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长郡中学2016届高三理科数学周考试卷8(教师版)


长郡中学 2016 届高三周考试卷 8
一、选择题(本题共 12 个小题,每个小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. i 为虚数单位,若 ( 3 ? i) z ? 3 ? i ,则 | z |? ( A.1 B. 2 C. 3 ) D.2

【答案】A 可知 z ?

1 3 3 ? i 3 ? 1 ? 2 3i 1 3 ? ? 1 ,故选 A. ? ? ? i ,所以 z ? 4 4 4 2 2 3 ?i
) B. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1的充分条件 D. a ? b ? 0 的充要条件是
x

2.下列命题中,真命题是( A.存在 x ? R, e x ? 0 C.任意 x ? R, 2x ? x2

a ? ?1 b

【答案】B【解析】? y ? e 的值域为 (0,??) ,故 A 错误;若 a ? 1, b ? 1 ,则 ab ? 1 “为真命题,故 B 正
x 2 确;当 x ? 2 时, 2 ? x ,故 C 错误;因为 a ? 0, b ? 0 满足 a ? b ? 0 ,但不满足

a ? ?1 ,故 D 错误; b


故选 B.
??? ? ??? ? 3.在△ABC 中, AB ? AC ? AB ? AC ,AB =2, AC=1,E, F 为 BC 的三等分点,则 AE ? AF =(

A.

8 9

B.

10 9

C.

25 9

D.

26 9

【答案】B

AC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐 【解析】由 AB ? AC ? AB ? AC 知 AB ? AC ,以 AB,
标 系,则 A ? 0, 0? , B ? 2, 0? , C ? 01 , ? , 于是 E ? , ? , F ? , ? , AE ? ? , ? , AF ? ? , ? , 据此 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? 4 1? ? 3 3?

?2 2? ?3 3?

??? ? ? 4 1 ? ??? ? ?2 2? ? 3 3? ?3 3?

??? ? ??? ? 8 2 10 AE ? AF ? ? ? ,故选 B. 9 9 9
4. 已知等比数列 {an } 的各项均为正数且公比大于 1,前 n 项积为 Tn ,且 a2a4 ?a3 ,则使得 Tn ? 1 的 n 的 最小值为( C ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 5.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸 爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种数为( ) A.48 种 B.36 种 C.24 种 D.12 种

试卷第 1 页,总 12 页

2 2 【答案】C【解析】爸爸排法为 A2 种,两个小孩排在一起故看成一体有 A2 种 3 2 2 3 排法. 妈妈和孩子共有 A3 种排法, ∴排法种数共有 A2 =24 种. 故选 C. A2 A3

6.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】 试题分析: n ? 5 时,不是偶数,所以 n ? 3 ? 5 ? 1 ? 16 , k ? 2 ,回到循环,

16 ? 8 , k ? 3 ,回到循环, n ? 8 是偶数,所以 2 8 4 n ? ? 4 , k ? 4 ,回到循环, n ? 4 是偶数,所以 n ? ? 2 , k ? 5 ,回 2 2 2 到循环, n ? 2 是偶数,所以 n ? ? 1 , k ? 5 ,此时 n ? 1 ,输出结果,所以输出 k 的值是 5,故选 B. 2

n ? 16 是偶数,所以 n ?

7. 已知 0<a<1,0<b<1,则函数 f(x)=x2logab+2xlogba+8 的图象恒在 x 轴上方的概率为( 1 3 1 2 A. B. C. D. 4 4 3 3 【解析】选 D. 因为函数图象恒在 x 轴上方,则 4log 2 b a - 32logab<0 ,∵0<a<1 , 0<b<1 , b< a .则建立关于 a,b 的直角 8 2 坐标系,画出关于 a 和 b 的平面区域,如图.可知此题求解的概率类型为关于面 积的几何概型,由图可知基本事件空间所对应的几何度量 S(Ω)=1,满足图象在 x 1 2 轴上方的事件 A 所对应的几何度量 S(A)=?1a2da= . 3 ? ∴logba>0,logab>0,所以
0

)

1 1 log3 ab> ,∴logab> ,即

1 2

8. 已知 F 是抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点, 且 A 的坐标为 ? 0, ?1? , 则 P 为抛物线上的动点,

PF PA

的最小值是 (



A.

