)=4e 2= 2. e 题点三 已知函数的极值求参数

3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的 取值范围是( ) B.(0,+∞) D.(-1,0)

A.(-∞,-1) C.(0,1)

解析:选 D 若 a<-1,∵f′(x)=a(x+1)(x-a), ∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,∴f(x)在 x=a 处取得极小值, 与题意不符; 若-1<a<0,则 f(x)在(-1,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,从而在 x=a 处取

得极大值. 若 a>0,则 f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意矛盾,∴选 D. 4.已知 f(x)=ax5-bx3+c 在 x=± 1 处的极大值为 4,极小值为 0,试确定 a,b,c 的 值. 解:f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b). 由题意,f′(x)=0 应有根 x=± 1,故 5a=3b, 于是 f′(x)=5ax2(x2-1) (1)当 a>0,x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞, - 1) + ? -1 0 极大值 (-1,0) - ? 0 0 无极值 (0,1) - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ?

? ?4=f?-1?=-a+b+c, 由表可知:? ?0=f?1?=a-b+c. ?

又 5a=3b,解之得:a=3,b=5,c=2. (2)当 a<0 时,同理可得 a=-3,b=-5,c=2.

1.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导数 f′(x). (3)解方程 f′(x)=0 得方程的根. (4)利用方程 f′(x)=0 的根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小 开区间的符号. (5)确定函数的极值,如果 f′(x)的符号在 x0 处由正(负)变负(正),则 f(x)在 x0 处取得极 大(小)值. 2.已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意两点 (1)根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须 验证充分性. 函数极值的综合应 用 [典例] 已知函数 f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y

=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. [解] 因为 f(x)在 x=-1 处取得极值且 f′(x)=3x2-3a, 所以 f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,所以 a=1. 所以 f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3, 由 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,f′(x)>0; 当-1<x<1 时,f′(x)<0; 当 x>1 时,f′(x)>0. 所以由 f(x)的单调性可知, f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1, 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3. 作出 f(x)的大致图象如图所示:

因为直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合 f(x)的图象可知,m 的取 值范围是(-3,1). [一题多变] 4 1.[变条件]若本例中条件改为“已知函数 f(x)=-x3+ax2-4”在 x= 处取得极值, 其 3 他条件不变,求 m 的取值范围. 4? 解:由题意可得 f′(x)=-3x2+2ax,由 f′? ?3?=0, 可得 a=2,所以 f(x)=-x3+2x2-4, 则 f′(x)=-3x2+4x. 4 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x= , 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,0) - ? 0 0 -4

?0,4? ? 3?
+ ?

4 3 0 76 - 27

?4,+∞? ?3 ?
- ?

作出函数 f(x)的大致图象如图所示:

因为直线 y = m 与函数 y = f(x) 的图象有三个不同的交点,所以 m 的取值范围是

?-4,-76?. 27? ?
2.[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一 个交点”呢? 解:由例题解析可知:当 m=-3 或 m=1 时,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有两个不同 的交点;当 m<-3 或 m>1 时,直线 y=m 与 y=f(x)的图象只有一个交点.

(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题,一般地,方程 f(x)=0 的根 就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标, 方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)的图象的 交点的横坐标. (2)事实上利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画 出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数, 从而为研究方程根的个数问题提供了方便.

层级一 1.当函数 y=x· 2x 取极小值时,x=( 1 A. ln 2 C.-ln 2

学业水平达标 ) B.- 1 ln 2

D.ln 2 1 . ln 2

解析:选 B 由 y′=2x+x· 2xln 2=0,得 x=- 2 2.设函数 f(x)=x+ln x,则( 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 )

2 2 1 1 1- ?=0 可得 x=2.当 0<x<2 时, 解析: 选 D 由 f′(x)=- 2+ = ? f′(x)<0, f(x) x x x? x? 单调递减;当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增.故 x=2 为 f(x)的极小值点. 3.已知函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( ) A.(2,3) C.(2,+∞) B.(3,+∞) D.(-∞,3)

