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余江县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

余江县第二高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 如图所示为某几何体的正视图和侧视图,则该几何体体积的所有可能取值的集合是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

A.{ ,

} B.{ , ,

} C.{V| ≤V≤ }

D.{V|0<V≤ }

2. 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是( A.1 B. C. ) D.



3. 若某算法框图如图所示,则输出的结果为(

A.7

B.15

C.31

D.63

4. 设集合 A={1,2,3}, B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为(

)。

A3 B4 C5 D6

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5. 在如图 5×5 的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么 x+y+z 的值为( 1 2 0.5 1 x )

y A.1 B.2 z C.3 D.4 )

6. 定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又 f(7)=6,则 f(x)( A.在[﹣7,0]上是增函数,且最大值是 6 B.在[﹣7,0]上是增函数,且最小值是 6 C.在[﹣7,0]上是减函数,且最小值是 6 D.在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6 7. △ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为,,,已知 a ? 3 , b ?

6 , ?A ?

?
6

,则

?B ? (
A.

)111] B.

? 4

? 3? 或 4 4

C.

? 2? 或 3 3

D. )

? 3

8. 已知奇函数 f ( x ) 是 [?1,1] 上的增函数,且 f (3t ) ? f ( ? t ) ? f (0) ,则 t 的取值范围是( A、 ?t ?

? ?

1 1? ?t ? ? 6 3?

B、 ?t ?

? ?

2 4? ?t ? ? 3 3?

1 3 1? 1? ? ? 2 C、 ?t t ? ? ? D、 ?t ? ? t ? ? 6? 3? ? ? 3
) D.b<0 C.b>0

9. 若函数 y=x2+bx+3 在[0,+∞)上是单调函数,则有( A.b≥0 B.b≤0

10.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为( A. A. a ? b ? c B. B. a ? c ? b
2 2



C. C. c ? a ? b D. b ? c ? a

D. )

=0.08x+1.23

11.已知 a ? 0.21.5 , b ? 20.1, c ? 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是(

12.已知圆 C:x +y ﹣2x=1,直线 l:y=k(x﹣1)+1,则 l 与 C 的位置关系是( A.一定相离 B.一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心



二、填空题
13.i 是虚数单位,化简: = .

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14.已知平面向量 a , b 的夹角为

?

?

? ? ? c 的夹角为__________, a ? c 的最大值为

? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? , a ? b ? 6 ,向量 c ? a , c ? b 的夹角为 , c ? a ? 2 3 ,则 a 与 3 3


【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识,意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 15.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,对此图象,有如下结论: ①在区间(﹣2,1)内 f(x)是增函数; ②在区间(1,3)内 f(x)是减函数; ③在 x=2 时,f(x)取得极大值; ④在 x=3 时,f(x)取得极小值. 其中正确的是 .

16.已知函数 f(x)=sinx﹣cosx,则

=



x ì ? e ,x? 0 2 17.已知 f ( x) = í ,则不等式 f (2 - x ) > f ( x) 的解集为________. ? ? 1, x < 0

【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识,意在考查分类讨论思想和基本运算能力. 18.【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考(10 月)】在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 C:y=e 上 一点,直线 l:x+2 y+c=0 经过点 P,且与曲线 C 在 P 点处的切线垂直,则实数 c 的值为________.
x

三、解答题
19. [50, 60][60, 70][70, 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示, 其中成绩分组区间是: 80][80,90][90,100]. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分.

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20.设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c a ? 2b sin A . (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求.

21.(本小题满分 12 分)已知 F1 , F2 分别是椭圆 C : 一点,且 2 | PF 1 |,| F 1F 2 |, 2 | PF 2 | 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程;、

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P (1, ) 是椭圆上 2 a b 2

(2) 已知动直线 l 过点 F , 且与椭圆 C 交于 A、B 两点, 试问 x 轴上是否存在定点 Q , 使得 QA ? QB ? ? 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

??? ? ??? ?

7 16

第 4 页,共 17 页

22.如图,边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC= (Ⅰ)证明:AM⊥PM; (Ⅱ)求点 D 到平面 AMP 的距离.

,M 为 BC 的中点.

23.已知等差数列{an}中,a1=1,且 a2+2,a3,a4﹣2 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

第 5 页,共 17 页

24.已知数列{an}满足 a1=a,an+1= (1)求 a2,a3,a4;

(n∈N ).

*

(2)猜测数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.

