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正弦定理试题及答案(必修5)


课堂巩固训练
一、选择题 1.一个三角形的内角分别为 45°与 30°,如果 45°角所对的边长是 4,则 30°角所对的边长为( A.2 6 [答案] C B.3 6 C.2 2 D.3 2 )

[解析] 设所求边长为 x,由正弦定理得, ) D.

x 4 = ,∴x=2 2 ,故选 C. sin 30? sin 45?

2.已知△ABC 中,a=1,b= 3 ,∠A=30°,则∠B=( A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 2 或 π 3 3

5 ? π或 6 6

[答案] C

[解析] 由

a b b sin A ? 2 3· sin 30?   3 = ,得 sinB= ,∴sinB= = ,∴B= 或 π . sin A sin B a 3 3 1 2


3.已知△ABC 的三个内角之比为 A:B:C=3:2:1,那么对应的三边之比 a:b:c 等于( A.3:2:1 B.

3 :2:1

C.

3 : 2 :1

D.2: 3 :1

[答案] D∴A=90°,B=60°,C=30°∴a:b:c=sinA:sinB:sinC 二、填空题 4.在△ABC 中,若 b=1,c= 3 ,∠C=

=1:

  3
2



1 =2: 3 :1. 2

2? ,则 a= 3 1 1

.

[答案]1 由正弦定理,得

3 = ,∴sinB= .∵∠C 为钝角∴∠B 必为锐角,∴∠B= 2 2? sin B sin 3

? ? ,∴∠A= ,∴a=b=1. 6 6

5.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边,若∠A=105°,∠B=45°,b=2 2 ,则 c= [答案] 2 [解析] 由已知,得∠C=180°-105°-45°=30°,∵
1

.

b c = sin B sin C

∴c=

b sin C 2 2 sin 30? 2 2 ? 2 =2. = = sin B sin 45? 2
2

三、解答题 6.在△ABC 中,已知 A=45°,B=30°,c=10,求 b. [解析] ∵A+B+C=180°,∴C=105°. ∵

b c c sin B 10 sin 30? = ,∴b= = , sin B sin C sin C sin 105 ?

又∵sin105°=sin(60°+45°)=

6? 2 3 2 1 2 × + × = ,∴b=5( 6 ? 2 ). 2 4 2 2 2

课后强化作业
一、选择题 1.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( A.a>bsinA B.a=bsinA ) C.a<bsinA

]

D.a≥bsinA[答案] D

[解析] 由正弦定理,得

a b b sin A 1 = ,∴a= ,在△ABC 中,0<sinB≤1,故 ≥1,∴a≥bsinA. sin A sin B sin B sin B


2.在△ABC 中,已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,则 sinA;sinB;sinC 等于( A.6:5:4 B.7:5:3 C.3:5:7 D.4:5:6

[答案] B[解析] 设 b+c=4x,c+a=5x,a+b=6x(x>0), 从而解出 a= ∴a:b:c=7:5:3. ∴sinA:sinB:sinC=7:5:3. 3.已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75° B.60° C.45° D.30°

7 5 3 x,b= x,c= x. 2 2 2



[答案] B[解析] 由题意,得

1 3 ×4×3sinC=3 3 , ∴sinC= ,又 0°<C<90°,∴C=60°. 2 2
)

4.不解三角形,下列判断中不正确的是 ( A.a=7,b=14,A=30°,有两解 C.a=6,b=9,A=45°,无解 [答案] A

B.a=30,b=25,A=150°,有一解

D.b=9,c=10,B=60°,有两解

[解析] 对于 A,由于 a=bsinA,故应有一解;对于 B,a>b,A=150°,故应有一解;对于 C,a<bsinA,

故无解;对于 D,csinB<b<c,故有两解. 5.△ABC 中,a=2,b= 2 ,B= A.

? 3

B.

? 4

? ,则 A 等于( ) 6 ? 3? C. 或 4 4

D.

? 2? 或 [答案] C 3 3
∵a>b,∴A>B,∴A= )

[解析] ∵

a b ? 3? 2 = ,∴sinA= , ∴A= 或 A= , sin A sin B 4 4 2

? 3? 或 ,∴选 C. 4 4

6.(2012·潍坊高二期末)在Δ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=( A.-

2 2 3

B.

2 2 3

C.-

6 3

D.

6 3
10 ? 3 2 = 3. 15 3

[答案] D

15 10 10 sin 60? [解析] 由正弦定理,得 = ∴sinB= = sin 60? sin B 15

∵a>b,A=60°,∴B 为锐角. ∴cosB= 1 - sin 2B = 1 ? ( 7.在△ABC 中,a=10,B=60°,C=45°,则 c 等于 ( A.10+ 3 B.10( 3 -1) )

6 3 2 . ) = 3 3

C.10( 3 +1)

D.10 3

[答案] B[解析] 由已知得 A=75°,sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°= c=

6? 2 , 4

a sin C 10 ? sin 45? = =10( 3 -1) . sin A sin 75?