1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

【答案】C 试题分析:抛物线的准线为 l : x ? ?1 ,过点 P 作 PD ? l 于 D ,则 PD ? PF ,且点 A 在准线 上,如下图所示,所以
PF PA ? PD PA ? sin ?PAD ,当直线 PA 与抛物

线相切时,

PF PA

?

PD PA

? sin ?PAD 有最小值, 由y?

x2 x 得 y? ? , 2 4

x0 2 ? (? 1) x x ? 0 ,解得 x0 ? ?2 ,此时 设切点为 ( x0 , 0 ) ,则 4 x0 2 4
2

?PAD ?

?

? PF ? ? 2 ,所以 ? ,故选 C. ? sin ? ? ? ? 4 2 4 ? PA ?min
第 2 页 共 12 页

考点:1.抛物线的定义与几何性质;2.导数的几何意义. 9.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 7

1

1 2



1 B. 7 3

2 C. 7 3

D. 8
正视图 侧视图

【答案】A 试题分析:由三视图可知几何体实为一个正方体经过两次斜切所形成的,两 次被切掉的几何体均为三棱锥,由图可知以下数据:正方体棱长为 2 ,两个三

2 1 俯视图

1与1,1,几何体 棱锥的高都为 2 ,底面积都为直角三角形,两直角边分别为 2,
1 1 1 1 3 的体积 V ? 2 ? ? ? 2 ? 1? 2 ? ? ? 1? 1? 2 ? 7 ,故本题正确选项为 A.. 3 2 3 2
10.定义

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,?, pn 的“均倒数” ,若已知数列 ?an ? 的前 n 项的“均倒数” p1 ? p2 ? ? ? pn




a 1 1 1 1 ,又 bn ? n ,则 ? ??? ?( 5 b1b2 b2b3 b10b11 5n
8 17
B.

A.

9 19

C.

10 21

D.

11 23

2 【答案】C 试题分析:由定义可知 a1 ? a2 ? ......? an ? 5n2 , a1 ? a2 ? ......? an ? an?1 ? ( , 5 n ?1 )

可求得 an?1 ? 10n ? 5 ,所以 an ? 10n ? 5 , 则 bn ? 2n ? 1 ,又

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ,所以 ? ??? ? bnbn?1 2 bn bn ?1 b1b2 b2b3 b10b11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ,所以本题正确选项为 C. ( ? ? ? ......? ? ? ) ? ( ? ) ? 2 b1 b2 b2 b10 b10 b11 2 b1 b11 21
考点:求数列的通项以及用拆项法求前 n 项和. 11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ? 4?= 1 , f ? ? x ? 为 f ( x) 的导函数,已知函数

y=f ? ? x ? 的图象如图所示.若两正数 a, b 满足 f (2a+b) ? 1 ,则
围是( )

b?2 的取值范 a?2

A. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

B. ? ??, ? ? (3,+?)

? ?

1? 2?

C. (??, ?3)

D. ? ,3 ?

?1 ?2

? ?

【答案】D 试题分析:由导数的图像可知,当 x ? ?? ?,0? 时,函数是单调递减函数,当 x ? ?0,??? 时,函 数是单调递增函数,所以当 a ? 0, b ? 0 时,只需满足 2a ? b ? 4 时,求

b?2 的取值范围,看成线性规划 a?2

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?a ? 0 b?2 ? 问题,即 ?b ? 0 时,求 z ? 的取值范围,如图,可行域为如图 a ? 2 ?2 a ? b ? 4 ?
阴影部分,目标函数表示可行域内的点和 D?? 2, ? 2? 连线的斜率的取值 范 围 , 可 知

B?2, 0? , C ?0, 4? , 斜 率 的 最 小 值 是

k BD ?

0 ? ?? 2? 1 4 ? ?? 2? ?1 ? ? , k CD ? ? 3 ,所以斜率的取值范围是 ? , 3? , 2 ? ?? 2? 2 0 ? ?? 2? ?2 ?

故选 D. 12. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 则 a 的最小值为 ( A. ? e
3

1 2 且对于 b 的所有可能取值, f ( x) 的极小值恒大于 0 , x ? bx 存在极小值, 2
2

) B. ? e C. ? e D. ?

1 e

12. A【解析】 f ?( x) ?

a ? x 2 ? bx ? a ? x?b ? x x

因为 f ( x) 存在极小值,所以方程 ? x 2 ? bx ? a ? 0 有两个不等的正根

? x1 +x2 ? b ? 0 ? 故 ? x1 ? x2 ? ? a ? 0 ? b ? 2 ? a ? 2 ? ? ? b ? 4a ? 0
由 f ?( x) ? 0 得 x1 ?

