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2013年全国高中数学联赛安徽省预赛含答案可编辑


2013 年全国高中数学联赛安徽省预赛 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 = + 1 + ? 1 + 4 ? 2 的值域为. 2.方程sin(2013) = 2013 的实根个数为. 3.化简sin 12°sin 48°sin 54°=. 4.设数列 满足1 = 2 = 1, = 3?1 ? ?2 ( ≥ 3) ,则2013 =. 5.设△ ABC的外接圆圆心 P 满足 = ( × ),则cos ∠BAC =.
5 2

6.设复数 = + 满足 +2的实部与虚部之比为 3, 其中 i 是虚数单位, , ∈ R, 则 的 最大值为. 7.设(1 + + 2 )
150

+1



=

300 =0

,其中0 ,…,300 是常数,则

100 =0 3

=.

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为. 二、简答题(第 9、10 题每题 21 分,第 11、12 题 22 分,共 86 分) 9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径. 10. 求 所 有 函 数 : → , 使 得 对 任 意 x , y , 都 有 + = + + 2 , 且 2 — 2 ≤ ≤ 2 + 2 . 11.设 a、b、c 是不全为 0 的实数,求F = 件时,F 取最大值与最小值? 12.设数列 满足1 = 1,2 = 2, = (1)求数列 的通项公式; (2)求证:对任意正整数 k, 2?1 和
2 2 1+ —1 —2
2 1 1

— + 2 2 +2 2 +3 2

的取值范围.a、b、c 分别满足什么条

( ≥ 3).

都是整数.

解答 1.[2+ 3,2 5] 2.4027 3.

1 8 1 4

4.1— 3 5.

6.

4 2 ?3 3 5
149

7. 3 8.

1 3

? 1 ? 11 ? 9.棱锥的高 h ? 2 ? ? ? ? ? 3 ? 3?
2

2

故其体积 V ?

1 3 11 ? h? 3 4 3 3 15 ?3 4 4

另一方面,易求得棱锥的表面积 S ?

从而其内切球半径 r ?

3V 11 ? S 3 ? 3 15

10.设 g ?x? ? f ?x? ? x 2 ,则对任意 x,y 都有

g ?x ? y ? ? g ?x ? ? g ? y ? 且 g ?x ? ? x 2
由上述关系式,对任意 x 和正整数 n,

1

g ?x ? ?

g ?nx? n

?

x n

令 n 趋于无穷得, g ?x ? ? 0 .从而 f ?x ? ? x 2 . 11.由 a 2 ? b 2 ? 2ab , b 2 ? c 2 ? ?2bc 得:

a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ? 2 ab ? bc ? c 2 .
从而 F ?

?

?

ab ? bc ? c 2 1 ? . 2 2 2 2 a ? 2b ? 3c

等号成立当且仅当 a : b : c ? 1 : 1 : ?1 . 为求 F 的最小值,固定常数,.则由基本不等式

? a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ? ? a 2 ? ?b 2 ? ?2 ? ? ?b 2 ? ?c 2 ? ?? ? 3?c 2

?

? ?

?

? 2 ? ab ? 2 ?2 ? ? ?? bc ? ?? ? 3?c 2 ,
等号成立当且仅当 a ? ? 令2

? b , 2 ? ?b ? ? c .

? ? 2 ?2 ? ? ?? ? ? ? 3 .化简得

? 3 ? 5? 2 ? 5? ? 9 ? ?? ? 1??? 2 ? 4? ? 9? ? 0 .
由 ? ? 3 .求得 ? ? 2 ? 13 .于是

F?

ab ? bc ? c 2 1 13 ? 1 ?? ?? 2 2 2 ? ?3 12 a ? 2b ? 3c
5 ? 13 : ?1 . 故 F 的 取 值 范 围 是 2

等 号 成 立 当 且 仅 当 a : b : c ? 2 ? 13 : ?

? 13 ? 1 1 ? , ?. ?? 12 2? ?
12.(1)由 ?
2 ? ?a n ? 2 a n ? a n ?1 ? 2a n ?1 ? 1, ,两式相减得 2 ? a a ? a ? 2 a ? 1 , n n ? n ?1 n ?1

an?1 ?an?1 ? an?1 ? 2? ? ?an?2 ? an ? 2?an .
结合 a3 ? 9 ,得

an?1 ? an?1 ? 2 an ? an?2 ? 2 a ? a1 ? 2 ? ??? 3 ? 6, an an?1 a2
从而 an?1 ? 6an ? an?1 ? 2 , 令 bn ? a n ?