解析: 选 B 因为函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值, 又 f′(x)=6x2+2ax +36,所以 f′(2)=0 解得 a=-15.令 f′(x)>0,解得 x>3 或 x<2,所以函数的一个递增 区间是(3,+∞). 4.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

解析: 选 C 由题意可得 f′(-2)=0, 而且当 x∈(-∞, -2)时, f′(x)<0, 此时 xf′(x) >0;排除 B、D,当 x∈(-2,+∞)时,f′(x)>0,此时若 x∈(-2,0),xf′(x)<0,若 x ∈(0,+∞),xf′(x)>0,所以函数 y=xf′(x)的图象可能是 C. 5.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值分 别为( ) B.0, 4 27

4 A. ,0 27 C.- 4 ,0 27 f′(x)=3x2-2px-q,

4 D.0,- 27

解析:选 A

由 f′(1)=0,f(1)=0 得,
?3-2p-q=0, ?p=2, ? ? ? 解得? ∴f(x)=x3-2x2+x. ? ? 1 - p - q = 0 , q =- 1 , ? ?

1 1 4 由 f′(x)=3x2-4x+1=0 得 x= 或 x=1, 易得当 x= 时 f(x)取极大值 .当 x=1 时 f(x) 3 3 27 取极小值 0. 6.函数 y= 2x 的极大值为________,极小值为_______. x2+1 2?1+x??1-x? ,令 y′>0 得-1<x<1,令 y′<0 得 x>1 或 x<-1,∴ ?x2+1?2

解析:y′=

当 x=-1 时,取极小值-1,当 x=1 时,取极大值 1. 答案:1 -1

7.已知函数 f(x)=x3-3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 解析:令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=± 1,可得极大值为 f(-1)=2,极 小值为 f(1)=-2,y=f(x)的大致图象如图,观察图象得-2<a<2 时恰有 三个不同的公共点. 答案:(-2,2) 8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数 y=f′(x)的图象经过点(1,0), (2,0).如图,则下列说法中不正确的是________.(填序号) 3 ①当 x= 时,函数 f(x)取得最小值; 2 ②f(x)有两个极值点; ③当 x=2 时函数值取得极小值; ④当 x=1 时函数取得极大值. 解析:由图象可知,x=1,2 是函数的两极值点,∴②正确;又 x∈(-∞,1)∪(2,+∞) 时,y>0;x∈(1,2)时,y<0,∴x=1 是极大值点,x=2 是极小值点,故③④正确. 答案:① 9.设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求 f(x)的单调区间与极值. 解:由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R.令 f′(x)=0,得 x=ln 2. 于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,ln 2) - 单调递减↘ ln 2 0 2(1-ln 2+a) (ln 2,+∞) + 单调递增↗

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞); 且 f(x)在 x=ln 2 处取得极小值. 极小值为 f(ln 2)=2(1-ln 2+a),无极大值. 10.已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=± 1 时取得极值,且 f(1)=-1. (1)试求常数 a,b,c 的值; (2)试判断 x=± 1 时函数取得极小值还是极大值,并说明理由. 解:(1)由已知,f′(x)=3ax2+2bx+c, 且 f′(-1)=f′(1)=0,得 3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1. 1 3 ∴a= ,b=0,c=- . 2 2

1 3 (2)由(1)知 f(x)= x3- x, 2 2 3 3 3 ∴f′(x)= x2- = (x-1)(x+1). 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0;当-1<x<1 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上为减函数. ∴当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1; 当 x=1 时,函数取得极小值 f(1)=-1.