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a , x2 ? ,分析易得 f ( x) 的极小值点为 x1 , 2 2

b ? b 2 ? 4a ?2a ? ? (0, ? a ) 因为 b ? 2 ?a ,所以 x1 ? 2 b ? b 2 ? 4a
f ( x)极小值 =f ( x1 ) ? a ln x1 ?
? a ln x1 ?
设 g ( x) ? a ln x ? 因为 g ?( x) ?

1 2 x1 ? bx1 2

1 2 1 x1 ? x12 ? a ? a ln x1 ? x12 ? a 2 2

1 2 x ? a(0 ? x ? ?a ) ,则 f ( x) 的极小值恒大于 0 等价于 g ( x) 恒大于 0 2

a a ? x2 ?x? ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ?a ) 单调递减 x x
3 a ? 0 ,解得 a ? ?e3 ,故 amin ? ?e3 ,故选 A. 2

故 g ( x) ? g ( ?a ) ? a ln ? a ?

第 4 页 共 12 页

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 在 ?ABC 中, BC ? 2 5, AC ? 2, ?ABC 的面积为 4,则 AB 的长为_________. 14.已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 的方程 ? ? 1 , C1 与 C2 的离心率之 C 2 a 2 b2 a 2 b2
_. x ? 2 y ? 0

积为

3 ,则 C2 的渐近线方程为 2

15.己知曲线 的取值范围为

f ( x) ?

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数 a 3


【答案】 (3, ) 试 题 分 析 : 由 题 意 得 , f ? x? ?

7 2

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 的 导 数 为 f ? ? x ? ? 2x2 ? 2x ? a , 由 题 意 可 得 3

2 x 2 ? 2 x ? a ? 3 ,即 2 x 2 ? 2 x ? a ? 3 ? 0 有两个不等的正根,则 ? ? 4 ? 8(a ? 3) ? 0, x1 ? x2 ? 10 ,

x1 x2 ?

1 7 (a ? 3) ? 0 ,解得 3 ? a ? . 2 2
上变动(如图所示) ,若 =λ +μ ,其中 λ ,μ ∈

16.在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E、F 分别为 AB、BC 的中点.点 P 在以 A 为 圆心,AD 为半径的圆弧

R.则 2λ ﹣μ 的取值范围是 . 【答案】[﹣1,1]. 解:建立如图所示的坐标系,则 A(0,0) ,E(1,0) ,D(0,1) ,F(1.5,0.5) , P(cosα ,sinα ) (0°≤α ≤90°) , ∵ =λ +μ ,∴(cosα ,sinα )=λ (﹣1,1)+μ (1.5,0.5) ,

∴cosα =﹣λ +1.5μ ,sinα =λ +0.5μ , ∴λ = (3sinα ﹣cosα ) ,μ = (cosα +sinα ) , ∴2λ ﹣μ =sinα ﹣cosα = sin(α ﹣45°) ∵0°≤α ≤90°, ≤sin(α ﹣45°)≤ ,

∴﹣45°≤α ﹣45°≤45°, ∴﹣

∴﹣1≤ sin(α ﹣45°)≤1∴2λ ﹣μ 的取值范围是[﹣1,1]. 故答案为:[﹣1,1].

试卷第 5 页,总 12 页

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分)在公比为 2 的等比数列 ?an ? 中, a2 与 a5 的等差中项是 9 3 . (Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)若函数 y ? a1 sin ?

?? ? x ? ? ? , ? ? ? ,的一部分图像如图所示, M ? ?1, a1 ? , N ? 3, ? a1 ? 为图像 ?4 ?

上的两点,设 ?MPN ? ? ,其中 P 与坐标原点 O 重合, 0 ? ? ? ? ,求 tan ?? ? ? ? 的值. 【答案】 (I) a1 ? 3 ; (II) - 2 ? 3 . 【解析】 (I) an 为公比为 2 的等比数列,所以 a5 ? 8a2 代入等差中项关 系式 a5 ? a2 ? 18 3 中,求出 a 2 ,从而可求得 a1 ? 3 ; (II)将 M , N 两 点的坐标代入 y ? a1 sin ?

3 ?? ? x ? ? ? 中,结合 ? ? ? 皆可求得 ? ? ? , 4 ?4 ?