1 .得 bn?1 ? 6bn ? bn?1 ,解得 bn ? c1?n?1 ? c2 ? n?1 , 2

2 其中 ? , ? 是方程 x ? 6 x ? 1 的两根, c1 , c2 是常数.

由 b1 ?

1 3 1 , b2 ? ,解得 c1 ? c 2 ? .因此, ?an ? 的通项公式为 2 2 4
n ?1

an

?3 ? 2 2 ? ?

? 3? 2 2 4

?

?

n ?1

?2

.

(2) a 2 k ?1

?3 ? 2 2 ? ? ?
2 ?1

k ?1

? 3?2 2 2 ?

?

?

k ?1

? ? C k2?j1 3 k ?1? 2 j 2 3 j ,是整数;
j ?0 2 j ?1 j ? ? C2 k ?1 2 也是整数. j ?0

a2k ? 同理, 2

?

2 k ?1

?

2 ?1

?

2 k ?1

2 2

2013 年全国高中数学联赛 加 试

1.(本题满分 40 分) 如图, AB 是圆 ? 的一条弦, P 为弧 AB 内一点, E、 F 为线段 AB 上两点, 满足 AE=EF=FB.连结 PE、PF 并延长,与圆 ? 分别相交与点 C、D.求证: EF ? CD ? AC ? BD .

A

F

B

C

D

2.(本题满分 40 分)给定正整数 u , v .数列 ?an ? 定义如下: a1 ? u ? v ,对整数 m ? 1 ,

?a 2 m ? a m ? u , ? ?a 2 m ?1 ? a m ? v.
记 S m ? a1 ? a2 ? ? ? am ?m ? 1 2

, ,??.证明:数列 ?S ? 中有无穷多项是完全平方数.
n

3.(本题满分 50 分) 一次考试共有 m 道试题,n 个学生参加, 其中 m n ? 2 为给定的整数. 每道题的得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答对该题的学生得 x 分,未答 对的学生得零分.每个学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为

,

p1 ? p2 ? ? ? pn ,求 p1 ? pn 的最大可能值.
4.(本题满分 50 分) 设 n ,k 为大于 1 的整数,n ? 2 .证明: 存在 2 k 个不被整除的整数,
k

若将它们任意分成两组,则总有一组若干个数的和被 n 整除.





1.连结 AD 、 BC 、 CF 、 DE .由于 AE ? EF ? FB ,从而

BC ? sin ?BCE 点B到直线CP的距离 BE ? ? ? 2 .① AC ? sin ?ACE 点A到直线CP的距离 AE

A

F

B

C

D

同样

AD ? sin ?ADF 点A到直线PD的距离 AF ? ? ? 2 .② BD ? sin ?BDF 点B到直线PD的距离 BF
另一方面,由于

?BCE ? ?BCP ? ?BDP ? ?BDF , ?ACE ? ?ACP ? ?ADP ? ?ADF , BC ? AD ? 4 ,即 故将①、②两式相乘可得 AC ? BD BC ? AD ? 4 AC ? BD .③
由托勒密定理

AD ? BC ? AC ? BD ? AB ? CD .④ AB ? CD ? 3 AC ? BD , 故由③,④得 EF ? CD ? AC ? BD . 即
2.对正整数 n ,有

S 2n?1 ?1 ? a1 ? ?a2 ? a3 ? ? ?a4 ? a5 ? ? ? ? ?a2n?1 ?2 ? a2n?1 ?1 ? ? u ? v ? ?a1 ? u ? a1 ? v? ? ?a2 ? u ? a2 ? v? ? ? ? ?a2n ?1 ? u ? a2n ?1 ? v?

? 2n ?u ? v? ? 2S 2n ?1 ,
所以 S 2n ?1 ? 2
n?1

?u ? v? ? 2S2

n ?1

?1

? 2n?1 ?u ? v? ? 2 2n?2 ?u ? v? ? 2S2n?2 ?1

?

? ?

? 2 ? 2n?1 ?u ? v? ? 2 2n?2 ?u ? v? ? 2S 2n?2 ?1
? ? ? ?n ? 1? ? 2 n?1 ?u ? v? ? 2 n?1 ?u ? v?

