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烟台芝罘区数学直线与圆锥曲线(椭圆为例)位置关系2016高三专题复习-解析几何专题(2)


【烟台芝罘区】明老师

烟台芝罘区数学直线与圆锥曲线(椭圆为例)位置关系 2016 高三专题复习-解析几何专题(2) 【复习要点】直线与圆锥曲线问题常用知识点 1、两条直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 垂直:则 k1k2 ? ?1 ;

? ? 直线所在的向量 v1 ? v2 ? 0
平行:斜率相等,截距不等。 2、韦达定理:若一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不同的根 x1 , x2 ,
b c 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 。 a a

3、中点坐标公式: 点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 的中点坐标 M(x,y)其中( x ? 4、弦长公式: 若点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 在直线 y ? kx ? b(k ? 0) 上, 则 y1 ? kx1 ? b,y2 ? kx2 ? b ,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,
AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? (kx1 ? kx2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

x1 ? x2 y ? y2 ,y ? 1 , ) 。 2 2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

或者

1 1 1 1 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 2 )( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 2 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] 。 k k k k
【题型解析】直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题 1、已知直线 l : y ? kx ? 1 与椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1 始终有交点,求 m 的取值范围 4 m

解:数形结合,直线恒过(0,1)点,即此点在椭圆内即可。 1 ? m且m ? 4 。

1

【烟台芝罘区】明老师

题型二:弦的垂直平分线问题 例题 2、过点 T(-1,0)作直线 l 与曲线 N : y 2 ? x 交于 A、B 两点,在 x 轴上是 否存在一点 E( x0 ,0),使得 ?ABE 是等边三角形,若存在,求出 x0 ;若不存在, 请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于 0。 设直线 l : y ? k ( x ? 1) , k ? 0 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 。

? y ? k ( x ? 1) 由? 2 消 y 整理,得 k 2 x2 ? (2k 2 ?1) x ? k 2 ? 0 ?y ? x
由直线和抛物线交于两点,得
2 ? ? (2k 2 ?1)2 ? 4k 4 ? ?4k 2 ? 1 ? 0 即 0 ? k ?



1 4



由韦达定理,得: x1 ? x2 ? ?

2k 2 ? 1 , x1 x2 ? 1 。 k2

则线段 AB 的中点为 ( ?

2k 2 ? 1 1 , )。 2k 2 2k

线段的垂直平分线方程为: y ? 令 y=0,得 x0 ?

1 1 1 ? 2k 2 ? ? (x ? ) 2k k 2k 2

1 1 1 1 ? ,则 E ( 2 ? , 0) 2 2k 2 2k 2

??ABE 为正三角形,
? E(
1 1 3 ? , 0) 到直线 AB 的距离 d 为 AB 。 2 2k 2 2

? AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ?

1 ? 4k 2 ? 1? k 2 k2

d?

1? k 2 2k

?

3 1 ? 4k 2 1? k 2 2 ? 1 ? k ? 2k 2 2k

解得 k ? ?

39 5 满足②式, 此时 x0 ? 。 13 3
2

【烟台芝罘区】明老师

题型三:动弦过定点的问题
3 x2 y 2 例题 3、已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且在 x 轴上的顶点 2 a b

分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。 (I)求椭圆的方程; (II)若直线 l : x ? t (t ? 2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于点 T 的任一点, 直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点,试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点? 并证明你的结论

解: (I)由已知椭圆 C 的离心率 e ? 则得 c ? 3, b ? 1。 从而椭圆的方程为
x2 ? y2 ? 1 4

c 3 ? ,a ? 2, a 2

(II)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 A1M 的斜率为 k1 , 则直线 A1M 的方程为 y ? k1 ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2) 由? 2 1 2 消 y 整理得 (1 ? 4k12 ) x2 ?16k2 x ?16k12 ? 4 ? 0 x ? 4 y ? 4 ?