由图可知 ? 为钝角,所以可以利用余弦定理来求得 ? 的余弦值(也可以用向量法来求得 ? 的余弦值) ,从 而求得 ? 的值,最后再 ? - ? 求其正切值. 试题解析: (Ⅰ) 解:由题可知 a2 ? a5 ? 18 3 ,又 a5 ? 8a2 故 a2 ? 2 3 ∴ a1 ? 3

(Ⅱ)∵点 M ?1, a1 在函数 y ? a1 sin ?

?

?

?? ? x ? ? ? 的图像上, ?4 ?

∴ sin ? ?

3 ? ? ? ? ? ? ? 1 ,又∵ ? ? ? ,∴ ? ? ? 4 ? 4 ?
2 2 2

如图,连接 MN ,在 ?MPN 中,由余弦定理得

PM ? PN ? MN cos ? ? 2 PM PN
∴ ??

?

4 ? 12 ? 28 3 ?? 又∵ 0 ? ? ? ? 2 8 3

5 ? ? ∴ ? ?? ? ? 6 12
?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ?2 ? 3 12 ?4 6?

∴ tan ?? ? ? ? ? ? tan

?

第 6 页 共 12 页

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (Ⅰ)求证:BD∥平面 FGH; (Ⅱ)若 CF⊥平面 ABC,AB⊥BC,CF=DE, ∠BAC=45° ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的 大小.

(Ⅰ)证明 法一 连接 DG,CD,设 CD∩GF=O,连接 OH, 在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G 为 AC 的中点, 可得 DF∥GC,DF=GC,所以四边形 DFCG 为平行四边形. 则 O 为 CD 的中点,又 H 为 BC 的中点, 所以 OH∥BD,又 OH?平面 FGH,BD?平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH. 法二 在三棱台 DEF-ABC 中,由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BH∥EF,BH=EF,所以四边形 BHFE 为平行四边形, 可得 BE∥HF.在△ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点,所以 GH∥AB. 又 GH∩HF=H,所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD?平面 ABED,所以 BD∥平面 FGH.

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可得 H?

2 2 ? 2 2 → → ,F(0, 2,1),故GH=? , ,0?,GF=(0, 2,1). 2 ? 2 , 2 ,0? ?2 ?

→ ? GH=0, ?n· ?x+y=0, 设 n=(x,y,z)是平面 FGH 的一个法向量,则由? 可得? → ? 2y+z=0. ? GF=0, ?n· 可得平面 FGH 的一个法向量 n=(1,-1, 2). → → 因为GB是平面 ACFD 的一个法向量,GB=( 2,0,0). → GB· n 2 1 → 所以 cos〈GB,n〉= = = . → 2 2 2 |GB|· |n| 所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60° . 19. (本小题满分 12 分)袋子 A, B 中均装有若干个大小相同的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率

1 ,从 B 中摸出一个红球的概率为 p . 3 (1)从 A 中有放回的摸球,每次摸出一个,有 3 此摸到红球即停止.
是 ①求恰好模 5 此停止的概率; ②记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. (2)若 A, B 两个袋子中的球数之比为 1:2,将 A, B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是 求 p 的值.

2 , 5

第 8 页 共 12 页

19. (1)①

8 131 13 ;②分布列见解析,数学期望为 ; (2) p ? . 81 81 30

2 试题解析: (1)①恰好摸 5 次停止的概率为 C4 ?? ? ?? ? ?

?1? ? 3?

2

? 2? ?3?

2

1 8 ? 3 81

②随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3

32 1 ? 1? 80 ? 1? 1 , P ?? ? 1? ? C3 P ?? ? 0 ? ? C ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 3 ? 3 ? 243 ? 3 ? 243
0 3

5

4

32 ? 80 ? 2 17 80 ?1? ? 1? ? , P ?? ? 3? ? 1 ? P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? 243 81 ? 3 ? ? 3 ? 243
2 3

2

3

所以,随机变量 ? 的数学期望为

131 ; 81

1 m ? 2mp 13 2 3 (2)设袋子 A 中有 m 个球,则袋子 B 中有 2 m 个球,由题意得 ? ,解得 p ? . 30 3m 5
20. (本小题满分 12 分)已知 F1 , F2 是椭圆

? 2? x2 y 2 ? 在椭圆上, ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P ? ? 1, 2 ? ? a b 2 ? ?