?

? ?u ? v ?n ? 2 n?1 .
设 u ? v ? 2 k ? q ,其中 k 是非负整数, q 是奇数.取 n ? q ? l 2 ,其中 l 为满足

l ? k ? 1?mod2? 的任意正整数,此时 S 2

n

?1

? q 2 l 2 ? 2 k ?1? q?l ,注意到 q 是奇数,故
2

2

k ? l ? q ? l 2 ? k ? 1 ? l 2 ? k ? 1 ? ?k ? 1?

? k ?k ? 1? ? 0?mod2? ,
所以, S 2n ?1 是完全平方数.由于 l 有无穷多个,故数列 ?S n ? 中有无穷多项是完全平方数. 3.对任意的 k=1,2,…,m,设第 k 题没有答对者有 人,则第 k 题答对者有 ? 人,由 得分规则知,这 ? 个人在第 k 题均得到 分.设 n 个学生的得分之和为 S,则有


= =
=1 =1

? =
=1

?
=1

2

因为每一个人在第 k 道题上至多得 分,故



1 ≤
=1
由于 p2 ? ? ? pn ,故有 p n ?
p1 ? p n ? p1 ?



p 2 ? p3 ? ? ? p n S ? p1 ? ,所以 n ?1 n ?1

S ? p1 n?2 S ? p1 ? n ?1 n ?1 n ?1
m

?

n ?2 ? n ?1
m

? xk ?
k ?1

? m 1 ?? n? xk ? n ?1 ? ? k ?1

xk ? ? ? k
2 ?1

m

? ?

m 1 2 ? 2? xk ? ? ? xk n ? 1 k ?1 k ?1

由柯西不等式得

?x
k ?1

m

2 k

1 ? m ? ? ? ? xk ? m ? k ?1 ?

2



于是

1 ? m ? p1 ? p n ? 2? x k ? ? ? ? xk ? m?n ? 1? ? k ?1 k ?1 ?
m

2

1 ? m ? ?? ? ? ? x k ? m?n ? 1?? ? m?n ? 1? m?n ? 1? ? k ?1 ?
? m?n ? 1?
另一方面,若有一个学生全部答对,其他 n-1 个学生全部答错,则

2

p1 ? p n ? p1 ?

? ?n k
?1

m

? 1? ? m ?n ? 1?

综上所述, p1 ? pn 的最大值为 m(n-1).

4.先考虑 n 为 2 的幂的情形. 设 n=2 ,r ≥ 1,则 r< .取 3 个2?1 及 2k-3 个 1,显然这些数均不被 n 整除.将这 2k 个数任意分成两组,则总有一组中含 2 个 2?1 ,它们的和为2 ,被 n 整除. 现在设 n 不是 2 的幂,取 2k 个数为 -1,-1,-2,-22 ,…,-2?2 ,1,2,22 ,…,2?1 ,因为 n 不是 2 的幂,故上述 2k 个数均不被 n 整除. 若可将这些数分成两组,使得每一组中任意若干个数的和均不能被 n 整除.不妨设 1 在 第一组,由于(-1)+1=0,被 n 整除,故两个-1 必须在第二组;因(-1)+(-1)+2=0,被 n 整除,故 2 在第一组,进而推出-2 在第二组. 现归纳假设 1, 2, …, 2 均在第一组, 而-1, -1, -2, …, -2 均在第二组, 这里1 ≤ < ? 2, +1 +1 由于(-1)+(-1)+(-2)+…+(-2 )+2 =0,被 n 整除,故2 在第一组,从而-2 +1 在 第二组.故由数学归纳法可知, 1,2, 22 , …, 2?2 在第一组, -1, -1, -2, -22 , …, -2?2 在第二组. 最后,由于(-1)+(-1)+(-2)+…+(-2?2 )+2?1 =0,被 n 整除,故2?1 在第一组.因 此 1,2,22 ,…,2?1 均在第一组,由正整数的二进制表示可知,每一个不超过2 -1 的正整 数均可表示为 1,2,22 ,…,2?1 中若干个数的和,特别地,因为 ≤ 2 -1,故第一组中有 若干个数的和为 n,当然被 n 整除,矛盾! 因此,将前述 2k 个整数任意分成两组,则总有一组中有若干个数之和被 n 整除.



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