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山东省滨州市邹平县双语学校2014-2015学年高二上学期第一次质检数学试卷(宏志班)


2014-2015 学年山东省滨州市邹平县双语学校高二(上)第一次 质检数学试卷(宏志班)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题是真命题的为( ) A.若 ,则 x=y B.若 x2=1,则 x=1 D.若 x<y,则 x2<y2 )

C.若 x=y,则

2.命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有( A.0 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

3.已知条件 p:x≤1,条件 q:

,则¬p 是 q 的(

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.设 p 是椭圆 A.4 B.5 C.8

上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( D.10 )

)

5.抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A. B. C. D.0

6.已知△ ABC 的顶点 B,C 在椭圆

+y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 )

一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是( A. B.6 C. D.12

7.方程

的图象是双曲线,则 k 取值范围是(

)

A.k<1 B.k>2 C.k<1 或 k>2 D.1<k<2 8.下列命题中正确的是( ) 2 2 ①“若 x +y ≠0,则 x,y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若 m>0,则 x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题;

④“若 x﹣

是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题.

A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④ 9.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点, ) 若△ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( A. B. C. D.

10. 双曲线

b>0) F2, (a>0, 的两个焦点为 F1、 若 P 为其上一点, 且|PF1|=2|PF2|,

) 则双曲线离心率的取值范围为( A. (1,3) B. (1,3] C. (3,+∞)

D.[3,+∞]

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.椭圆 的焦点坐标是__________.

12.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(﹣2 圆的标准方程是__________.

,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ ABC 顶点 A(﹣4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在椭 圆 上,则 =__________.

14.命题“若 a=﹣1,则 a2=1”的否命题是__________. 15.已知命题 p:?x∈R,使 tanx=1,命题 q:x2﹣3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧?q”是假命题; ③命题“≦p∨q”是真命题; ④命题“≦p∨?q”是假命题. 其中正确的是__________.

三、解答题(共 6 个小题,满分 75 分) 16.已知命题 P:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”. (1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假,并证明你的结论.

17.已知圆 x2+y2=1,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段,求线段中点 M 的轨迹方程.

18. 已知抛物线的顶点在原点, 它的准线过双曲线

的右焦点, 而且与 x 轴垂直. 又

抛物线与此双曲线交于点

,求抛物线和双曲线的方程.

19.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点. (1)求 AB 的中点 C 到抛物线准线的距离; (2)求线段 AB 的长. |≤2;q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0) ,若¬p 是¬q 的必要不充

20. (13 分)已知 p:|1﹣

分条件,求实数 m 的取值范围. 21. (14 分)已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 ,求直线的方程.

2014-2015 学年山东省滨州市邹平县双语学校高二(上) 第一次质检数学试卷(宏志班)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.下列命题是真命题的为( ) A.若 ,则 x=y B.若 x2=1,则 x=1 D.若 x<y,则 x2<y2

C.若 x=y,则

【考点】四种命题的真假关系. 【专题】简易逻辑. 【分析】逐一判断即可. 【解答】解:A、由 得 =0,则 x=y,为真命题;

B、由 x2=1 得 x=±1,x 不一定为 1,为假命题; C、若 x=y, 不一定有意义,为假命题; D、若 x<y<0,x2>y2,为假命题; 故选 A. 【点评】本题较简单,A 显然正确,其它可不看. 2.命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有( A.0 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

【考点】四种命题的真假关系. 【专题】计算题. 【分析】 先判断原命题的真假, 再判断逆命题的真假, 然后由原命题和逆否命题是等价命题, 逆命题和否命题是等价命题来判断逆否命题和否命题的真假. 【解答】解:原命题:“若 A?B,则 A=B”是假命题, ∵原命题和逆否命题是等价命题, ∴逆否命题一定是假命题; 逆命题:“若 A=B,则 A?B”是真命题, ∵逆命题和否命题是等价命题. ∴否命题一定是真命题. 故选 B. 【点评】本题考查四种命题的真假判断,解题时要认真审题,注意原命题和逆否命题是等价 命题,逆命题和否命题是等价命题.

3.已知条件 p:x≤1,条件 q:

,则¬p 是 q 的(

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件.

