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2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练22 数学思想在解题中的应用(2)


训练 22

数学思想在解题中的应用(二) 满分:75 分)

(时间:45 分钟
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2013· 咸阳模拟)函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 b 的取值范围 是 ( A.(0,2) B.(0,1) C.(0,1] D.[0,2] ).

2.某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有 ( A.504 种 B.960 种 C.1 008 种 D.1 108 种 ).

3 3.(2012· 金华模拟)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为 4 ( 5 A.3 5 B. 2 5 15 C. 2 或 3 5 5 D.3或4 ).

4.在等比数列{an}中,a1=a,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}成等差数列,则 Sn 等于 ( A.an+1-a C.na B.n(a+1) D.(a+1)n-1 ).
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

17 5.(2012· 济宁模拟)已知函数 f(x)=-sin2x+sin x+a,若 1≤f(x)≤ 4 对一切 x∈R 都成立,则参数 a 的取值范围为 ( A.3<a<4 B.3<a≤4 C.3≤a≤4 D.3≤a<4 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) a 6.(2012· 汕头二模)函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大2, ).

则 a 的值是________. 7.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1、a3、a9 成等比数列,则 值是________. x2 y2 8.(2012· 江西)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点 分别是 F1, 2.若|AF1|, 1F2|, 1B|成等比数列, F |F |F 则此椭圆的离心率为________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)(2012· 盐城模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}是首项 为 1,公比为 b 的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. x2 10.(12 分)(2012· 辽宁)如图,动圆 C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆 C2: 9 +y2=1 相交于 A、B、C、 D 四点,点 A1、A2 分别为 C2 的左、右顶点. a1+a3+a9 的 a2+a4+a10

(1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程. 11.(12 分)(2011· 新课标全国)已知函数 f(x)= 处的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; (2)如果当 x>0,且 x≠1 时,f(x)> ln x k + ,求 k 的取值范围. x-1 x aln x b + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) x+1 x

参考答案 训练 22 数学思想在解题中的应用(二)

1. [转化为 f′(x)=3x2-3b 在(0,1)内与 x 轴有两交点, B 只需 f′(0)<0 且 f′(1)

?-3b<0, >0.即? 得 0<b<1.] ?3-3b>0 2.C [①当丙在 10 月 7 日值班时共 A2A5=240 种; 2 5

1 1 ②当丙不 在 10 月 7 日值班时,若甲、乙有 1 人在 10 月 7 日值班时,共 C2C4 1 2 A4=19 2 种排法,若甲、乙不在 10 月 7 日值班时,共有 C1(C2A4+C1A2A4) 4 3 4 3 4

=576 种. 综上知,共 240+192+576=1 008 种.]
2 2 b 3 b2 c -a 9 25 3.D [当双曲线焦点在 x 轴上时,a=4,∴a2= a2 =e2-1=16,∴e2=16,

5 ∴e=4; b 4 当双曲线焦点在 y 轴上时, = , a 3
2 2 b2 c -a 16 ∴a2= a2 =e2-1= 9 ,
[来源:学_科_网]

25 5 ∴e2= 9 ,∴e=3.] 4.C [利用常数列判断 a,a,a,…,则存在等差数列 a+1,a+1,a+1,…

或通过下列运算得到:2(aq+1)=(a+1)+(aq2+1),q =1,Sn=na.] 5.C 1? 1 ? [f(x)=-sin2x+sin x+a=-?sin x-2?2+a+4. ? ?
[来源:学+科+网]

令 t=sin x,t∈[-1,1], 1 ? 1? ∴f(x)变为 g(t)=-?t-2?2+a+4,t∈[-1,1], ? ? 1 17 17 g(t)max=a+4,g(t)mi n=a-2,1≤f(x)≤ 4 对 x∈R 恒成立,即 g(t)max≤ 4 且 g(t)min≥1 恒成立,即 3≤a≤4.] 6.解析 a 3 当 a>1 时,y=ax 在[1,2]上递增,故 a2-a=2,得 a=2;当 0<a<1
[来源:学科网]

a 1 1 3 时,y=ax 在[1,2]上单调递减,故 a-a2=2,得 a=2.故 a=2或 a=2. 答案 7.解析 1 3 2或2
[来源:学科网]

