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山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中2014届高三第四次四校联考数学理试题Word版含答案

2014 届高三年级第三次四校联考
数学试题(理科)
命题:临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中 【考试时间 120 分钟,满分 150 分】

第Ⅰ卷(选择题 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合

题目要求的一项.

1.设 U=R,A={x?y=x x},B={y?y=-x2},则 A∩(CUB)=( )

A.?

B.R

C. {x?x>0}

2.设复数 z ? 1? i ( i 是虚数单位),则 2 ? z2 ? ( ) z

A. ?1? i

B. ?1? i

C.1? i

D.{0}
D.1 ? i

3.下图是一个体积为 10 的空间几何体的三视图,则图中 x 的值为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

4.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为( )

A.3

B.-6

C.10

D.-15

x
1
3
正视图

2
侧视图

开始 i=1,S=0

i<6? 否






i 是奇数?

输出 S

S ? S ? i2 S ? S ? i2 结束

俯视图

i=i+1

?x ? 2

5.实数

x,

y

满足

? ?

x

?

2

y

?

4

?

0

,若

z

?

kx

?

y

的最大值为

13,则实数

k

?

(

).

??2x ? y ? 4 ? 0

A. 2

B. 13

C. 9

D. 5

2

4

6.等比数列{an}满足 an ? 0, n ? N? ,且 a3 a2n?3 ? 22n (n ? 2) ,则当 n ? 1时,

log2 a1 ? log2 a2 ? ??? ? log2 a2n?1 ? ( )

A. n(2n ?1)

B . (n ?1)2

C. n2

D. (n ?1)2

7.已知函数 f(x)=sin(ω x+?)(ω >0, ???<?2)的部分图象如图所示,则 y=f(x+?6)取得最小值时

x 的集合为( ) A. {x?x= k???6, k?Z }

y

1

B. {x?x= k???3, k?Z }

o

? 7?

3 12

x

C. {x?x=2k?-?6, k?Z }

D. {x?x=2k???3, k?Z }

8.右图可能是下列哪个函数的图象( )

y

A.y=2x-x2-1 C.y=(x2-2x)ex

2xsinx B. y = 4x+1 D. y=lnxx

o

x

9.向边长分别为 5,6, 13 的三角形区域内随机投一点 M ,则该点 M 与三角形三个顶点距离

都大于 1 的概率为( )

A.1 ? ? 18

B. 1 ? ? 12

C. 1? ? 9

D. 1 ? ? 4

10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架歼-15 飞机准备着舰.如果甲、

乙两机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )

A.12 种

B.16 种

C.24 种

D. 36 种

11. 三棱锥 P—ABC 的四个顶点均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,PA⊥平面 ABC,

PA=2AB=6,则该球的体积为( )

A.16 3π

B.32 3π

C.48π

D.64 3π

12.已知双曲线 x2 a2

y2 ?
b2

?1

?a ? 0, b ? 0? ,过其左焦点 F 作 x 轴的垂线,交双曲线于 A,

B

两点,若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( )

A. ?2, ???

B. ?1, 2?

C.

? ??

3 2

,

??

? ??

D.

???1,

3 2

? ??

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 如果(2x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,那么 a1+a2+…+a6 的值等于

.

14. 圆 O 为△ABC 的外接圆,半径为 2,若→AB+→AC=2A→O,且|O→A|=|A→C|,则向量→BA在向量B→C方

向上的投影为

.

15.已知

f

(x)

?

??e? x ?

?? x

(x

?

0)
,

g(x)

?

f

(x) ?

1

x ? b 有且仅有一个零点时,则 b 的取值范围

(x ? 0)

2



.

16.若数列{an}与{bn}满足 bn?1an

? bnan?1

?

(?1)n

? 1, bn

?

3 ? (?1)n?1 2

, n ? N? ,且 a1

?

2 ,设

数列{an}的前 n 项和为 Sn ,则 S63 = .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. cosA= 2 ,sinB= 5 cosC.
3
(1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)学校设计了一个实验学科的考查方案:考生从 6 道备选题中一次随

机抽取 3 道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:在抽取的 3 道题中,至少正

确完成其中 2 道题便可通过考查.已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能
完成;考生乙每题正确完成的概率都为 2 ,且每题正确完成与否互不影响. 3
(1)求考生甲正确完成题目个数 ξ 的分布列和数学期望;

(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在几何体 ABCDEF 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,

F M

E

D

C

四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1.

(1)求证:平面 FBC⊥平面 ACFE;

(2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成

二面角的平面角为 θ (θ ≤ 90°),试求 cosθ 的取值范围.

20.

(本小题满分 12

分)抛物线 C1:

y2

?

4x 的焦点与椭圆

C2:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的一个

焦点相同.设椭圆的右顶点为 A,C1, C2 在第一象限的交点为 B,O 为坐标原点,且 ?OAB 的面

积为 6 a . 3
(1)求椭圆 C2 的标准方程;
(2)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C,D 两点,连接 OC,OD 分别交 C2 于 E,F 两点,记 ?OEF ,?OCD 的面积分别为 S1 , S2 .问是否存在上述直线 l 使得 S2 ? 3S1 ,若存在,求直线 l 的方程;若不存
在,请说明理由.

ex -1 21. (本小题满分 12 分)设函数 f (x) =
x
(1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性;

(2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 f(x)-1<a 成立.