【专题】计算题. 【分析】由题意条件 p:x≤1,写出其﹣p 中 x 的范围,将条件 q: 解法解出 x 的范围,然后判断﹣p 是 q 之间能否互推,从而进行判断; 【解答】解:∵条件 p:x≤1, ∴¬p:x>1; ∵条件 q: ∴ <0, , ,由分式不等式的

解得 x>1 或 x<0, ∵x>1?x>1 或 x<0,反之则不能; ∴﹣p?q,q 推不出﹣p, ∴﹣p 是 q 的充分而不必要条件, 故选 A. 【点评】此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题,解题时按部就班的求解,此 题思路很明显就是求出﹣p 和 q,各自 x 的范围.

4.设 p 是椭圆 A.4 B.5 C.8

上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( D.10

)

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a,进而求得答案. 【解答】解:由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10, 故选 D. 【点评】本题主要考查了椭圆的性质,属基础题. 5.抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A. B. C. D.0 )

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】令 M(x0,y0) ,则由抛物线的定义得, 【解答】解:∵抛物线的标准方程为 ∴ ,准线方程为 , ,即 , ,解得答案.

令 M(x0,y0) ,则由抛物线的定义得,

故选:B. 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,熟练掌握抛物线的性质,是解答的关键.

6.已知△ ABC 的顶点 B,C 在椭圆

+y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外

) 一个焦点在 BC 边上,则△ ABC 的周长是( A. B.6 C. D.12 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由椭圆的定义:椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得△ ABC 的周 长. 【解答】解:由椭圆的定义:椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a, 可得△ ABC 的周长为 4a= , 故选 C 【点评】本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等

7.方程

的图象是双曲线,则 k 取值范围是(

)

A.k<1 B.k>2 C.k<1 或 k>2 D.1<k<2 【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,轨迹双曲线的标准方程可得(2﹣k) (k﹣1)<0,求出范围即可得到答 案. 【解答】解:由题意可得:方程 所以(2﹣k) (k﹣1)<0, 解得:k<1 或 k>2, 故选 C. 【点评】 解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的标准方程, 并且结合解不等式的方法解决 问题即可. 8.下列命题中正确的是( ) 2 2 ①“若 x +y ≠0,则 x,y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若 m>0,则 x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题; ④“若 x﹣ 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题. 的图象是双曲线,

A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④ 【考点】命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;命题的否定. 【专题】综合题. 【分析】①若 x,y 全为零,则 x2+y2=0.它是真命题;②相似的多边形都是正多边形.它 是假命题;③若 x2+x﹣m=0 没有实根,则 m≤0.它是真命题;④若 x 不是无理数,则 x﹣ 不是有理数.它是真命题.

y 不全为零”的否命题是: y 全为零. ①“若 x2+y2≠0, 【解答】 解: 则 x, 若 x2+y2=0, 则 x, 它 是真命题; ②“正多边形都相似”的逆命题是:相似的多边形都是正多边形.它是假命题; ③“若 m>0,则 x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是:若 x2+x﹣m=0 没有实根,则 m≤0.它 是真命题; ④“若 x﹣ 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题是:若 x 不是无理数,则 x﹣ 不是有

理数.它是真命题. 故选 B. 【点评】本题考查命题的真假判断,解题时要熟练学制四种命题间的逆否关系. 9.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点, ) 若△ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( A. B. C. D.

【考点】椭圆的应用;椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由△ ABF2 是正三角形可知 个椭圆的离心率. 【解答】解:由题 ∴ ∴ 解之得: , (负值舍去) . , ,∴ 即 ,即 ,由此推导出这

故答案选 A. 【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题要注意公式的合理选取.

10. 双曲线

b>0) F2, (a>0, 的两个焦点为 F1、 若 P 为其上一点, 且|PF1|=2|PF2|,

) 则双曲线离心率的取值范围为( A. (1,3) B. (1,3] C. (3,+∞)

D.[3,+∞]

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等 号成立,因为可以三点一线.也可用焦半径公式确定 a 与 c 的关系. 【解答】解:设|PF1|=x,|PF2|=y,则有 解得 x=4a,y=2a, ,

∵在△ PF1F2 中,x+y>2c,即 4a+2a>2c,4a﹣2a<2c, ∴ ,

又因为当三点一线时,4a+2a=2c, 综合得离心的范围是(1,3], 故选 B. 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了关于离心率范围的确定.可以在平时的 教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.椭圆 的焦点坐标是(0,12) , (0,﹣12) .