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余江县第二高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:根据几何体的正视图和侧视图,得;
2 当该几何体的俯视图是边长为 1 的正方形时,它是高为 2 的四棱锥,其体积最大,为 ×1 ×2= ;

当该几何体的俯视图为一线段时,它的底面积为 0,此时不表示几何体; 所以,该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0<V≤ }. 故选:D. 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题, 解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么, 是基础题目. 2. 【答案】C 【解析】解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角面时,其面积最大 为 . . 因此可知:A,B,D 皆有可能,而 故选 C. 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为 3. 【答案】 D 【解析】解:模拟执行算法框图,可得 A=1,B=1 满足条件 A≤5,B=3,A=2 满足条件 A≤5,B=7,A=3 满足条件 A≤5,B=15,A=4 满足条件 A≤5,B=31,A=5 满足条件 A≤5,B=63,A=6 不满足条件 A≤5,退出循环,输出 B 的值为 63. 故选:D. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环 A,B 的值是解题的关键,属于基础题. 4. 【答案】B
第 7 页,共 17 页

因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为

<1,故 C 不可能.

是解题的关键.

【解析】由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4 个元素,故选 B 5. 【答案】A 【解析】解:因为每一纵列成等比数列, 所以第一列的第 3,4,5 个数分别是 , , 第三列的第 3,4,5 个数分别是 , , . 又因为每一横行成等差数列,第四行的第 1、3 个数分别为 , , 所以 y= , , . .

第 5 行的第 1、3 个数分别为 所以 z= . + =1.

所以 x+y+z= + 故选:A.

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查运算求解能力. 6. 【答案】D 【解析】解:∵函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数, ∴函数 f(x)在 x=7 时,函数取得最大值 f(7)=6, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6, 故选:D 7. 【答案】B 【解析】 试题分析:由正弦定理可得:

3 sin

?
6

?

3? 6 2 ? ,? sin B ? ,? B ? ? 0, ? ? ,? B ? 或 ,故选 B. 4 sin B 2 4

考点:1、正弦定理的应用;2、特殊角的三角函数. 8. 【答案】A 【解析】

第 8 页,共 17 页

考 点:函数的性质。 9. 【答案】A
2 【解析】解:抛物线 f(x)=x +bx+3 开口向上,

以直线 x=﹣ 为对称轴,
2 若函数 y=x +bx+3 在[0,+∞)上单调递增函数,

则﹣ ≤0,解得:b≥0, 故选:A. 【点评】本题考查二次函数的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 10.【答案】C 【解析】解:法一: 由回归直线的斜率的估计值为 1.23,可排除 D 由线性回归直线方程样本点的中心为(4,5), 将 x=4 分别代入 A、B、C,其值依次为 8.92、9.92、5,排除 A、B 法二: 因为回归直线方程一定过样本中心点, 将样本点的中心(4,5)分别代入各个选项,只有 C 满足, 故选 C 【点评】本题提供的两种方法,其实原理都是一样的,都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程.

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11.【答案】B 【解析】 试题分析:函数 y ? 0.2x 在 R 上单调递减,所以 0.2
1.5

? 0.21.3 ,且 0 ? 0.21.5 ? 0.21.3 ? 1,而 20.1 ? 1 ,所以

a ? c ? b 。故选 B。
考点:指数式比较大小。 12.【答案】C 【解析】 【分析】将圆 C 方程化为标准方程,找出圆心 C 坐标与半径 r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的 距离 d,与 r 比较大小即可得到结果. 2 2 【解答】解:圆 C 方程化为标准方程得:(x﹣1) +y =2, ∴圆心 C(1,0),半径 r= , ∵ ≥ >1, ∴圆心到直线 l 的距离 d= < =r,且圆心(1,0)不在直线 l 上,

∴直线 l 与圆相交且一定不过圆心. 故选 C

二、填空题
13.【答案】 ﹣1+2i . 【解析】解: 故答案为:﹣1+2i. 14.【答案】 【解析】 =

? , 18 ? 12 3 . 6

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15.【答案】 ③ .

