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高考数学一轮复习精品课件及配套练习阶段知能检测(四)


阶段知能检测(四)

第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 1 1 1 1.(2011· 辽宁高考)i 为虚数单位, i +i3+i5+i7=( ) A.0 B.2i C.-2i D.4i 【解析】 原式=-i+i+(-i)+i=0. 【答案】 A 2.设 i,j 是不共线的单位向量,a=5i+3j,b=3i-5j,则 a⊥b 是 i⊥j 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【解析】 a· b=(5i+3j)· (3i-5j) 2 2 =15|i| -16i· j-15|j| =-16i· j. ∴a⊥b 是 i⊥j 的充要条件. 【答案】 C 3.(2011· 浙江高考)若复数 z=1+i,i 为虚数单位,则(1+z)· z= ( ) A.1+3i B.3+3i C.3-i D.3 【解析】 ∵z=1+i,∴(1+z)· z=(2+i)(1+i)=1+3i. 【答案】 A → + CD → = 0 , ( AB →- 4 . (2012· 江门模拟 ) 若四边形 ABCD 满足 AB → )· → =0,则该四边形一定是( AD AC ) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 → +CD → =0 知,AB → =DC →, 【解析】 由AB ∴四边形 ABCD 是平行四边形. → -AD → )· → =0, 又(AB AC →· → =0,即 AC⊥BD, ∴DB AC 因此四边形 ABCD 是菱形.

【答案】 B 5.(2011· 课标全国卷)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b= (3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于( ) 8 8 A.65 B.-65 16 16 C.65 D.-65 【解析】 ∵a=(4,3),2a+b=(3,18), ∴b=(3,18)-2(4,3)=(-5,12), ?-5,12? 16 a· b ?4,3?· ∴cos〈a,b〉=|a|· = =65. |b| 5×13 【答案】 C 2+i 6.(2011· 课标全国卷)复数 的共轭复数是( ) 1-2i 3 3 A.-5i B.5i C.-i D.i 2+i ?2+i??1+2i? 2+i+4i-2 【解析】 ∵ = = =i, 5 1-2i ?1-2i??1+2i? 2+i ∴ 的共轭复数为-i. 1-2i 【答案】 C 7.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,定义 a 与 b 的“向量积”:a×b 是一个向量,它的模|a×b|=|a|· |b|· sin θ,若 a=(- 3,-1),b=(1, 3),则|a×b|=( ) A. 3 B.2 C.2 3 D.4 a· b - 3- 3 3 【解析】 ∵cos θ=|a|· = =- |b| 2 ,θ∈(0,π), 2×2 1 1 ∴sin θ=2,∴|a×b|=|a|· |b|· sin θ=2×2×2=2. 【答案】 B 8.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满 → |· → |+MN →· → =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为( 足|MN |MP NP ) A.y2=8x C.y2=4x B.y2=-8x D.y2=-4x

→ =(4,0),MP → =(x+2,y),NP → =(x-2,y), 【解析】 ∵MN → |· → |+MN →· → ∴|MN |MP NP

=4· ?x+2?2+y2+4(x-2)=0. 整理,得 ?x+2?2+y2=2-x, 化简得 y2=-8x. 【答案】 B 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c=30, 则 x=________. 【解析】 由(8a-b)· c=30,得 18+3x=30,x=4. 【答案】 4 10.平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b| =________. 【解析】 ∵|a|=2,且|b|=1, ∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a· b+4b2 =4+4×2×1×cos 60° +4×12=12. ∴|a+2b|=2 3. 【答案】 2 3 11.(2011· 广东高考改编)设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 是虚数 单位,则 z=________. 2?1-i? 2 【解析】 z= = =1-i. 1+i ?1+i??1-i? 【答案】 1-i 12.|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),则向量 a 与向量 b 的夹角是 ________. 【解析】 设向量 a 与 b 的夹角为 θ,由 a⊥(a-b),得 a· (a-b)=0,即|a|2-a· b=0, 2 ∴|a||b|cos θ=|a| , |a| 2 π ∴cos θ=|b|= 2 ,故 θ=4. π 【答案】 4 → =DC → =(1,1), 1 BA → + 1 BC →= 3 13.在四边形 ABCD 中,AB →| →| →| |BA |BC |BD → ,则四边形 ABCD 的面积为________. BD

→ =DC → =(1,1)知 AB 綊 DC. 【解析】 如图所示,由AB 1 → 1 → 3 → 又 BA+ BC= BD, → → → |BA| |BC| |BD| 知四边形 ABCD 为菱形,且 AB=AD= 2, 1 → 1 → 2 又∵( · BA+ · BC) =3, → → |BA| |BC| ∴∠ABC=60° . 3 ∴S 四边形 ABCD= 2× 2× 2 = 3. 【答案】 3 14.(2012· 茂名模拟)设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量 1 π 积:a?b=(a1b1,a2b2).已知点 P(θ,sin θ),m=(2,2),n=(3,0), → =m?OP → +n(其中 O 为坐标原 点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,满足OQ 点),则 y=f(x)的最大值 A 是________. → =m?OP → +n,得 【解析】 设点 Q(x,y),由OQ → =(2θ,1sin θ)+(π,0)=(2θ+π,1sin θ), OQ 2 3 3 2 π 1 ∴x=2θ+3,且 y=2sin θ, 1 x π 消去 θ,得 y=2sin(2-6), 1 x π 1 依题意 f(x)=2sin(2-6),因此 A=2. 1 【答案】 2 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答时需写出文字说 明、证明过程和演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)设存在复数 z 同时满足下列条件: (1)复数 z 在复平面内对应点位于第二象限; (2)z· z +2iz=8+ai(a∈R). 试求 a 的取值范围. 【解】 设 z=x+yi(x,y∈R),由(1)得 x<0,y>0. 由(2)得 x2+y2+2i(x+yi)=8+ai, 即 x2+y2-2y+2xi=8+ai. 2 2 ? ?x +y -2y=8, 由复数相等,得? 解得-6≤a<0. ?2x=a. ?