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据椭圆的标准方程即可求出 c2,从而求出 c,并且看出该椭圆的焦点在 y 轴上, 从而便可写出焦点坐标. 【解答】解:由椭圆方程得:a2=169,b2=25; ∴c2=144; ∴c=12; 且焦点在 y 轴上; ∴焦点坐标为(0,12) , (0,﹣12) . 故答案为: (0,12) , (0,﹣12) . 【点评】考查椭圆的标准方程,根据椭圆的标准方程会判断焦点在哪个轴上,a2=b2+c2,椭 圆的焦点的概念及其表示. 12.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(﹣2 圆的标准方程是 . ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭

【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】先根据题意 a=2b,c=2 案.

并且 a2=b2+c2 求出 a,b,c 的值,代入标准方程得到答

【解答】解:已知





为所求;

故答案为: 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程.属基础题.

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ ABC 顶点 A(﹣4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在椭 圆 上,则 = .

【考点】椭圆的定义;正弦定理. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先利用椭圆的定义求得 a+c,进而由正弦定理把原式转换成边的问题,进而求得答 案. 【解答】解:利用椭圆定义得 a+c=2×5=10b=2×4=8 由正弦定理得 故答案为 【点评】 本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用. 考查了学生对椭圆的定义的灵活运 用. 14.命题“若 a=﹣1,则 a2=1”的否命题是若 a≠﹣1,则 a2≠1. 【考点】四种命题间的逆否关系. 【专题】计算题. 【分析】直接按照否命题的定义,写出命题的否命题即可. 【解答】解:一般命题的否命题,就是将命题的条件与结论都否定, 所以命题“若 a=﹣1,则 a2=1”的否命题是:“若 a≠﹣1,则 a2≠1”. 故答案为:若 a≠﹣1,则 a2≠1. 【点评】本题考查没有与否命题的关系,考查基本知识的应用. 15.已知命题 p:?x∈R,使 tanx=1,命题 q:x2﹣3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧?q”是假命题; ③命题“?p∨q”是真命题; ④命题“≦p∨?q”是假命题. 其中正确的是①②③④. 【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题. 【分析】先判断出命题 p 和 q 的真假,再结合复合命题的真假判断的“真值表”我们易得正确 答案. 【解答】解:由题得:命题 p 为真命题,命题 q 为真命题. ∴命题“p∧q”是真命题; 命题“p∧?q”是假命题; 命题“≦p∨q”是真命题; 命题“≦p∨?q”是假命题. 故答案为:①②③④. 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假,其中根据:p∧q 时,p 与 q 均为真时为真, p 与 q 存在假命题即为假;p∨q 时,p 与 q 均为假时为假,p 与 q 存在真命题即为真;是判 断复合命题真假的关键. =

三、解答题(共 6 个小题,满分 75 分) 16.已知命题 P:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”. (1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假,并证明你的结论. 【考点】四种命题;四种命题的真假关系;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 【专题】阅读型. 【分析】 (1)将原命题的条件和结论都否定后即可写出命题 P 的否命题. (2)利用二次方程根的判别式去判断命题 P 的否命题的真假,并证明. 【解答】解: (1)命题 P 的否命题为:“若 ac<0,则二次方程 ax2+bx+c=0 有实根”.… (2)命题 P 的否命题是真命题.… 证明如下:∵ac<0,∴﹣ac>0,?△ =b2﹣4ac>0,?二次方程 ax2+bx+c=0 有实根. ∴该命题是真命题.… 【点评】本题考查四种命题,命题的真假.属于常规题. 17.已知圆 x2+y2=1,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段,求线段中点 M 的轨迹方程. 【考点】轨迹方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】写出点 P 所在圆的方程,设出 M、P 的坐标,由中点坐标公式把 P 的坐标用 M 的 坐标表示,把 P 的坐标代入圆的方程后整理得线段 PP′中点 M 的轨迹方程. 【解答】解:点 P 向 y 轴作垂线段,设为 PP′. 由题意可得已知圆的方程为 x2+y2=1. 设点 M 的坐标为(x,y) ,点 P 的坐标为(x0,y0) , ∵M 是线段 PP′的中点, ∴由中点坐标公式得 2x=x0,y=y0, ∵P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上, ∴(2x)2+y2=1① 即线段中点 M 的轨迹方程为 4x2+y2=1. 【点评】本题考查了轨迹方程的求法,训练了利用代入法求曲线方程,是中档题.

18. 已知抛物线的顶点在原点, 它的准线过双曲线

的右焦点, 而且与 x 轴垂直. 又

抛物线与此双曲线交于点

,求抛物线和双曲线的方程.