由题意知,只要满足 a1、a3、a9 成等比数列的条件,{an}取何种等差

数列与所求代数式的值是 没有关系的.因此,可把抽象数列化归为具体数 列.比如,可选取数列 an=n(n∈N*),则 答案 8.解析 13 16 依题意得|F1F2|2=|AF1|· 1|,即 4c2=(a-c)· |BF (a+c)=a2-c2,整理得 a1+a3+a9 1+3+9 13 = = . a2+a4+a10 2+4+10 16

c 5 5c2=a2,得 e=a= 5 . 答案 9.解 5 5 (1)当 n=1 时,a1=S1=2;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1. ?2,n=1, 所以 an=? ?2n-1,n≥2. ?2,n=1, (2)当 b=1 时,anbn=? ?2n-1,n≥2. 此时 Tn=2+3+5+…+(2n-1)=n2+1; ?2,n=1, 当 b≠1 时,anbn=? n-1 ??2n-1?b ,n≥2. 此时 Tn=2+3b+5b2+…+(2n-1)bn-1,① 两端同时乘以 b 得,bTn=2b+3b2+5b3+…+(2n-1)bn.② ①-②得, (1-b)Tn=2+b+2b2+2b3+…+2bn-1-(2n-1)bn =2(1+b+b2+b3+…+bn-1)-(2n-1)bn-b = 2?1-bn? -(2n-1)bn -b, 1-b

2?1-bn? ?2n-1?bn b 所以 Tn= - . 2- ?1-b? 1-b 1-b 所以 Tn=?2?1-bn? ?2n-1?bn b - ,b≠1. 2- 1-b 1-b ? ?1-b? 10.解 (1)设 A(x0,y0),则矩形 ABCD 的面积 S=4|x0||y0|.

?

n2+1,b=1,

x2 x2 0 0 2 由 9 +y2=1 得 y0=1- 9 , 0 x2? 9? 9 1? 0 2? ? 0 从而 x2y2=x0?1- 9 ?=-9?x2-2?2+4. 0 0 ? ? ? 9 1 当 x2=2,y2=2时,Smax=6.从而 t= 5时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面 0 0 积为 6 . y0 (2)由 A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知直线 AA1 的方程为 y= x0+3 (x+3).① 直线 A2B 的方程为 y=
2

-y0 (x-3).② x0-3

y2 0 由①②得 y =- 2 (x2-9).③ x0-9 x2 0 又点 A(x0,y0)在椭圆 C2 上,故 y2=1- 9 .④ 0 x2 将④代入③得 9 -y2=1(x<-3,y<0). x2 2 因此点 M 的轨迹方程为 9 -y =1(x<-3,y<0). ?x+1 ? a? -ln x? ? x ? b (1)f′(x)= -x2. 2 ?x+1?

11.解

1 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为-2,且过点(1,1),故 ?f?1?=1, ? ? 1 ?f′?1?=-2, ? (2)由(1)知 f(x)= ?b=1, ? 即?a 1 ?2-b=-2. ? ln x 1 + ,所以 x+1 x

解得 a=1,b=1.

?k-1??x2-1?? 1 ? ? ln x k? +x?= ?2ln x+ ?. f(x)-?x-1 x ? ? 1-x2? ? ?k-1??x2-1? 考虑函数 h(x)=2ln x+ (x>0),则 x ?k-1??x2+1?+2x h′(x)= . x2

k?x2+1?-?x-1?2 (ⅰ)设 k≤0,由 h′(x)= 知,当 x≠1 时,h′(x)<0.而 h(1) x2 =0,故当 x∈(0,1)时,h(x)>0,可得 当 x∈(1,+ ∞)时,h(x)<0,可得 1 h(x)>0; 1-x2

1 h(x)>0. 1-x2

? ln x k? 从而当 x>0,且 x≠1 时,f(x)-?x-1+x?>0, ? ? 即 f(x)> ln x k + . x-1 x

1 ? ? (ⅱ)设 0<k<1,由于当 x∈?1,1-k?时,(k-1)(x2+1)+2x>0, ? ? 1 ? 1 ? 故 h′(x)>0.而 h(1)=0,故当 x∈?1,1-k?时,h(x)>0,可得 h(x)<0. 1-x2 ? ? 与题设矛盾. (ⅲ)设 k≥1.此时 h′(x)>0,而 h(1)=0,故当 x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可 得 1 h(x)<0.与题设矛盾.综合得 k 的取值范围为(-∞,0]. 1-x2


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