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概率论与数理统计 3.2_图文

第三章 多元随机变量及其分布 §3.1 二元随机变量 §3.2 边缘分布 §3.3 随机变量的独立性 §3.4 二元随机变量函数的分布 §3.2 边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘概率密度 导入: 二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律。而单个随机变量X, Y也具有自己的概率分布,那么要问:二者之间 有什么关系呢? 这一节里,我们就来探求这个问题。 一、边缘分布函数 定义1 若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y), 记X和Y的分布函数分别为FX (x)和FY (y),则 FX ( x) ? P{X ? x} ? P{X ? x,Y ? ??} ? F ( x,??) 也称为 (X,Y) 关于 X 的边缘分布函数。 FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{X ? ??,Y ? y} ? F (??, y) 也称为 (X,Y) 关于Y 的边缘分布函数。 Remark 1 1. 边缘分布函数FX (x)和FY (y)实质分别是一维r.v. X 和Y的分布函数,它们具有一维分布函数的各种 性质。 2. 已知二维r.v. (X,Y)的联合分布函数F(x, y),可以 求出FX (x)和FY (y);但已知FX (x)和FY (y),却无法 求出F(x, y)。 由定义1即知: 若二维离散型随机变量( X,Y )的联合分布律 为: pij ? P{X ? xi ,Y ? y j }, i, j ? 1,2,? ?? ?? 则 (X,Y) 关于X 和Y 的边缘分布函数分别为: FX ( x) ? ?? P{X ? xi , Y ? y j } ? ?? pij . xi ? x j ?1 xi ? x j ?1 FY ( y ) ? ? ? P{X ? xi , Y ? y j } ? ? ? pij . i ?1 y j ? y i ?1 y j ? y ?? ?? 若二维连续型随机变量( X,Y )的联合概率密 度函数为 f(x,y),则 (X,Y) 关于X 和Y 的边缘分布 函数分别为: FX ( x) ? F ( x,??) ? ? ( ? f (u, v)dv)du. ?? y x ?? ?? FY ( y ) ? F (??, y ) ? ? ( ? f (u, v)du)dv. ?? ?? ?? 由此,单独看X和Y, 一维随机变量 二维随机变量 二维随机变量的边缘分布 二、二维离散型随机变量的边缘分布律 定义2 设二维离散型随机变量( X,Y )的联合分 布律为: pij ? P{X ? xi ,Y ? y j }, i, j ? 1,2,? 则(X,Y)关于X 的边缘分布律(边缘概率分布)为: 记为: pi? ,则 pi? ? ? pij ? P{ X ? xi }. j ?1 ?? (X,Y)关于Y 的边缘分布律(边缘概率分布)为: p? j ? P{Y ? y j } ? P{?? ? X ? ??, Y ? y j } ? ? P{X ? xi , Y ? y j } ? ? pij i ?1 i ?1 ?? ?? 边缘分布律用表格的形式表示为: Y X x1 x2 ? xi ? y1 y2 ? yj ? p11 p12 ? p1 j ? p21 p22 ? p2 j ? ? ? ? ? pi 1 pi 2 ? pij ? ? ? ? pi? ? P{ X ? xi } ? ? pij , i ? 1,2,?; j ?1 p? j ? P{Y ? y j } ? ? pij , j ? 1,2,?. i ?1 ? 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上,由此得出边缘分布这个名词(见p65表3-3) 例1 已知(X,Y)的联合分布律,求其边缘分布律。 Y X 0 1 0 16 49 12 49 1 12 49 9 49 解: Y X 0 ? ? 1 12 42 ? 6 42 12 142 012 42 ? pi? ? P{ X ? xi } 4 7 3 7 p? j ? P{Y ? y j } 4 7 3 7 1 Remark 2 联合分布律 边缘分布律 例2 一整数 N 等可能地在1, 2, 3,?,10 十个值中取 一个值. 设 D ? D( N ) 是能整除 N 的正整数的个数, F ? F ( N ) 是能整除 N 的素数的个数.试写出 D 和 F 的联合分布律, 并求边缘分布律. 解: 样本点 D F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 0 1 2 3 1 1 2 1 4 2 4 2 1 1 3 1 4 2 由此得 D 和 F 的联合分布律与边缘分 布律 : F D 0 1 2 P{ D ? i } 1 1 10 2 3 4 0 0 0 0 4 10 2 10 1 10 0 0 0 2 10 1 10 4 10 2 10 3 10 P{F ? j } 1 10 7 10 2 10 1 或将边缘分布律表示为 2 3 4 D 1 pk 1 10 4 10 2 10 3 10 0 1 2 F pk 1 10 7 10 2 10 例3 设随机变量 ? ?1 0 1 ? Xi ? ? 1 1 1 ?, i ? 1, 2 ? ? ? 4 2 4? 且满足P{X1X2=0}=1,求 (1)(X1 ,X2)的联合概率分布; (2) P{X1 <X2}; (3) P{X1 =X2}。 解:(1)由P{X1X2=0}=1可知,P{X1X2≠0}=0,即 P{X1=-1, X2=-1}=P{X1=-1, X2=1} =P{X1=1, X2=-1}=P{X1=1, X2=1}=0 依据X1与X2的边缘概


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