【考点】双曲线的标准方程;抛物线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据题中的点在抛物线上,列式解出抛物线方程为 y2=﹣2x,从而算出双曲线右焦 点坐标为(1,0) ,可得 c2=a2+b2=1.再由点 方程,联解得到 a、b 的值,即可得到双曲线的方程. 【解答】解:由题意,设抛物线方程为 y2=﹣2px(p>0) ∵抛物线图象过点 ,∴ ,解之得 p=2. 在双曲线上建立关于 a、b 的

所以抛物线方程为 y2=﹣4x,准线方程为 x=1. ∵双曲线的右焦点经过抛物线的准线,∴双曲线右焦点坐标为(1,0) ,c=1 ∵双曲线经过点 结合 c2=a2+b2=1,联解得 ,∴ 或 a2=9,b2=﹣8(舍去)

∴双曲线方程为



综上所述,抛物线方程为 y2=﹣4x,双曲线方程为



【点评】本题给出双曲线与抛物线交于定点,已知双曲线的右焦点在抛物线的准线上,求抛 物线与双曲线的方程.着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于 中档题. 19.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点. (1)求 AB 的中点 C 到抛物线准线的距离; (2)求线段 AB 的长. 【考点】抛物线的应用;点到直线的距离公式. 【专题】计算题. 【分析】 (1)先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线 AB 的方程,然后联立 直线方程与抛物线方程可得到两根之和与两根之积进而可得到中点 C 的横坐标求出 AB 的 中点 C 到抛物线准线的距离. (2)根据(1)中所求的两根之和与两根之积结合两点间的距离公式即可得到答案. 【解答】解: (1)抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0) ,准线方程为 x=﹣1, 直线 AB 的方程为 y=x﹣1, 设点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) . 2 2 y=x 1 y =4x x 6x+1=0 将 ﹣ 代入 得 ﹣ . 则 x1+x2=6,x1?x2=1. 故中点 C 的横坐标为 3. 所以中点 C 到准线的距离为 3+1=4. (2)∵|AB|2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=(x1﹣x2)2+[(x1﹣1)+(x2﹣1)]2=2(x1﹣x2) 2 =2[(x1+x2)2﹣4x1x2]=2(36﹣4)=64 ∴|AB|=8. 【点评】 本题主要考查直线与抛物线的综合问题和两点间的距离公式. 直线与圆锥曲线的综 合问题一直都是高考的重点,要着重复习. |≤2;q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0) ,若¬p 是¬q 的必要不充

20. (13 分)已知 p:|1﹣

分条件,求实数 m 的取值范围. 【考点】必要条件;绝对值不等式的解法. 【专题】规律型.

【分析】先求出命题 p,q 的等价条件,利用¬p 是¬q 的必要不充分条件转化为 q 是 p 的必 要不充分条件,建立条件关系即可求出 m 的取值范围. 【解答】解:由| |= ,

得|x﹣4|≤6,即﹣6≤x﹣4≤6, ∴﹣2≤x≤10,即 p:﹣2≤x≤10, 由 x2+2x+1﹣m2≤0 得[x+(1﹣m)][x+(1+m)]≤0, 即 1﹣m≤x≤1+m, (m>0) , ∴q:1﹣m≤x≤1+m, (m>0) , ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件.



,且等号不能同时取,



,解得 m≥9.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,将¬p 是¬q 的必要不充分条件转化为 q 是 p 的必要不充分条件是解决本题的关键. 21. (14 分)已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 ,求直线的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题. 【分析】 (1)将直线的方程 y=x+m 与椭圆的方程 4x2+y2=1 联立,得到 5x2+2mx+m2﹣1=0, 利用△ =﹣16m2+20≥0 即可求得 m 的取值范围; (2)利用两点间的距离公式,再借助于韦达定理即可得到:两交点 AB 之间的距离 ∴|AB|= = =

=

,从而可求得 m 的值.

【解答】解: (1)把直线 y=x+m 代入椭圆方程得:4x2+(x+m)2=1 即:5x2+2mx+m2﹣1=0, △ =(2m)2﹣4×5×(m2﹣1)=﹣16m2+20≥0 解得: .

(2)设该直线与椭圆相交于两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程 5x2+2mx+m2 ﹣1=0 的两根,由韦达定理可得: ,

∴|AB|=

=

= ∴m=0. ∴直线的方程为 y=x.

=

=



【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题,难点在于弦长公式的灵活应用, 属于中档题.


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