8.已知△ABC 中,a=x,b=2,∠B=45°,若三角形有两解,则 x 的取值范围是( A.x>2 二、填空题 9.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A= B.x<2 C.2<x<2 2

D.2<x<2 3 [答案] C

? ,a= 3 ,b=1,则 c= 3

.

[答案]2[解析由正弦定理得 sinB=

b ? ? ? ?1 3 1 ·sinA= × = , 又∵b=1<a= 3 ,∴B<A= ,而 0<B<π ,∴B= ,C= , a 3 6 2 2 2 3

由勾股定理得 c= a 2 ? b 2 = 1 ? 3 =2. 10.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2.则此三角形的最小边长为 [解析] ∵A=60°,C=45°,∴B=75°, ∴最小边为 c,由正弦定理,得 .[答案] 2 3 -2

b c = , sin B sin C



c 2 6? 2 2 3 2 1 = ], 又∵sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30= × + × = , sin 75? sin 45? 2 4 2 2 2

2 2 ? sin 45 ? 2 =2 3 -2. ∴c= = sin 75 ? 6? 2 4 2?
11.△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a=

5 b,A=2B,则 cosB= 2

.[答案]

5 4

[解析] 由正弦定理,得

a sin A sin A sin 2 B 5 5 5 5 = , ∴a= b 可转化为 = . 又∵A=2B,∴ = ,∴cosB= . b sin B sin B 2 sin B 2 2 4 1 ,AC=3 6 ,求△ABC 的面积 3
.

12.在△ABC 中,已知 tanB= 3 ,cosC= [答案] 6 2 +8 3

[解析] 设在△ABC 中 AB、BC、CA 的边长分别为 c、a、b.

由 tanB= 3 ,得 B=60°,∴sinB=

1 1 3 2 2 ,cosB= . 又 cosC= ,∴sinC= 1 ? cos2 C = . 2 3 2 2
2 2 3 =8. 3 2

由正弦定理,得 c=

b sin C 3 = sin B

6?

又∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

3 2 + , 6 3

∴S△ABC=

1 1 3 2 bcsinA= ×3 6 ×8×( + )=6 2 +8 3 . 2 2 6 3

三、解答题

13.在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 及边 c.

[解析] 由正弦定理得,sinA=

a sin B 3 ? sin 45? = = b 2

3?

2 2 = 3, 2 2

∵a>b,∴A>B=45∴A 为锐角或钝角 (或 asinB<b<a) , ∴A=60°或 A=120°当 A=60°时, C=180°-45°-60°=75°, sin75°=sin(45°+30°)=

6? 2 2 3 2 1 × + × = , 2 4 2 2 2

c=

2? b sin C 2 sin 75? = = 4 sin B sin 45? 2 2
6? 2 , 4

6?

2  =

6? 2 , 2

当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,

sin15°=sin(45°-30°)=

c=

6 ? 2  b sin C 6? 2 6? 2 2? 6? 2 = 2 sin 15? = = ∴A=60°,C=75°,c= ,或 A=120°,C=15°,c= . 4 sin B 2 2 2 sin 45? 2 2

14.在△ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C 的对边,若 a=2,C=

? B 2 5 ,cos = ,求△ABC 的面积. 4 2 5

[解析] 由题意知 cos

B 2 5 = , 2 5

cosB=2cos2

B 3 -1= , 5 2

B 为锐角,
2   10 . 2 = 7 7 2 10

∴sinB=

4 , 5

sinA=sin(π -B-C) =sin(

3 a sin C 7 2 π -B)= 由正弦定理,得 c= = 5 sin A 10

2?

∴S△ABC=

1 1 10 4 8 acsinB= ×2× × = . 2 2 7 5 7

15.已知方程 x2-(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为△ABC 的两边,A、B 为 a、b 的对角,试判断 △ABC 的形状. [解析] 设方程的两根为 x1、x2,由韦达定理得 x1+x2=bcosA,x1x2=acosB,由题意得 bcosA=acosB,

由正弦定理得 2RsinBcosA=2RsinAcosB, sinAcosB-cosAsinB=0. 即 sin(A-B)=0. 在△ABC 中,∵A、B 为其内角, ∴0<A<π ,0<B<π ,-π <A-B<π . ∴A-B=0,即 A=B.∴△ABC 为等腰三角形. 16.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对应的边为 a、b、c.且 b=acosC,且△ABC 的最大边长为 12,最 小角的正弦值为

1 . (1)判断三角形的形状; (2)求△ABC 的面积. 3

[解析] (1)因为 b=acosC,所以由正弦定理得: sinB=sinAcosC, 从而 sin(A+C)=sinAcosC, 所以 sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC ;所以 cosAsinC=0.由于 sinC≠0.所以 cosA=0
[

? ,所以△ABC 为直角三角形. 3 c 1 1 (2)∵斜边 a=12.不妨设∠C 最小,则 =12,且 sinC= , ∴c=4,从而 b= a 2 ? c 2 =8 2 , ∴S△ABC= bc=16 2 . sin C 3 2
所以∠A=


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