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2018年秋高中数学 课时分层作业19 函数的最大(小)值与导数 新人教A版选修1-1

最新中小学教案、试题、试卷 课时分层作业(十九) 函数的最大(小)值与导数 (建议用时:45 分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.函数 f(x)=x+cos x 在[0,π ]上的( π A.最小值为 0,最大值为 2 π B.最小值为 0,最大值为 +1 2 π C.最小值为 1,最大值为 2 D.最小值为 1,最大值为 π -1 D [f′(x)=1-sin x,由 x∈[0,π ]知,f′(x)≥0,即 f(x)在[0,π ]上是增函数,所以 f(x)max =f(π )=π -1,f(x)min=f(0)=1.] 2.函数 f(x)=x -x -x+a 在区间[0,2]上的最大值是 3,则 a 等于( A.3 B.1 C.2 D.-1 3 2 ) ) 1 2 B [f′(x)=3x -2x-1,令 f′(x)=0 得 x=1 或 x=- (舍). 3 由 f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2 知 f(x)max=f(2)=a+2=3,解得 a=1.] 3.已知函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为 20,则 c 的值为( A.1 C.-1 B [∵f′(x)=3ax , ∴f′(1)=3a=6,∴a=2. 当 x∈[1,2]时,f′(x)=6x >0,即 f(x)在[1,2]上是增函数, ∴f(x)max=f(2)=2×2 +c=20, ∴c=4.] 4.函数 f(x)=x -3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( 3 3 2 2 3 ) B.4 D.0 ) 【导学号:97792164】 A.0≤a<1 C.-1<a<1 2 B.0<a<1 1 D.0<a< 2 2 B [∵f′(x)=3x -3a,令 f′(x)=0 得 x =a. ∴x=± a. 又∵f(x)在(0,1)内有最小值, 教案、试题、试卷中小学 1 最新中小学教案、试题、试卷 ∴0< a<1,∴0<a<1.故选 B.] 1 4 3 5.已知函数 f(x)= x -2x +3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则 m 的取值范围是( 2 3 A.m≥ 2 3 C.m≤ 2 A [∵f′(x)=2x -6x , 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=3, 验证可知 x=3 是函数的最小值点, 27 故 f(x)min=f(3)=3m- , 2 由 f(x)+9≥0 恒成立,得 f(x)≥-9 恒成立, 27 3 即 3m- ≥-9,∴m≥ .] 2 2 二、填空题 6.当 x∈[-1,1]时,函数 f(x)= x的值域为__________. e 2x-x [0,e] [f′(x)= x ,令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2(舍). e 1 又 f(-1)=e,f(0)=0,f(1)= ,则 f(x)max=f(-1)=e, e 2 3 2 ) 3 B.m> 2 3 D.m< 2 x2 f(x)min=f(0)=0,因此函数 f(x)的值域为[0,e].] 7.已知 f(x)=-x +mx+1 在区间[-2,-1]上的最大值就是函数 f(x)的极大值,则 m 的取值范围 是________. (-4,-2) [f′(x)=m-2x,令 f′(x)=0 得,x= . 2 由题意知-2< <-1,∴-4<m<-2.] 2 8.若函数 f(x)= 3-1 2 m m x 3 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为__________. x2+a 3 a-x2 x2+a 2 [f′(x)= (a>0),令 f′(x)=0 得 x= a或 x=- a(舍). 1 3 当 0<a≤1 时,f′(x)≤0,则 f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,从而 f(x)max=f(1)= = ,解 1+a 3 得 a= 3-1, 当 a>1 时,x∈[1, a)时,f′(x)>0,x∈( a,+∞)时,f′(x)<0, 则当 x= a时,f(x)有最大值,即 f(x)max=f( a)= 教案、试题、试卷中小学 a 3 3 = ,解得 a= 不合题意. 2a 3 4 2 最新中小学教案、试题、试卷 综上知,a= 3-1.] 三、解答题 9.已知函数 f(x)=ax +x +bx(其中常数 a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. 【导学号:97792165】 (1)求 f(x)的表达式. (2)求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. [解] (1)因为 f′(x)=3ax +2x+b, 所以 g(x)=f(x)+f′(x) =ax +(3a+1)x +(b+2)x+b. 因为 g(x)是奇函数, 所以 g(-x)=-g(x), 从而 3a+1=0,b=0, 1 解得 a=- ,b=0, 3 1 3 2 因此 f(x)的表达式为 f(x)=- x +x . 3 1 3 (2)由(1)知 g(x)=- x +2x, 3 所以 g′(x)=-x +2,令 g′(x)=0. 解得 x1=- 2(舍去),x2= 2, 5 4 2 4 而 g(1)= ,g( 2)= ,g(2)= , 3 3 3 4 2 4 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2)= ,最小值为 g(2)= . 3 3 10.已知函数 f(x)=ax -ax-xln x,且 f(x)≥0. (1)求 a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e <f(x0)<2 . [解] (1)f(x)的定义域为(0,+∞). 设 g(x)=ax-a-ln x, 则 f(x)=xg(x),f(x)≥0 等价于 g(x)≥0. 因为 g(1)=0,g(x)≥0,故 g′(1)=0, 1 而 g′(x)=a- ,g′(1)=a-1,得 a=1. -2 -2 2 2 3 2 2 3 2 x 1 若 a=1,则


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