请考生在 22、23、24 中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第

一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B, C 两点,且 AB ? 1 AC ,作直线 AF 3
与圆 E 相切于点 F ,连结 EF 交 BC 于点 D ,已知圆 E 的半径为 2, ?EBC ? 300
(1)求 AF 的长;

(2)求证: AD ? 3ED .

A B
F ED
C

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系

xoy

中,曲线

C1 的参数方程为

?? x ? ??

? y

?

3 cos? sin ?

(?

为参数),以原点

O

为极点,

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2

的极坐标方程为

?

sin(?

?

? 4

)

?

4

2

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程;

(2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标.

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f ?x? ? 2x ? 1 ? x ? 3 (1)求函数 y ? f ?x?的最小值;
(2)若 f (x) ? ax ? a ? 7 恒成立,求实数 a 的取值范围. 22

一、 二、

选择题 12 CD 填空题 13. 0

2014 届高三年级第三次四校联考 数学(理科)答案
3456789 ADCABCA
14. 3

10 11 12 DBA

15.b≥1 或 b=12或 b≤0

16. 560

三、解答题

17.解:(1)∵cosA= 2 ∴sinA= 1? cos2 A ? 5 ,……………2 分

3

3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA

= 5 cosC+ 2 sinC.

3

3

整理得:tanC= 5 .

……………5 分 ……………6 分

(2) 由(1)知 sinC= 5 ,cosC= 1

6

6

由正弦定理知: a ? c ,故 c ? 3 .
sin A sin C

……………9 分

又∵sinB= 5 cosC= 5 ? 1 6

……………10 分

∴ ? ABC 的面积为:S= 1 ac sin B = 5 .

2

2

……………12 分

18.解:(1)设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为? ,则? 可能取值为 1,2,3

P(?

? 1) ?

C

41C

2 2

?

1

C63

5

P(?

? 2) ?

C

2 4

C 21

?

3

C63

5

所以,考生甲正确完成题目数的分布列为

?

1

2

3

P(?

? 3) ?

C

43C

0 2

?1

C63

5

……………3 分

P

1

3

1

5

5

5

所以 E?

? 1? 1 ? 2? 3 ? 3? 1 555

?2

(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为?

……………5 分

因为?~B(3,

2) ,其分布列为: 3

P(?

?

k)

?

C3k

(2)k 3

( 1 ) 3?k 3

,k

?

0,1,2,3

所以 E?

? 3? 2 3

?

2

……………6 分

又因为 D?

? (1 ? 2)2

? 1 ? (2 ? 2)2 ? 3 ? (3 ? 2)2 ? 1

5

5

5

?

2 5

D?

?

3?

2?1 33

?

2 3

……………8 分

所以 D? ? D?

又因为 P(? ? 2) ? 3 ? 1 ? 0.8 , P(? ? 2) ? 12 ? 8 ? 0.74 ……………10 分

55

27 27

所以 P(? ? 2) ? P(? ? 2)

①从做对题数的数学期望考查,两人水平相当;从做对题数的方差考查,甲较稳

定;

②从至少完成 2 题的概率考查,甲获得通过的可能性大,

因此,可以判断甲的实验操作能力强.

……………12 分

19.(1)证明:在四边形 ABCD 中,∵AB∥CD,

AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2,

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.

∵平面 ACFE⊥平面 ABCD,平面 ACFE∩平面 ABCD=AC,BC? 平面 ABCD,∴BC⊥平面

ACFE.

又 因 为 BC? 平 面 FBC , 所 以 平 面 ACFE⊥ 平 面

FBC,

.............5 分

(2)解:由(1)可建立分别以直线 CA,CB,CF 为 x 轴,y 轴,z 轴的如图所示的空

间直角坐标系,令 FM=λ (0≤λ ≤ 3 ),则 C(0,0,0),A( 3 ,0,0),B(0,1, 0),M(λ ,0,1), ∴A→B=(- 3 ,1,0),B→M=(λ ,-1,1), 设 n1=(x,y,z) 为 平 面 MAB 的 一 个 法 向 量 , 由 ?????nn11··A→B→BM==00 , 得 ??? 3x ? y ? 0, ? ???x ? y ? z ? 0,

取 x=1,则 n1=(1, 3 , 3 ? ? ),

∵n2=(1,0,0)是平面 FCB 的一个法向量,

∴cos?=||nn1|1··n|n2|2| =

1 =
1+3+( 3-?)2?1

(

1 ...........10 分
3-?)2+4

∵0≤λ ≤ 3 ,∴当 λ =0 时,cosθ 有最小值 7 , 7
当 λ = 3 时,cosθ 有最大值 1 . 2
∴cosθ ∈[ 7 , 1 ]..............12 分 72
20.解:(1)∵ y2 ? 4x ∴焦点 F ?1, 0? ∴ c ? 1即 a2 ? 1? b2 ……………1 分

又∵

S?OAB

?

