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高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式课件苏教版必修5_图文

3.2 一元二次不等式 目标导航 预习引导 学习 目标 重点 难点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、 方程的联 系. 2.掌握一元二次不等式的解法. 3.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用问 题. 重点:一元二次不等式的解法和三个“二次”关系的理解. 难点:含参一元二次不等式的解法及恒成立问题. 目标导航 预习引导 1.一元二次不等式的概念 一般地,只含有一个未知数,并且未知数最高次数是2的不等式叫 做一元二次不等式.一般表达形式为ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0或 ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0),其中a,b,c为常数,a≠0. 预习交流1 不等式kx2+2x+1<0(k∈R,k为常数)是一元二次不等式吗? 提示:不一定,当k=0时,不等式变为2x+1<0,是一元一次不等式. 当k≠0时,是一元二次不等式. 目标导航 预习引导 2.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 设 f(x)=ax2+bx+c(a>0),判别式 Δ=b2-4ac 判别式 Δ>0 Δ=0 解不等式 有两个不 有两个相 (1)求方程 f(x)>0 或 等的实数 等的实数解 f(x)=0 f(x)<0 的 b 解 x1,x2 的解 x1=x2=2a (x1<x2) 步骤 Δ<0 没有实 数解 目标导航 预习引导 设 f(x)=ax2+bx+c(a>0),判别式 Δ=b2-4ac 判别式 Δ>0 解不 等式 f(x)> 0或 f(x)< 0的 步骤 (2)画函数 y=f(x)的示意 图 (3) 得 不等 式的 解集 Δ=0 Δ<0 x x f(x) >0 f(x) <0 {x|x>x2 或 x<x1} b ≠- , 2a x ∈R ? R {x|x1<x<x2} ? 目标导航 预习引导 预习交流2 (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)何时解集为R?何时解集为?? (2)一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)何时解集为R? > 0, 提示: (1)ax2+bx+c>0(a≠0)对一切 x∈R 都成立的条件为 < 0. ∴当 a>0 且 Δ<0 时不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R.当 a<0 且 Δ≤0 时解集为?. < 0, (2)ax2+bx+c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立的条件为 < 0. 2 ∴当 a<0 且 Δ<0 时,不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为 R. 预习交流3 不等式9-x2≤0的解集为 提示:{x|x≥3或x≤-3} . 一 二 三 一、一元二次不等式的解法 活动与探究 例1解下列不等式: (1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2-4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0. 思路分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函 数的图象写出不等式的解集. 一 二 三 解: (1)Δ=49>0,方程 2x +5x-3=0 的两根为 y=2x2+5x-3 的图象. 2 1 x1=-3,x2= ,作出函数 2 如图所示,用阴影部分描出原不等式的解集,由图可得原不等式 的解集为 -3 < < 1 2 . 一 二 三 (2)原不等式等价于 3x2-6x+2≥0. ∵Δ=12>0,解方程 3x2-6x+2=0, 得 3- 3 3+ 3 x1 = ,x2 = ,作出函数 3 3 y=3x2-6x+2 的图象,如图所示, 由图可得原不等式的解集为 ≤ 3- 3 或 3 ≥ 3+ 3 3 . 一 二 三 (3)∵Δ=0,∴方程 4x -4x+1=0 有两相等实根 集为 ≠ ,∈R . 1 2 2 作出函数 y=4x2-4x+1 的图象如图所示,由图可得原不等式的解 1 x1=x2= . 2 (4)原不等式可化为 x2-6x+10<0, ∵Δ=-4<0, ∴方程 x2-6x+10=0 无实根, ∴原不等式的解集为?. 一 二 三 迁移与应用 1.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax2+bx+c>0的解集是 . 答案:{x|x<-2或x>3} 解析:根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的图象草图, 如图所示. 由图可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}. 一 二 三 2.解下列不等式 (1) +2 +1 <0;(2) ≤2. 1- -2 +2 +2 解: (1)由 <0,得 >0,此不等式等价于(x+2)(x-1)>0, 1- -1 ∴原不等式的解集为{x|x<-2 或 x>1}. +1 -2≤0, -2 -+5 -5 左边通分并化简有 ≤0,即 ≥0, -2 -2 (2)(方法 1)移项得 (-2)(-5) ≥ 0, 它的同解不等式为 -2 ≠ 0, ∴x<2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}. 一 二 三 (方法 -5 2)原不等式可化为 ≥0, -2 -5 ≥ 0, -5 ≤ 0, ①或 ② -2 > 0 -2 < 0, 解①得 x≥5,解②得 x<2, ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}. 此不等式等价于 一 二 三 3.已知不等式 ax2+bx+2>0 的解集为 - < < 的解集. 1 1 2 3 1 2 1 2 1 3 ,求 2x2+bx+a<0 解: ∵ax2+bx+2>0 的解集为 - < < ∴- , 是方程 ax2+bx+2=0 的两实根. 由根与系数的关系得 1 2 1 - × 2 1 3 , - + =- , = , 2 = -12, 解得: = -2.


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