因此实数 a 的取值范围是-6≤a<0. 16.(本小题满分 13 分)已知 A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α). →· → =-1,求 sin(α+π)的值; (1)若AC BC 4 → +OC → |= 13,且 α∈(0,π),求OB → 与OC → 的夹角. (2)若|OA → =(cos α-3,sin α),BC → =(cos α,sin α-3), 【解】 (1)∵AC →· → =(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, ∴AC BC 得 cos2α+sin2α-3(cos α+sin α)=-1, 2 ∴cos α+sin α=3, π 2 ∴sin(α+4)= 3 . → +OC → |= 13, (2)∵|OA ∴(3+cos α)2+sin2α=13, 1 ∴cos α=2, π 3 1 3 ∵α∈(0,π),∴α=3,sin α= 2 ,∴C(2, 2 ). →· → =3 3, ∴OB OC 2 → 与OC → 的夹角为 θ,且 θ∈[0,π]. 设OB 3 3 → → 2 OB· OC 3 则 cos θ= = 3 =2. → |· →| |OB |OC π 故 θ=6为所求角. → =(2cos x+1,cos 2x-sin x 17.(本小题满分 13 分)已知向量OP → =(cos x,-1),定义 f(x)=OP →· →. +1),OQ OQ (1)求函数 f(x)的最小正周期; →· → <-1 时,求 x 的取值范围. (2)若 x∈(0,2π),当OP OQ →· → 【解】 (1)f(x)=OP OQ =2cos2x+cos x-cos 2x+sin x-1=sin x+cos x π = 2sin(x+4), 则 f(x)的最小正周期为 T=2π.

→· → <-1,得 sin(x+π)<- 2. (2)由OP OQ 4 2 又 x∈(0,2π), 5π π 7π 3π 则 4 <x+4< 4 ,即 π<x< 2 . 3π 故 x 的取值范围是(π, 2 ). → ,OZ →分 18.(本小题满分 14 分)设 O 为坐标原点,已知向量OZ 1 2 3 2 别对应复数 z1,z2,且 z1= +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i(其中 a+5 1-a →· → 的值. a∈R),若 z +z 可以与任意实数比较大小,求OZ OZ
1 2 1 2

3 【解】 依题意 z 1+z2 为实数,由 z 1= -(10-a2)i, a+5 3 2 ∴ z 1+z2= + +[(a2-10)+(2a-5)]i 的虚部为 0, a+5 1-a ∴a2+2a-15=0, 解得 a=-5,或 a=3. 又分母不为零,∴a=3, 3 此时 z1=8+i,z2=-1+i, → =(3,1),OZ → =(-1,1), 即OZ 1 2 8 5 →· → 3 ∴OZ 1 OZ2= ×(-1)+1×1= . 8 8 19.(本小题满分 14 分)已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别 是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C=3,求△ABC 的面积. 【解】 (1)∵m∥n,∴asin A=bsin B, 由正弦定理,得 a2=b2,∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0, ∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S=2absin C=2×4×sin3= 3.

20.(本小题满分 14 分)已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使 →· → ,PM →· → ,MP →· → 成公差为非负的等差数列. NM NP PN MN (1)求点 P 的轨迹方程; → 与PN → 的夹角,求 θ 的最大值及此时点 P 的坐标. (2)若 θ 为PM 【解】 (1)设点 P 的坐标为(x,y),又 M(-1,0),N(1,0), → =-MP → =(-1-x,-y),PN → =-NP → =(1-x,-y),MN →= 则PM → =(2,0). -NM →· → =2(1-x), ∴NM NP →· → =x2+y2-1,MP →· → =2(1+x), PM PN MN 依题意得 ?2?x2+y2-1?=2?1+x?+2?1-x?, ?x2+y2=3, ? ? ? ?? ? ? ?2?1+x?-2?1-x?≥0 ?x≥0. 2 2 ∴点 P 的轨迹方程为 x +y =3(x≥0). →· → =(-1-x,-y)· (2)∵PM PN (1-x,-y) =x2+y2-1=2, → |· → |= ?-1-x?2+?-y?2· ?1-x?2+?-y?2 |PM |PN =2 4-x2. →· → PM PN 1 ∴cos θ= = 2. → → 4 - x |PM|· |PN| ∵0≤x≤ 3, 1 π ∴2≤cos θ≤1,∴0≤θ≤3. π ∴θ 的最大值为3,此时 x=0, ∴点 P 的坐标为(0,± 3).



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