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2017-2018学年人教A版高中数学选修2-3课件:第二章随机变量及其分布2.4正态分布课件_图文

2.4 正态分布 1.了解正态分布的意义. 2.借助正态曲线理解正态分布的性质. 3.了解正态曲线的意义和性质. 4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率. 1 2 3 4 1.正态曲线 (1)若 φμ,σ(x)= 1 2π (-)2 - 2 e 2 ,x∈(-∞,+∞),其中实数 μ 和 σ(σ>0)为参 数,我们称 φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)随机变量落在区间(a,b]的概率为 P(a<X≤b)≈ , ()d. 1 2 3 4 2.正态分布 一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足 P(a<X≤b)= ,σ(x)dx,则称随机变量 X 服从正态分布. 正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2). 知识拓展1.参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可 以用样本均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可 以用样本标准差去估计.把μ=0,σ=1的正态分布叫做标准正态分布. 2.正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服 从正态分布.如长度测量误差,正常生产条件下各种产品的质量指 标等. 1 2 3 4 【做一做 1】 设有一正态总体,它的正态分布密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)= 别是( ) A.10 与 8 C.8 与 10 1 -(-10) e 8 8π 2 ,则这个正态总体的平均数与标准差分 B.10 与 2 D.2 与 10 (-10 )2 e- 8 解析: 由 为标准差) 答案:B 1 8π = 1 2π 2 (-) e 22 ,可知 σ=2,μ=10.(μ 为平均数,σ 1 2 3 4 3.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. (3)曲线在 x=μ 1 处达到峰值 . 2π (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)当σ一定时,曲线位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移. (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示 总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 1 2 3 4 知识拓展 曲线特点 曲线在 x 轴上方 曲线关于直线 x=μ 对称 曲线在 x=μ 处达到峰 值 1 2σ 概率体现 P(X)>0 ①P(X>μ)=P(X<μ)=2, ②P(μ-ε<X<μ)=P(μ<X<μ+ε)(其中 ε>0) 0<φμ,σ(x)≤ 1 2σ 1 曲线与 x 轴围成的 面积为 1 P(-∞<x<+∞)=1 1 2 3 4 【做一做2】 设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ≤C)=P(ξ>C),则C等于 ( ) A.0 B.σ C.-μ D.μ 解析:正态分布在x=μ对称的区间上概率相等,则C=μ. 答案:D 1 2 3 4 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7; P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3. 知识拓展正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内.而在此区 间以外取值的概率只有0.002 7,通常认为这种情况在一次试验中几 乎不可能发生. 1 2 1.如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率 剖析首先找出随机变量X服从正态分布时μ,σ的值,再利用3σ原则 求随机变量X在某一个区间上取值的概率,最后利用随机变量X在 关于X=μ对称的区间上取值的概率相等求得结果. 1 2 2.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 剖析(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. (3)注意概率值的求解转化: ①P(X<a)=1-P(X≥a); ②P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); ③若 1-(-<<+) b<μ,则 P(X<b)= . 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 正态曲线的应用 【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度 曲线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差. 分析该曲线的对称轴和最高点从图中容易看出,从而求出总体随 机变量的均值、标准差以及正态曲线的函数解析式. 题型一 题型二 题型三 题型四 解: 由图象可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值为2 π, 则 μ=20, 1 2π 1 = 2 π,解得 σ= 2.于是正态分布密度曲线的函数解析 1 2 (-20 ) e- 4 ,x∈(-∞,+∞). 1 式为 φμ,σ(x)=2 π 总体随机变量的均值是 μ=20,方差是 σ2=( 2)2=2. 反思1.要特别注意方差是标准差的平方. 2.用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式,关键是确定 参数μ与σ的值. 1 3.当x=μ时,正态分布密度曲线的函数取得最大值,即 f(μ)= , 2π 注意该式在解题中的运用. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 关于正态曲线特点的描述: ①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方; ②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴 上方; ③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个 偶函数; ④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐 渐降低; ⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定; ⑥σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”. 说法正确的是( ) A.①④⑤⑥ B.②④⑤ C.③④⑤⑥D.①⑤⑥ 题型一 题型二 题型三 题型四 解析:参照正态曲线的性质,正态曲线位于


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