线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足 PM ? MF2 . (1)求椭圆的标准方程; (2) 过点 F2 作不与 x 轴重合的直线 l , 设 l 与圆 x ? y ? a ? b 相交于 A, B 两点, 与椭圆相交于 C , D 两
2 2 2 2

点,当 F1 A ? F1 B ? ?且? ? ? ,1? 时,求 ?F1CD 的面积 S 的取值范围. 3

?2 ? ? ?

【答案】 (1)

x2 4 3 4 6 ? y 2 ? 1; , ]. (2) [ 2 5 7

解析:(1)? PM ? MF2 ,则 M 为线段 PF2 的中点 ?OM是?PF 1 F2 的中线, 又 OM ? F1F2 ? PF1 ? F1F2 ,于是有 c ? 1 ,且

1 1 ? 2 ? 1 ,解得 a 2 =2 , b2 ? c 2 ? 1 2 a 2b

? 椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(2)由(1)知 F1(-1,0) ,F2(1,0) ,由题意,设直线 l 的的方程为 x=ty+1, A(x1,y1) ,B( x 2 , y 2 ),由
2 2

? x ? ty ? 1 ? 2 2 ?x ? y ? 3

得 (t ? 1) y ? 2ty ? 2 ? 0 ,则 y1 ? y2 ? ?

2t 2 , y1 y2 ? ? 2 t ?1 t ?1
2

F1 A ? F1B ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2
试卷第 9 页,总 12 页

4t 2 2 ? 2t 2 ?4? 2 ? (ty1 ? 2)(ty2 ? 2) ? y1 y2 ? (t ?1) y1 y2 ? 2t ( y1 ? y2 ) ? 4 ? ?2 ? 2 t ?1 t ?1
2

∵ F1 A ? F1 B ? [ ,1] ,

2 3

?

2 2 ? 2t 2 1 1 ? 2 ? 1 ,解得 t 2 ? [ , ] 3 t ?1 3 2

? x ? ty ? 1 ? 2 2 由 ? x2 消 x 得 (t ? 2) y ? 2ty ? 1 ? 0 ,设 C ( x3, y3 ), D( x4 , y4 ) 2 ? y ?3 ? ?2
则 S?F2CD ?

1 F1 F2 ? y3 ? y4 ? ( y3 ? y4 ) 2 ? 4 y3 y4 2

8m 8 2t 2 4 8(t 2 ? 1) 4 3 2 ? 设 t ? 1 ? m ,则 S ? ,其中 m ?[ , ] ? (? 2 ) ? 2 ? 2 2 2 1 (m ? 1) t ?2 t ?2 (t ? 2) 3 2 m? ?2 m
∵S 关于 m 在 [ , ] 上为减函数

4 3 3 2

? S ?[

4 3 4 6 4 3 4 6 , ] , ] ,即 ?F2CD 的面积的取值范围为 [ 5 7 5 7
x ? ax ? a ? 0 ? . ln x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

(1)若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的最小值;
2 (2)若 ?x1 、 ?x2 ? ? ? e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

解析: (1)因 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为减函数, 故 f ?? x? ?

ln x ? 1

? ln x ?

2

? a ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立,
1 ? 1 ? ? 1 1? 1 ? a ? ?? ? a ? ?? ? ? ? ?a, ? ? ? ln x ? ln x ? ln x 2 ? 4
2 2

又 f ?? x? ?

ln x ? 1

? ln x ?

2

1 1 1 ? ,即 x ? e2 时, f ? ? x ?max ? ? a , ln x 2 4 1 1 1 所以 ? a ? 0 ,于是 a ? ,故 a 的最小值为 . 4 4 4
故当
2 2 (2)命题“若 ?x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于“当 x ? ? ? e, e ? ? 时,

有 f ? x ?min ? f ? ? x ?max ? a ” ,
2 由(1) ,当 x ? ? ? e, e ? ? 时, f ? ? x ?max ?

1 1 ? a ,所以 f ? ? x ?max ? a ? , 4 4

第 10 页 共 12 页

2 问题等价于: “当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ? x ? min ?

1 ” . 4

①当 a ?

1 2 时,由(1) , f ? x? 在 ? ? e, e ? ? 上为减函数, 4

则 f ? x ?min ? f e

?

2

??

e2 1 1 1 ? ae2 ? ,故 a ? ? 2 ; 2 4e 2 4
2

1 ? 1 1? 1 2 ②当 a ? 时,由于 f ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ?a 在? ? e, e ? ? 上为增函数, 4 ln x 2 4 ? ?

