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2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第九章 平面解析几何 第五节 椭圆 Word版含解析

第五节

椭圆

A 组 基础题组
1.已知方程 A. + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( )

B.(1,+∞) C.(1,2) D.

2.(2017 黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在 x 轴上,离心率为 ,直线 x+y-4=0 与 y 轴的 交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( A. + =1 B. + =1 ) D. + =1 )

C. + =1

3.矩形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=3,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的短轴的长为( A.2 B.2 C.4 D.4

4.设椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若△ PF1F2 是直角三角形,则△ PF1F2 的面积为 ( A.3 ) B.3 或 C. D.6 或 3

5.已知椭圆 + =1(0<b<2)的左 ,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点 ,若 |BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是( A.1 B. C. D. , 且过点 P(-5,4), 则椭圆的标准方程 )

6. 已知椭圆的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 , 离心率为 为 .

7.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是 2∶ 程是 8. 椭 圆 为 + . .

,则椭圆 C 的方

=1 的 左 , 右 焦 点 分 别 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 上 , 若 |PF1|=4, 则 ∠F1PF2 的 大 小

9.已知椭圆的两焦点为 F1((1)求此椭圆的方程;

,0),F2(

,0),离心率 e= .

(2)设直线 l:y=x+m,若 l 与此椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值.

10.已知椭圆 + =1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左,右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆 于另一点 B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; (2)若 =2 , · = ,求椭圆的方程.

B 组 提升题组
11.已知椭圆 C: + =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 上的点 A 满足 AF2⊥F1F2.若点 P 是椭 圆 C 上的动点,则 A. B. · 的最大值为( C. ) D. ,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足|OP|=|OF|,且

12.如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O,F(-2 |PF|=4,则椭圆 C 的方程为( )

A. + =1

B. + =1

C. + =1

D. + =1

13.(2016 江苏,10,5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点,直线

y= 与椭圆交于 B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是

.

14.设 F1,F2 分别是椭圆 C: + =1(a>b>0)的左,右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆 C 的离心率为 .

15.(2016 云南检测)已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O,离心率等于 ,以椭圆 E 的长轴 和短轴为对角线的四边形的周长为 4 两个点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若 =3 ,求 m2 的取值范围. .直线 l:y=kx+m 与 y 轴交于点 P,与椭圆 E 相交于 A、B

答案全解全析 A 组 基础题组
1.C ∵方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 解得 故 k 的取值范围

为(1,2). 2.C 设椭圆的方程为 + =1(a>b>0),由题意知 解得 所以椭圆的方程为

+ =1. 3.D 2b=2 4.C 依 题 意 得 |AC|=5, 椭 圆 的 焦 距 2c=|AB|=4, 长 轴 长 2a=|AC|+|BC|=8, 所 以 短 轴 长 =2 =4 . ,c=1,当点 P 为短轴端点(0, )时,∠F1PF2= ,△ PF1F2 是正三角

由椭圆的方程知 a=2,b=

形 , 若 △ PF1F2 是 直 角 三 角 形 , 则 直 角 顶 点 不 可 能 是 点 P, 只 能 是 焦 点 F1( 或 F2), 此 时 |PF1|= = 5.D , = × ×2= .故选 C.

由 椭 圆 的 方 程 可 知 a=2, 由 椭 圆 的 定 义 可 知 ,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8, 所 以

|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆焦点的弦中,垂直于焦点所在坐标轴的弦最短, 则 =3.所以 b2=3,即 b= + =1 .

6.答案

解析 由题意设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).由离心率 e= 可得 a2=5c2,所以 b2=4c2,故椭 圆的方程为 7.答案 + =1,将 P(-5,4)代入可得 c2=9,故椭圆的方程为 + =1.

+ =1

解析 设椭圆 C 的方程为 + =1(a>b>0). 由题意知 解得 a2=16,b2=12.

所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8.答案 120°

解析

由 椭 圆 定 义 知 ,|PF2|=2,|F1F2|=2× =

=2

. 在 △ PF1F2 中 , 由 余 弦 定 理 , 得

cos∠F1PF2=

=- ,∴∠F1PF2=120°. , = ,所以 a=2,则 b=1,所求椭圆方程

9.解析 (1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0),由题意知 c= 为 +y2=1. (2)由

消去 y,得 5x2+8mx+4(m2-1)=0,则 Δ=64m2-4×5×4(m2-1)>0,整理,得 m2<5(*). ,x1x2= ,y1-y2=x1-x2,

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=|PQ|= 解得 m=± =2. ,满足(*),所以 m=±

. c,所

10.解析 (1)∠F1AB=90°,则△ AOF2 为等腰直角三角形,所以有 OA=OF2,即 b=c.所以 a= 以 e= = . (2)由题知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= x= ,y=- ,即 B . + =1,即 + =1,解得 a2=3c2①. ,设 B(x,y).由 =2

,得(c,-b)=2(x-c,y),解得

将 B 点坐标代入 + =1,得 又由 · =(-c,-b)·

= ,得 b2-c2=1,即 a2-2c2=1②.

由①②解得 c2=1,a2=3,从而有 b2=2. 所以椭圆的方程为 + =1.

B 组 提升题组
11.B 由椭圆方程知 c= =1,所以 F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆 C 上的点 A 满足 AF2⊥F1F2,所 = ,所以 y0=± .设 P(x1,y1),则 ≤y1≤ ,故 · =(x1+1,y1),又 的最大值为 =(0,y0),所 ,选 B.

以可设 A(1,y0),代入椭圆方程可得 以 12.B F(-2 ·

=y1y0,因为点 P 是椭圆 C 上的动点,所以-

设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),焦距为 2c,右焦点为 F',连接 PF',如图所示.因为 ,0)为 C 的左焦点,所以 c=2 .由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即 FP⊥PF'.在 Rt△ PFF' = =8.由椭圆定义,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,所

中,由勾股定理,得|PF'|= 以 a=6,a2=36,于是 b2=a2-c2=36-(2

)2=16,所以椭圆的方程为 + =1.

13.答案 解析 由已知条件易得 B ∴ = , = · =0, + =0, ,C , ,F(c,0),

由∠BFC=90°,可得 所以 c2- a2+ b2=0, 即 4c2-3a2+(a2-c2)=0, 亦即 3c2=2a2, 所以 = ,则 e= = . 14.答案

解析 如图,设 PF1 的中点为 M,连接 PF2. 因为 O 为 F1F2 的中点,所以 OM 为△ PF1F2 的中位线. 所以 OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°. 因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|= = |PF2|, ,2c=|F1F2|= |PF2|? c= ,

由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|? a= 则 e= = · = .

15.解析 (1)根据已知设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0), 由已知得 = , ∴c= a,b2=a2-c2= .

∵以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 ∴4 =2 a=4 ,∴a=2,∴b=1.

,

∴椭圆 E 的方程为 x2+ =1. (2)根据已知得 P(0,m),设 A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m), 由 得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.

由已知得 Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0, 即 k2-m2+4>0, 由一元二次方程的根与系数的关系知,x1+x2= 由 =3 得 x1=-3x2, -12 =0. ,x1x2= .

∴3(x1+x2)2+4x1x2=12 ∴ +

=0,即 m2k2+m2-k2-4=0. .

当 m2=1 时,m2k2+m2-k2-4=0 不成立,∴k2=

由题意知 k≠0,m≠0,结合 m2k2+m2-k2-4=0,知 k2-m2+4=m2k2>0, ∴ -m2+4>0,即 >0.

∴1<m2<4. ∴m2 的取值范围为(1,4).



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