层级二 1.下列函数中,x=0 是极值点的是( A.y=-x3 C.y=tan x-x 解析: 选B y=cos2x=

应试能力达标 ) B.y=cos2x 1 D.y=x

1+cos 2x , y′=-sin 2x, x=0 是 y′=0 的根且在 x=0 附近, 2

y′左正右负,∴x=0 是函数的极大值点. 2.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是( A.(-1,2) C.(-∞,-3)∪(6,+∞) 解析:选 C f′(x)=3x2+2ax+a+6, B.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) )

∵f(x)有极大值与极小值,∴f′(x)=0 有两不等实根,∴Δ=4a2-12(a+6)>0,∴a<- 3 或 a>6. 3.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 解析:选 B ) B.2 个 D.4 个 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f′(x)>0,得 x>2 或 x<0,令 f′(x)<0,

得 0<x<2,所以 f(x)的极大值为 f(0)=0,极小值为 f(2)=-4,故①②错误,③④正确. 4.已知函数 f(x)=ex(sin x-cos x),x∈(0,2 017π),则函数 f(x)的极大值之和为( e ?1-e A. e2π-1
2π 2 018π

)

?

e ?1-e ? B. 1-e2π

π

2 016π

eπ?1-e1 008π? C. 1-e2π 解析: 选B

eπ?1-e1 008π? D. 1-eπ

f′(x)=2exsin x, 令 f′(x)=0 得 sin x=0, ∴x=kπ, k∈Z, 当 2kπ<x<2kπ

+π 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当(2k-1)π<x<2kπ 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,∴当 x =(2k+1)π 时,f(x)取到极大值,∵x∈(0,2 017π),∴0<(2k+1)π<2 017π,∴0≤k<1 008,k ∈Z. ∴f(x)的极大值之和为 S=f(π)+f(3π)+f(5π)+?+f(2 015π)=eπ+e3π+e5π+?+e2 015π eπ[1-?e2π?1 008] eπ?1-e2 016π? = = ,故选 B. 1-e2π 1-e2π 5.若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值为 13,则实数 m 等于______. 解析:y′=-3x2+12x=-3x(x-4).由 y′=0,得 x=0 或 4.且 x∈(-∞,0)∪(4, +∞)时,y′<0;x∈(0,4)时,y′>0,∴x=4 时取到极大值.故-64+96+m=13,解得 m=-19. 答案:-19 6.若函数 f(x)=x3+x2-ax-4 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值范围 为______. 解析:由题意,f′(x)=3x2+2x-a, 则 f′(-1)f′(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,解得 1<a<5,另外,当 a=1 时,函数 f(x)=x3 +x2-x-4 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当 a=5 时,函数 f(x)=x3+x2-5x-4 在区 间(-1,1)没有极值点.故实数 a 的范围为[1,5). 答案:[1,5) a 7.设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. 3 (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. a 解:由 f(x)= x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c, 3 ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.
?a+2b+c-9=0, ? 则? (*) ? ?16a+8b+c-36=0. ? ?2b+c-6=0, (1)当 a=3 时,由(*)式得? ?8b+c+12=0, ?

解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x. a (2)由于 a>0, 所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞, +∞)内无极值点”等价于“f′(x) 3

=ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立”. 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),
?a>0, ? ∴? 解得 1≤a≤9. ?Δ=9?a-1??a-9?≤0, ?

即 a 的取值范围是[1,9].

8.已知 f(x)=2ln(x+a)-x2-x 在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值. (2)若关于 x 的方程 f(x)+b=0 的区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取 值范围. 解:(1)f′(x)= 2 -2x-1,当 x=0 时,f(x)取得极值, x+a

所以 f′(0)=0,解得 a=2,检验知 a=2 符合题意. (2)令 g(x)=f(x)+b=2ln(x+2)-x2-x+b, 2 -2x-1=- (x>-2). x+2 x+2 5 x+ ? 2x? ? 2?

则 g′(x)=

g(x),g′(x)在(-2,+∞)上的变化状态如下表: x g′(x) g(x) (-2,0) + ? 0 0 2ln 2+b (0,+∞) - ?

由上表可知函数在 x=0 处取得极大值,极大值为 2ln 2+b. 要使 f(x)+b=0 在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,

g?-1?≤0, ? ? 只需?g?0?>0, ? ?g?1?≤0, b≤0, ? ? 即?2ln 2+b>0, ? ?2ln 3-2+b≤0, 所以-2ln 2<b≤2-2ln 3. 故实数 b 的取值范围是(-2ln 2,2-2ln 3].



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