? 2 故 f ? ? x ? 的值域为 ? f ? ? e ? , f ? e ? ,即 ? ?a,
?

? ??

?

1 ? ? a? . 4 ?

2 2 (ⅰ)若 ? a ? 0 ,即 a ? 0, f ? ? x? ? 0 在 ? ? e, e ? ? 上恒成立,故 f ? x ? 在 ? ? e, e ? ? 上为增函数, 于是,

1 f ? x?m i n ? f ? e? ? e ? ae? e? ,不合题意; 4 1 (ⅱ)若 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? ,由 f ? ? x ? 的单调性和值域知, 4

? 唯一 x0 ? ? e, e 2 ? ,使 f ? ? x0 ? ? 0 ,且满足:
2 当 x ? ? e, x0 ? 时, f ? ? x0 ? ? 0, f ? x ? 为减函数;当 x ? x0 , e 时, f ? ? x0 ? ? 0, f ? x ? 为增函数;

?

?

所以, f ? x ?min ? f ? x0 ? ?

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? ? e, e2 ? , ln x0 4

所以, a ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,与 0 ? a ? 矛盾,不合题意. 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4
1 1 ? 2. 2 4e

综上,得 a ?

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22. (本小题满分 10 分)如图, AB 是圆 O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D , DE ? AC ,交 AC 的延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线;

AF AC 2 的值. ? ,求 DF AB 5 7 【答案】 (I)证明见解析; (II) . 5
(Ⅱ)若 试题解析: (Ⅰ)连接 OD ,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC ,∴ OD ? AE 又 AE ? DE ,∴ OD ? DE ,又 OD 为半径,∴ DE 是圆 O 的切线 (Ⅱ)过 D 作 AB ? DH 于点 H ,连接 BC ,则有 ?HOD ? ?CAB ,

cos ?HOD ?

OH AC 2 ? cos ?CAB ? ? OD AB 5

试卷第 11 页,总 12 页

设 OD ? 5 x ,则 AB ? 10 x, OH ? 2 x ,∴ AH ? 7 x 由 ?AED ? ?AHD 可得 AE ? AH ? 7 x ,又由 ?AEF ? ?DOF , 可得

AF AE 7 ? ? DF DO 5

23. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 x?y 中, A 点的直角坐标为 ( 3 ? 2 cos? ,1 ? 2 sin ? ) ( ? 为 参数) .在以原点

2 ? cos(? ?

?
6

? 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标中,直线 l 的极坐标方程为

) ? m. . (m为实数)

(1)试求出动点 A 的轨迹方程(用普通方程表示) (2)设 A 点对应的轨迹为曲线 C ,若曲线 C 上存在四个点到直线 l 的距离为 1,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ; (2) m ? (0,4) . 试题解析: (1)由 ?

? x ? 3 ? 2cos ? ? ( ? 为参数)消去参数得: ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 y ? 1 ? 2sin ? ? ?

故动点 A 的普通方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ; (2)由(1)知,动点 A 的轨迹是以 ( 3,1) 为圆心,2 为半径的圆. 由 2 ? cos(? ?

?
6

) ? m 展开得: 3? cos? ? ? sin? ? m ? 0 ,

∴ l 的普方程为: 3x ? y ? m ? 0 . 要使圆上有四个点到 l 的距离为 1,则必须满足

|2?m| ? 1 ,解得 m ? (0,4) . 2

24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 2 . (Ⅰ)若不等式 f ? x ? ? m ? 1 有解,求实数 m 的最小值 M ; (Ⅱ)在(1)的条件下,若正数 a, b 满足 3a ? b ? ?M ,证明: 【答案】 (I) ?4 ; (II)证明见解析. 试题解析: (Ⅰ)因为 x ? 3 ? x ? 2 ? ? x ? 3? ? ? x ? 2 ? ? 5 所以 m ? 1 ? 5 ,解得 ?4 ? m ? 6 ,故 M ? ?4 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 3a ? b ? 4 所以

3 1 ? ? 3. b a

3 1 1 b? ? 3 1 ? 1 ? 9a ? ? ? ? 3a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? b a 4 a? ?b a? 4 ? b

? 9a b 1 ? 9a b ,当且仅当 ? 即 3a ? b ? 2 时等号成立 ? ? 2 ? ? 6 ? 3 ? ? b a 4? b a ? ?

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