【解析】解:由 y=f'(x)的图象可知, x∈(﹣3,﹣ ),f'(x)<0,函数为减函数; 所以,①在区间(﹣2,1)内 f(x)是增函数;不正确; ②在区间(1,3)内 f(x)是减函数;不正确; x=2 时,y=f'(x)=0,且在 x=2 的两侧导数值先正后负, ③在 x=2 时,f(x)取得极大值; 而,x=3 附近,导函数值为正, 所以,④在 x=3 时,f(x)取得极小值.不正确. 故答案为③. 【点评】本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题. 16.【答案】 . sin(x﹣ , ),

【解析】解:∵函数 f(x)=sinx﹣cosx= 则 = sin(﹣ . )=﹣

=﹣

故答案为:﹣

【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题. 17.【答案】 (- 2,1) 【解析】函数 f ( x ) 在 [0, +? ) 递增,当 x < 0 时, 2 - x2 > 0 ,解得 - 2 < x < 0 ;当 x ? 0 时, 2 - x2 > x ,

第 11 页,共 17 页

2 解得 0 ? x 1 ,综上所述,不等式 f (2 - x ) > f ( x) 的解集为 (- 2,1) .

18.【答案】-4-ln2

【解析】 点睛: 曲线的切线问题就是考察导数应用, 导数的含义就是该点切线的斜率, 利用这个我们可以求出点的坐标, 再根据点在线上(或点在曲线上),就可以求出对应的参数值。

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)依题意, 根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于 1 得, 10(2a+0.02+0.03+0.04)=1, 解得 a=0.005. ∴图中 a 的值 0.005. (2)这 100 名学生语文成绩的平均分为: 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73(分),

第 12 页,共 17 页

【点评】本题考查频率分布估计总体分布,解题的关键是理解频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图的性 质,且能根据所给的数据建立恰当的方程求解 20.【答案】(1) B ? 【解析】1111]

?
6

;(2) b ?

7.

(2)根据余弦定理,得

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 ,
所以 b ?

7.

考点:正弦定理与余弦定理. 21.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识,意 在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力,以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用.

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下面证明 m ?

??? ? ??? ? 5 7 时, QA ? QB ? ? 恒成立. 4 16

当直线 l 的斜率为 0 时,结论成立; 当直线 l 的斜率不为 0 时,设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

x2 ? y 2 ? 1,得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ?1 ? 0 , 2 2t 1 , y1 y2 ? ? 2 所以 ? ? 0 ,∴ y1 ? y2 ? ? 2 . t ?2 t ?2 ? x1 ? ty1 ? 1, x2 ? ty2 ? 1, 5 5 1 1 1 1 2 ∴ ( x1 ? , y1 ) ? ( x2 ? , y2 ) ? (ty1 ? )(ty2 ? ) ? y1 y2 = (t ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? = 4 4 4 4 4 16 1 1 2t 1 ?2t 2 ? 2 ? t 2 1 7 2 ?(t ? 1) 2 ? t? 2 ? ? ? ?? . 2 t ? 2 4 t ? 2 16 2(t ? 2) 16 16
由 x ? ty ? 1及

第 14 页,共 17 页

综上所述,在 x 轴上存在点 Q ( , 0) 使得 QA ? QB ? ? 22.【答案】

5 4

??? ? ??? ?

7 恒成立. 16

【解析】(Ⅰ)证明:取 CD 的中点 E,连接 PE、EM、EA ∵△PCD 为正三角形 ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= ∵平面 PCD⊥平面 ABCD ∴PE⊥平面 ABCD ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理得 EM= ,AM= ,AE=3
2 2 2 ∴EM +AM =AE ,∴∠AME=90° ∴AM⊥PM

(Ⅱ)解:设 D 点到平面 PAM 的距离为 d,连接 DM,则 VP﹣ADM=VD﹣PAM ∴ 而 在 Rt△PEM 中,由勾股定理得 PM= ∴ ∴ ∴ ,即点 D 到平面 PAM 的距离为

23.【答案】 【解析】解:(1)由 a2+2,a3,a4﹣2 成等比数列, ∴ =(a2+2)(a4﹣2),

第 15 页,共 17 页

2 (1+2d) =(3+d)(﹣1+3d),

d2﹣4d+4=0,解得:d=2, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1, 数列{an}的通项公式 an=2n﹣1; (2)bn= Sn= = = ( ﹣ ﹣ )], ),

[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ),

= ( 1﹣ = ,

数列{bn}的前 n 项和 Sn,Sn= 24.【答案】 【解析】解:(1)由 an+1= a3= =



,可得 a2= = ,

=



a4= (2)猜测 an=

=

=


* (n∈N ).

下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,左边=a1=a, 右边= ②假设当 n=k(k∈N )时猜测成立, 即 ak= 则当 n=k+1 时,ak+1= = . = = .
*

=a,猜测成立.

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故当 n=k+1 时,猜测也成立. 由①,②可知,对任意 n∈N 都有 an=
*

成立.

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