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数学 必修2 新课标人教A版 第一章 1.3 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积[配套课件]_图文

1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

【学习目标】 1.能根据柱、锥、台的结构特征,并结合它们的展开图, 推导其表面积的计算公式,从度量的角度认识几何体. 2.能用类比的方法处理问题,并认识到事物之间可以相互 转化.

表面积公式
图形
多面体

圆柱

旋 转

圆锥



圆台

表面积公式
多面体的表面积就是___各__个__面___ 的面积的 和,也就是__展__开__图____的面积
底面积:S底=__π_r_2 ____ 侧面积:S侧=__2_π_r_l ___ 表面积:S=_2_π_r_(_r_+__l)____
底面积:S底=__π_r_2____ 侧面积:S侧=__π_r_l____ 表面积:S=__π_r_(_r_+__l)____
上底面面积:S上底=π_r_′_2 ____ 下底面面积:S下底=_π_r_2 ____ 侧面积:S侧=__π_l_(r_′_+__r)______ 表面积:S=_π_(_r_′2_+__r_2+__r_′_l+__r_l_) ______

注意: (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各__面__面__积__之__和___. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇 环形,它们的表面积等于_____侧__面__积__与__底__面__面__积__之__和_______.

练习 1:棱长为 1 cm 的小正方体组成如图 1-3-1 的几何体, 那么这个几何体的表面积是___3_6____ cm2.
图 1-3-1

练习 2:侧棱长均为 5 cm、底面边长均为 6 cm 的三棱锥的 表面积为__3_6_+__9____3__ cm2.
解析:如图D11,过S作SD⊥BC,垂足为D, SD= SB2-BD2= 52-32=4, ∴S表面积=3×12×6×4+ 43×62=36+9 3.
图 D11

练习 3:已知正四棱台的上底面的边长为 4 cm,下底面的

边 长 为 8 cm , 侧 棱 长 为 8 cm , 则 此 四 棱 台 的 表 面 积 为

_8_0_+__4_8__1_5_.

解析:如图D12,在正四棱台ABCD

-A1B1C1D1中,CE=

1 2

×(8-4)=2,C1E= 82-22=2 15,∴S=42+82+4×12×(8

+4)×2 15=80+48 15.

图 D12

练习 4:若圆台的上、下底面半径分别是 1 和 3,它的侧面

积是两底面积和的 2 倍,则圆台的母线长为( C )

A.2

B.2.5

C.5

D.10

解析:设母线长为 l,由π(1+3)l=2π(12+32)得 l=5.

【问题探究】 简单组合体分割成几个几何体,其表面积不变吗? 答案:表面积变大了.

题型 1 最基本几何体的运算 【例 1】 如图 1-3-2,已知四边形 ABCD 为直角梯形,AB ⊥AD,DC∥AB,且边 AB,AD,DC 的长分别为 7 cm,4 cm, 4 cm,分别以 AB,AD,DC 三边所在直线为旋转轴,求所得几 何体的表面积.
图 1-3-2

解:作 CE⊥AB 于点 E,
则BC= 42+?7-4?2= 25=5.
(1)以 AB 所在直线为旋转轴(此时旋转得到一圆锥和一圆柱 的组合体):
S1=8π×4+π×4×5+π×42=68π. (2)以 AD 所在直线为旋转轴: S2=π×42+π×72+π×(4+7)×5=120π. (3)以 DC 所在直线为旋转轴: S3=5π×4+2π×4×7+π×42=92π.
关键是能想象出旋转后得到的是什么组合体, 然后再利用空间多面体表面积的求法解答.

【变式与拓展】 1.已知△ABC 三边 AB,AC,BC 长分别为 3 cm,4 cm, 5 cm,分别以三边所在直线为旋转轴,求所得几何体的表面积. 解:以 AB 所在直线为旋转轴:S=4π(4+5)=36π, 以 AC 所在直线为旋转轴:S=3π(5+3)=24π,
以BC所在直线为旋转轴:此时所得几何体为两个圆锥的 组合体,则BC边上的高AD=3×5 4=152,
S=π×152×4+π×152×3=854π.

题型 2 由三视图求几何体表面积 【例 2】 (2013 年重庆)某几何体的三视图如图 1-3-3,则该 几何体的表面积为( )

A.180

B.200

图 1-3-3 C.220

D.240

解析:几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2, 下底为8,高为4的等腰梯形,所在底面面积为 1 ×(2+8)×
2 4×2=40.四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.所以四 棱柱的表面积为S=40+200=240.故选D.
答案:D
利用三视图求几何体表面积的关键,是正确 理解和认识三视图中所给量与几何体中量之间的对应关系.

【变式与拓展】 2.(2013 年陕西)某几何体的三视图如图 1-3-4, 则其表面积 为___3_π____.
图 1-3-4 解析:综合三视图可知,立体图是一个半径 r=1 的半个球 体.其表面积=12·4πr2+πr2=3π.

题型 3 几何体表面积的最值问题 【例 3】 如图 1-3-5,圆台上、下底面半径分别为 5 cm, 10 cm,母线长为 20 cm,从母线 AB 的中点 M 拉一条细绳,围 绕圆台侧面转至下底面的点 B,求 B,M 间细绳的最短长度.
图 1-3-5

解:如图 1-3-6,沿 BA 所在母线将其展开,易知最短长度 即为线段 B′,M 的长度.
图 1-3-6 设圆锥顶点为 ,△SBC 是其轴截面,则 150=SAS+A20,∴SA=20 cm.

又∠BSB′=2SπA·5=1200π=π2, ∴△MSB′是直角三角形. MB′= SB′2+SM2= ?20+20?2+?20+10?2 =50(cm). . 即M,B间细绳的最短长度为50 cm.
求旋转体或多面体侧面上两点间的最短距 离的思路:将其转化为平面图形,在平面图形上求出的两点间 线段的长度就是两点间的最短距离.

【变式与拓展】

3.圆锥底面半径为 r,母线长是底面半径的 3 倍,在底面 圆周上有一点 A,求一个动点 P 自点 A 出发在侧面上绕一周到

A 点的最短路程.

解:如图D13,扇形SAA′为圆锥的侧面展开图,AA′即

为所求的最短路程,由已知SA=SA′=3r,θ=

r SA

·360°=

120°,在等腰三角形SAA′中可求得AA′=3 3r.

图 D13

【例 4】 用一张长为 8 cm,宽为 4 cm 的矩形硬纸卷成圆 柱的侧面,求圆柱的轴截面的面积和底面积.

易错分析:将矩形硬纸卷成圆柱有两种不同卷法,很容易

丢解. 解:设卷成的圆柱的母线长(即高)为h, 底面半径为r,则

??2πr=8, ???h=4

或?????2hπ=r=8. 4,

即???r=4π, ??h=4

或???r=2π, ??h=8.

∴S=h·2r=3π2(cm2), S底=πr2=π×???4π???2=1π6(cm2), 或S底=πr2=π×???2π???2=4π(cm2). ∴圆柱的轴截面的面积为3π2 cm2, 底面积为1π6 cm2或4π cm2.

[方法·规律·小结] 1.求台体的侧面积、底面积时,将台体补成锥体,会大大 简化运算过程. 2.求旋转体的表面积,要弄清侧面展开图的形状及侧面展 开图中各线段与原旋转体的关系是掌握它们的侧面积公式及解 有关问题的关键.



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