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alhamdusana:山西大学附属中学高一3月月考数学试题

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山大附中 2017~2018 学年第二学期高一年级 3 月月考

数学试题

考试时间:90 分钟 一.选择题(每小题 3 分,共 36 分)

1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 35 ? 0} , B ? {y | y ? x ?1 ? 3},则 A? B ? ( )

A. ??7,3?

B. ??7,3?

C. ?3,5?

D. ?3,5?

2.已知 tan? ? 0 t,且 sin? ? cos? ? 0,那么角? 是 ( )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

3.已知

a

?

? ??

1 2

?? ??

1 3



b

?

? ??

3 5

??

1 3

??



c

?

log 3
2

3 2

,则 a,b, c 的大小关系为(



A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. a ? b ? c D. b ? a ? c

4.根据表格中的数据,可以判定方程 ex ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间为( )

A. ??1,0?

B. ?0,1?

C. ?1,2?

5.函数 y ? sinx 的部分图像大致为( ) 1? x

D. ?2,3?

A.

B.

C.

D.

6.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校 2017 年全年投入科研经

费1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12% ,则该高校全年投入的 科研经费开始超过 2000 万元的年份是( )

(参考数据: lg1.12 ? 0.05 , lg1.3 ? 0.11 lg2 ? 0.30 )

A. 2020 年 B. 2021年 C. 2022 年 D. 2023年 7.一个算法的程序框图如图所示,如果输出 y 的值是1,那么输入 x 的值是( )

A. ?2 或 2

B. ?2 或 2 C. ? 2 或 2

D. ? 2 或 2

8.供电部门对某社区 1000 位居民 2017 年 12 月份人均用电情况进行统计后,按人均用电量

分为 ?0,10? ,?10, 20? ,?20, 30? ,?30, 40? ,?40, 50? 五组,整

理得到如下的频率分布直方图,则下列说法错误的是 ()
A. 12 月份人均用电量人数最多的一组有 400 人 B. 12 月份人均用电量不低于 20 度的有 500人
C. 12 月份人均用电量为 25 度
? D. 在这1000位居民中任选1位协助收费,选到的居民用电量在 30, 40? —组的概率为 1
10
9.2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年,中国人民银行为此发行了以此为主题
的金银纪念币.如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币,直径 22mm ,面额100元.为了测算图
中军旗部分的面积,现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次,其中恰有 30 次落在军旗内,据此可估 计军旗的面积大约是( )

A. 726? mm2 5
C. 363? mm2 10

B. 363? mm2 5
D. 363? mm2 20

10.已知 ?

?

? ??

0,

3? 2

? ??



cos(3? 2

??)

?

3 ,则 tan(2018? ? ?) ? ( 2



A. 3

B. ? 3 C. 3 或 ? 3

D. 3 或 ? 3

3

3

11.《周易》历来被人们视为儒家经典之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又

朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用

近代术语解释为:把阳爻“ 八卦代表的数表示如下:

”当做数字“1”,把阴爻“

”当做数字“0”,则

卦名

符号

表示的二进制数

表示的十进制数



000

0



001

1



010

2



011

3

以此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“ ”表示的十进制数是( )

A. 18

B. 17

C. 16

D. 15

12 . 已知 函 数 f ? x? ?

x2 ? 2x, ?2 ? x ? 0
{ f ? x ?1? ?1,0 ? x ? 2

, 则 关 于 x 的 方 程 x ? f ? x? ? 1 在
5

???-

1 2

,3 2

? ??

上的根的个数为(



A. 3

B. 4

二.填空题(每小题 3 分,共 12 分)

C. 5

D. 6

13.《九章算术》是中国古代数学名著,其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与

现代数学的算法一致,根据这一算法解决下列问题:现有一扇形田,下周长(弧长)为 20 米, 径长(两段半径的和)为 24 米,则该扇形田的面积为______平方米.

14.某校高三年级有男生 220 人,学籍编号为 1, 2, , 220 ;女生 380 人,学籍编号为

221, 222, , 600 .为了解学生学习的心理状态,按学籍编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 75 人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样,抽到的学籍编号为 5 ),则女
生被抽取的人数为__________人.
15.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作 4 个社团中随机选择 2 个,则
数学建模社团被选中的概率为_________.
16.若函数 f ? x? 满足:对任意实数 x ,有 f ?2 ? x? ? f ?x? ? 0且 f ? x ? 2? ? f ? x? ? 0, 当 x??0,1? 时, f ? x? ? ?? x ?1?2 ,则 x??2017,2018? 时, f ? x? ? ________.
三、解答题(要求写出必要的文字说明和解答过程,共 52 分)
17.已知全集U ? R ,集合 A ? {x | 0 ? log3x ? 1} ,集合 B ? {x | 2m ? x ? 1? m} .

(1)当 m ? ?1时,求 A? B , ?CU A? ? B ;
(2)若 A? B ? A ,求实数 m 的取值范围.
18.计算:
(1)已知 tan? ? 2 ,求 sin? ?sin? ? cos? ? 的值;
(2)若 5a ? 4b ?10 ,求 2 ? 1 的值. ab
19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某 医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
该兴趣小组确定的研究方案是:先用 2、3、4、5 月的 4 组数据求线性回归方程,再用 1 月 和 6 月的 2 组数据进行检验.

(1)请根据 2、3、4、5 月的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y? ? bx ? a ;

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为

得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

? ? ?? (参考公式: b ?

n?
i ?1

xi ? x
? x n
i?1 i

?? yi ? ? x ?2

y

?