? ?2和x1 是方程的两个根,
??2 x1 ? 16k12 ? 4 1 ? 4k12
则 x1 ?
4k1 2 ? 8k12 , y1 ? , 2 1 ? 4k12 1 ? 4k1

2 ? 8k12 4k1 即点 M 的坐标为 ( , ), 1 ? 4k12 1 ? 4k12

3

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同理,设直线 A2N 的斜率为 k2,则得点 N 的坐标为 (

2 8k2 ? 2 ?4k2 , ) 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

? y p ? k1 (t ? 2), y p ? k2 (t ? 2)
? k1 ? k2 2 ?? , k1 ? k2 t
y ? y1 y2 ? y1 ? , x ? x1 x2 ? x1

? 直线 MN 的方程为:

? 令 y=0,得 x ?

x2 y1 ? x1 y2 , y1 ? y2

将点 M、N 的坐标代入,化简后得: x ? 又? t ? 2 ,? 0 ?
4 ?2 t

4 t

? 椭圆的焦点为 ( 3,0)
? 4 4 3 ? 3 ,即 t ? t 3

故当 t ?

4 3 时,MN 过椭圆的焦点。 3

题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E:
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的三点,其中点 a 2 b2

??? ? ??? ? A (2 3,0) 是椭圆的右顶点,直线 BC 过椭圆的中心 O,且 AC ?BC ? 0 ,
??? ? ???? BC ? 2 AC ,如图。

(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程; (II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q,使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 x ? 3 对称, 求直线 PQ 的斜率。
??? ? ???? 解:(I) ? BC ? 2 AC ,且 BC 过椭圆的中心 O

4

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???? ???? ? OC ? AC

??? ? ??? ? ? AC ?BC ? 0

? ?A C O ?

?
2

又? A (2 3,0)

? 点 C 的坐标为 ( 3, 3) 。

? A (2 3,0) 是椭圆的右顶点,

? a ? 2 3 ,则椭圆方程为:

x2 y2 ? ?1 12 b 2

将点 C ( 3, 3) 代入方程,得 b2 ? 4 ,
x2 y2 ?1 ? 椭圆 E 的方程为 ? 12 4

(II)? 直线 PC 与 QC 关于直线 x ? 3 对称,
? 设直线 PC 的斜率为 k , 则直线 QC 的斜率为

?k ,从

而直线 PC 的方程为:

y ? 3 ? k ( x ? 3) ,即 y ? kx ? 3(1 ? k ) ,



? ? y ? kx ? 3(1 ? k ) 消 y,整理得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 3k (1 ? k ) x ? 9k 2 ?18k ? 3 ? 0 ? 2 2 ? ? x ? 3 y ? 12 ? 0

? x ? 3 是方程的一个根,
? xP ? 3 ? 9k 2 ? 18k ? 3 9k 2 ? 18k ? 3 即 x ? P 1 ? 3k 2 3(1 ? 3k 2 )

同理可得:

xQ ?

9k 2 ? 18k ? 3 3(1 ? 3k 2 )
?12k 3(1 ? 3k 2 )

? yP ? yQ ? kxP ? 3(1 ? k ) ? kxQ ? 3(1 ? k ) = k ( xP ? xQ ) ? 2 3k =

xP ? xQ ?

?36k 9k 2 ? 18k ? 3 9k 2 ? 18k ? 3 = ? 2 2 3(1 ? 3k 2 ) 3(1 ? 3k ) 3(1 ? 3k )

5

【烟台芝罘区】明老师

? kPQ ?

yP ? yQ

1 1 ? 则直线 PQ 的斜率为定值 。 xP ? xQ 3 3

题型五:面积问题
6 x2 y2 , 短轴一个端点到 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 3 a b

例题 5、已知椭圆 C: 右焦点的距离为 3 。

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
3 , 2

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求△AOB 面积的最大值。

?c 6 , ? ? 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ?b ? 1 , ?a ? 3, ?
? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1。 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) 。 (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 。 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 。

由已知

m 1? k 2

?

3 3 ,得 m 2 ? ( k 2 ? 1) 。 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,
?6km 3(m 2 ? 1) x x ? , 。 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? x1 ? x2 ?

6

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? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? 2 ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
? 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
1 12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ? 4 当且仅当 9 k 2 ? 2 ,即 4 2 1 k 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k

? 3?

k??

3 时等号成立。当 k ? 0 时, AB ? 3 ,综上所述 AB max ? 2 。 3

1 3 3 ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 。 ? 2 2 2

问题六:范围问题(本质是函数问题)
x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点。 4

例 6、设 F1 、 F2 分别是椭圆

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 〃 PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐 角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 解: (Ⅰ)易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3
???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

?

??