1 2

?

OA

?

yB

?

6a 3

∴ yB ?

6 3

……………2 分

代入抛物线方程得 B( 2 , 2 6 ) .又 B 点在椭圆上得 b2 ? 3 , a2 ? 4 33

∴椭圆 C2 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1. 43

……………4 分

(2)设直线

l

的方程为

x

?

my

?

2

,由

?x ? ?

? my ? 2 y2 ? 4x



y2

?

4my

?

8

?

0

设 C(x1, y1), D(x2 , y2 ) ,所以 y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?8 ……………6 分

又因为 S2

?

1 2

OC

OD sin ?COD

?

OC

OD

?

y1

?

y2

S1 1 OE OF sin ?EOF OE OF yE yF

2

直线 OC 的斜率为 y1 ? 4 ,故直线 OC 的方程为 x ? y1 y ,

x1 y1

4



? ?? ? ?

x

x
2

? ?

y1 y 4 y2 ?

得 1

yE2

?

3? 64 ,同理 3y12 ? 64

yF2

?

3? 64 3y22 ? 64

?? 4 3

所以

yE2 yF2

?

(

3

3? y12

64 ? 64

)

?

(

3

3? y22

64 ? 64

)

? 64 ? 32 121? 48m2

则 ( S2 )2 ? y12 ? y22 ? 121? 48m2 ,

S1

yE2 ? yF2

32

……………10 分

所以 121? 48m2 ? 9 , 32

所以 48m2 ? ?40 ,故不存在直线 l 使得 S2 ? 3S1 ……………12 分

xex-(ex-1) (x-1)ex+1

21.解:(1) 由题意知:,f?(x)= x2 =

x2

,

……………2 分

令 h(x)=(x-1)ex+1,则 h?(x)=x ex>0, ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数, 又 h(0)=0,∴h(x)>0,则 f?(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.

……………3 分 ……………5 分

(2)

exf(x)-1=

x x

-1,不等式 f(x)-1<a 可化为 ex-(a+1)x-1<0,

令 G(x)= ex-(a+1)x-1, G?(x)=ex-(a+1), 由 G?(x)=0 得:x=ln(a+1), 当 0<x< (ln(a+1)时,G?(x)<0,

……………7 分

当 x>ln(a+1)时,G?(x)>0, ∴当 x=ln(a+1)时,G(x)min=a-(a+1)ln(a+1),

……………9 分

a

11

a

令?(a)=a+1- ln(a+1),(a≥0) ??(a)=(a+1)2-a+1=-(a+1)2<0,

又?(0)=0, ∴当 a>0 时,?(a)< ?(0)=0, 即当 x=ln(a+1)时,G(x)min=a-(a+1)ln(a+1)<0. 故存在正数 x=ln(a+1),使不等式 F(x)-1<a 成立. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(1)延长 BE 交圆 E 于点 M ,连结 CM ,

……………11 分 ……………12 分
A

则 ?BCM ? 900 ,

又 BM ? 2BE ? 4, ?EBC ? 300 ,所以 BC ? 2 3 ,

又 AB ? 1 AC, 可知 AB ? 1 BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3

3

2

根据切割线定理得 AF 2 ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,即 AF ? 3

B E DF
C

证明:过 E 作 EH ? BC 于 H ,则 ?EDH~?ADF ,

从而有 ED ? EH ,又由题意知 CH ? 1 BC ?

AD AF

2

所以 EH ? 1,因此 ED ? 1 ,即 AD ? 3ED AD 3

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲

3,EB ? 2

解:(1)由曲线

C1



?x ? ?

? y

?

3 cos? sin ?



?? ?

x 3

? cos?

?? y ? sin?

两式两边平方相加得: ( x )2 ? y 2 ? 1 3

即曲线 C1 的普通方程为:

x2 3

?

y2

?1

由曲线 C2



?

sin(?

?

? 4

)

?

4

2 得:

2 ?(sin? ? cos? ) ? 4 2

2

即 ? sin? ? ? cos? ? 8 ,所以 x ? y ? 8 ? 0

即曲线 C2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 (2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点,椭圆上的点 P( 3 cos? ,sin? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

3 cos?

? sin?

?8

?

2 sin(?

? ? ) ?8 3

2

2

所以当 sin(? ? ? ) ? 1 时, d 的最小值为 3 2 ,此时点 P 的坐标为 ( 3 , 1)

3

22

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

答案:(1)由题意得

f

?x?

?

? ?

? x ? 4(x

???3x ? ?

? 2?? ? 1 ?2
x ? 4?x

? ? ?

? 1) 2
x ? 3?? ?
3?

??

所以 f(x)在 ?? ? ?,? 1 ?? 上单调递减,在 ?? ? 1 ,???? 上单调递增.

?

2?

?2 ?

所以当 x ? ? 1 时 y ? f ?x?取得最小值
2

此时

f

?x?min

?

?7 2

(2)由(1)及 g(x) ? ax ? a ? 7 可知 y ? g?x?恒过点过 ?? ? 1 ,? 7 ??

22

? 2 2?

由图象可知 ?1 ? a ? 1



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