?

x n
i?1 i

yi

? nxy



x n 2
i?1 i

?

nx

2

a ? y ? bx )

(参考数据: 11?25?13?29 ?12?26 ?8?16 ?1092 ;

112 ?132 ?122 ? 82 ? 498 .)

20.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了10 个 轮胎,将每个轮胎的宽度(单位: mm )记录下来并绘制出如下的折线图:

(1)分别计算甲、乙两厂提供的10 个轮胎宽度的平均值;
(2)轮胎的宽度在?194,196? 内,则称这个轮胎是标准轮胎.
(i)若从甲乙提供的10 个轮胎中随机选取1个,求所选的轮胎是标准轮胎的概率 P ; (ii)试比较甲、乙两厂分别提供的10 个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差大小,根据两厂
的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?
21.设 a 为实数,函数 f ? x? ? x2 ? x ? a ?1, x ? R . (1)当 a ? 0 时,求 f (x) 在区间 ?0,2? 上的最大值和最小值;
(2)求函数 f (x) 的最小值.

山西大学附中高一年级 3 月模块诊断测试

数学参考答案

一. 选择题:(每题 3 分,共 36 分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

C

A

B

C

B

B

A

C

C

B

B

B

二. 填空题:(每题 3 分,共 12 分)

13..120

14.48

三. 解答题:(共 52 分) 17. (10 分)

15. 1 2

16.(x ? 2017 )2

解:(1)由题得集合 A={x|0< log3x <1}={x|1< x <3}

当 m=-1 时,B={x|-2<x<2},则 A∪B={x|-2<x<3}.

?CU A? ? B ?{x | x ?1或x ? 3}?{x | ?2 ? x ? 2} ? ??2,1?
(2)由 A∩B=A,得 A?B.

.解得 m≤-2, 18. (10 分)

即实数 m 的取值范围为(-∞,-2].

解:

(1)解:原式= sin2? ? sin?cos? sin2? ? cos2?

?

tan2? ? tan? tan2? ?1

?

6 5

(2)解:根据题设,得 a ? log510, b ? log410

所以, 2 ? 1 ? 2lg5 ? lg4 ? lg100 ? 2 ab
19. (10 分)

解:(1)由数据求得 x ? 11, y ? 24由公式求得 b ? 18 7

再由 a ? y ? bx ? ? 30 . 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y? ? 18 x ? 30

7

77

(2)当 x ?10 时, y? ? 150 , 150 ? 22 ? 2 ;同样,当 x ? 6 时, y? ? 78 , 78 ?12 ? 2

7

7

77

所以,该小组所得线性回归方程是理想的.

20.(10 分)

解: (1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为

x甲 ?

195 ?194 ?196 ?193 ?194 ?197 ?196 ?195 ?193 ?197 10

?195?mm? .

乙厂这批轮胎宽度的平均值为

x乙 ?

195 ?196 ?193 ?192 ?195 ?194 ?195 ?192 ?195 ?193 10

?194?mm? .

(2)甲厂这批轮胎宽度都在?194,196? 内的数据为195, 194, 196, 194, 196, 195,

(i) P ? 6 ? 3 . 10 5
(ii)甲厂标准轮胎的平均数为195,方差为 2 . 3
乙厂这批轮胎宽度都在?194,196? 内的数据为195, 196, 195, 194, 195, 195,

平均数为195,方差为 1 . 3
由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙的方差更小,所以乙厂的轮胎相对更好.

21.(12 分)

解:(I)当 a ? 0 , x ??0, 2?时,函数 f ? x? ? x2 ? x ?1,

因为 f ? x? 的图象抛物线开口向上,对称轴为 x ? 1 ,
2

所以,当 x ? 1 时, f ? x? 值最小,最小值为 3 ;当 x ? 2 时, f ? x? 值最大,最大值为

2

4

3.

(II)①当

x

?

a 时,函数

f

?x?

?

x2

?

x

?

a

?1?

? ??

x

?

1 2

?2 ??

?

a

?

3 4

.

若 a ? ? 1 ,则 f ? x? 在 ???, a?上单调递减,在 ???, a?上的最小值为 f ?a? ? a2 ?1;
2



a

?

?

1 2

,则函数

f

? x? 在 ???, a?上的最小值为

f

? ??

?

1 2

? ??

?

3 4

?

a



②当 x ? a 时,

f

?x?

?

x2

?

x

?

a

?1?

? ??

x

?

1 2

?2 ??

?

a

?

3 4

.

若a

?

1 2

,则

f

? x? 在?a, ??? 上的最小值为

f

? ??

1 2

? ??

?

3 4

?

a



若 a ? 1 ,则 f ? x? 在?a, ??? 上单调递增, f ?x? ? f ?a? ? a2 ?1.
2

所以,当 a ? ? 1 时, 2

a2

?1?

? ??

a

?

3 4

? ??

?

? ??

a

?

1 2

?2 ??

?

0



f ? x? 的最小值为 3 ? a .
4

当 a ? 1 时, 2

a2

?1?

? ??

3 4

?

a

? ??

?

? ??

a

?

1 2

?2 ??

?

0



f ? x? 的最小值为 3 ? a .
4

当 ? 1 ? a ? 1 时, f ?x? 的最小值为 3 ? a 与 3 ? a 中小者.所以,当 ? 1 ? a ? 0 时,

2

2

4

4

2

f ? x? 的最小值为 3 ? a ;当 0 ? a ? 1 时, f ? x? 的最小值为 3 ? a .

4

2

4

综上,当 a ? 0 时, f ? x? 的最小值为 3 ? a ;当 a ? 0 时, f ? x? 的最小值为 3 ? a

4

4


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