2 3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8? 4 4

???? ???? ? 因为 x ?? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2
???? ???? ? 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1
(Ⅱ) 显然直线 x ? 0 不满足题设条件, 可设直线 l : y ? kx ? 2, A? x1, y2 ? , B ? x2 , y2 ? ,

7

【烟台芝罘区】明老师

? y ? kx ? 2 1? ? ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k 2 ? ? x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 2 4? ? ? ? y ?1 ?4

∴ x1 ? x2 ? ?

4k k2 ? 1 4

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

1? 2 ? 由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0 4? ?
3 3 或k ? ? 2 2

得: k ?

??? ? ??? ? 又 00 ? ?A0B ? 900 ? cos ?A0B ? 0 ? OA ? OB ? 0

??? ? ??? ? ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k 2 x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ?

3k 2 k2 ? 1 4

?

?k 2 ? 1 ?8k 2 ?4 ? 1 1 k2 ? k2 ? 4 4



3 k2 ? 1 4

?

?k 2 ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? 4 1 k2 ? 4

∴ ?2 ? k ? 2
3 3 ?k?2 或 2 2

故 ?2 ? k ? ?

题型七、存在性问题: (存在点,存在直线 y=kx+m,存在实数,存在图形:三 角形(等比、等腰、直角) ,四边形(矩形、菱形、正方形) ,圆) 例 7、设椭圆 E: 坐标原点,
x2 y2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为 a 2 b2

8

【烟台芝罘区】明老师

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交
??? ? ??? ? 点 A,B,且 OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不

存在说明理由。 解:(1)因为椭圆 E:
x2 y2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

?4 2 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y2 ? ? 2 8 ?1 所以 ? a b 解得 ? a 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? 8 4 6 1 1 1 b ? 4 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条
??? ? ??? ? 切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解
? y ? kx ? m ? 方程组 ? x 2 y 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,则 ? ? 1 ? 4 ?8

△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 , ? 2 2 m ? 8 ? xx ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

??? ? ??? ? 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0, 要使 OA ? OB , 需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,所以 k 2 ? 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,

3m 2 ? 8 ?0 8

9

【烟台芝罘区】明老师

? m2 ? 2 2 6 2 6 所以 ? 2 ,即 m ? 或m ? ? , 3 3 ?3m ? 8
因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为

r?

m 1? k 2

, r2 ?

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 ? ,r ? , 2 3m ? 8 3 3 1? 8

8 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? , 3

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 或m ? ? , 3 3
x2 y2 2 6 ? 1 的两个交点 与椭圆 ? 8 4 3

而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ?

为(

??? ? ??? ? 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB , 3 3 3 3

8 综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 3 ??? ? ??? ? 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

所以

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? ? [1 ? 4 ] 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1

① k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

10

【烟台芝罘区】明老师

1 ?4?8 k2 1 1 所以 0 ? ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k 32 32 1 所以 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4k 2 ?

所以

4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (
4 6 , 3

时 | AB |?

综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

11

【烟台芝罘区】明老师 【针对性基础训练】
1、 经过点 A(2,4)的直线 l,被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 14 ? 0 截得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程。

2、 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 和抛物线 y ? x 2 ? m 有四个不同的交点。 4 9

(1)试确定 m 的取值范围; (2)证明这四个交点都在同一圆上。

12

【烟台芝罘区】明老师 【针对性基础训练】答案
1 解:设圆心 ?? 2,3? ,半径 r = 4.,弦长为 2 3 ,弦心距 d ? 13 , 设 l : y ? 4 ? k ( x ? 2), 由d ?

k ? 1 ? 4 ? 2k k ?1
2

? 13 ,解得 k1 ?

2 3 , k2 ? ? , 3 2

故 2 x ? 3 y ? 8 ? 0,3x ? 2 y ? 14 ? 0 为所求。 2 解: y ? x 2 ? m 代入

x2 y2 ? ? 1, 4 9

得 4x 4 ? ?9 ? 8m?x 2 ? 4m 2 ? 36 ? 0 ①, 由椭圆与抛物线有四个交点知,关于 x 的方程有两相异正根。
2

?? ? 657 ? 144m ? 0 73 ? 解不等式组 ?9 ? 8m ? 0 得3 ? m ? , 16 ?4m 2 ? 36 ? 0 ?
由两曲线方程可得 4 x 2 ? 4 y 2 ? 5 y ? 5m ? 36 ? 0, 故四交点共圆。

13



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