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高一数学必修二期末测试题及答案


高一数学必修二期末测试题
(总分 100 分时间 100 分钟)

班级:______________姓名:______________
一、选择题(8 小题,每小题 4 分,共 32 分)
1.如图1所示,空心圆柱体的主视图是( )

图1

(A)

(B)

(C)

(D)

2.过点 ?? 2,4? 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 () (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条

3.如图 2,已知 E、F 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC,CC1 的中点,设 ? 为 二面角 D1 ? AE ? D 的平面角,则 sin ? =()

(A)

2 3

(B)

5 3

(C)

2 3

(D)

2 2 3

图2

4.点 P ( x, y ) 是直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上的动点,点 A(2,1) ,则 AP 的长的最小

值是(

)

(A) 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 4 2

5 .一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 上的最短
2 2

路径长度是() (A)4 (B)5 )
第 1 页共 8 页(数学必修二试题)

(C) 3 2 ? 1(D) 2 6

6.下列命题中错误 的是( ..

A.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ⊥平面 ? ,平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ⊥平面 ? D.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 7.设直线过点 (0, a), 其斜率为 1,且与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切,则 a 的值为() (A) ?4 (B) ?2 (C) ?2 2 (D) ? 2

8.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次,使得点 A(0,2) 与点 B(4,0)重合.若此时 点 C (7,3) 与点 D(m, n) 重合,则 m ? n 的值为( ) (A)

31 5

(B)

32 5

(C)

33 5

(D)

34 5

二、填空题(6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
9. 在空间直角坐标系中, 已知 P(2,2,5) 、 则 z =_______. Q(5,4, z ) 两点之间的距离为 7, 10.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 容器内灌进一些水,将容器底 面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:

①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA 1 时, AE ? BF 是定值. 其中正确说法是. 11.四面体的一条棱长为 x ,其它各棱长均为 1,若把四面体的体积 V 表示成关于 x 的 函数 V ( x) ,则函数 V ( x) 的单调递减区间为. 12.已知两圆 x ? y ? 10 和 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 20 相交于 A, B 两点,则公共弦 AB
2 2 2 2

所在直线的直线方程是



13.在平面直角坐标系中,直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是.
第 2 页共 8 页(数学必修二试题)

14. 正六棱锥 P ? ABCDEF 中, G 为侧棱 PB 的中点, 则三棱锥 DGAC 与三棱锥 PGAC 的体积之比 VD ?GAC : VP ?GAC =.

三、解答题(4 大题,共 44 分)
15.(本题 10 分) 已知直线 l 经过点 P(?2,5) ,且斜率为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求与直线 l 切于点(2,2) ,圆心在直线 x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程.

16.(本题 10 分)

?ABC ? 90? , N 分别为 BB1 、 M 、 BC ? CC1 , 如图所示, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

A1C1 的中点.
(Ⅰ)求证: CB1 ? 平面ABC1 ; (Ⅱ)求证: MN // 平面ABC1 .

17.(本题 12 分)
第 3 页共 8 页(数学必修二试题)

已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 . (1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ( O 为坐标 原点),求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

18. (本题 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD, 底面 ABCD 是 ?A ? 60 、 边长为 a 的菱形, 又 PD ? 底面ABCD,
?

且 PD=CD,点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点. (1)证明:DN//平面 PMB; (2)证明:平面 PMB ? 平面 PAD; (3)求点 A 到平面 PMB 的距离.

P

N

D M A B

C

数学必修二期末测试题及答案
第 4 页共 8 页(数学必修二试题)

一、选择题(8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1C, 2C, 3B , 4C ,5A , 6D, 7B, 8D. 二、填空题(6 小题,每小题 4 分,共 24 分) ? 6 ? 9. z ? ?1或11; 10.①③④; 11. ? , 3? ?; ? 2 ?
12. x ? 3 y ? 0 ; 13. 150° ; 14. 2:1.

三、解答题(4 大题,共 44 分)
15.(本题 10 分)已知直线 l 经过点 P(?2,5) ,且斜率为 ?

3 . 4

(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求与直线 l 切于点(2,2) ,圆心在直线 x ? y ? 11 ? 0 上的圆的方程. 解析: (Ⅰ)由直线方程的点斜式,得 y ? 5 ? ? 整理,得所求直线方程为 3x ? 4 y ? 14 ? 0. (Ⅱ)过点(2,2)与 l 垂直的直线方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,
? x ? y ? 11 ? 0, 由? 得圆心为(5,6) , ?4 x ? 3 y ? 2 ? 0.

3 ( x ? 2), 4
……………4 分 ……………5 分

……………7 分

∴半径 R ? (5 ? 2)2 ? (6 ? 2)2 ? 5 , 故所求圆的方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 .

……………9 分 ………10 分

16. (本题 10 分) 如图所示, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,?ABC ? 90? ,BC ? CC1 ,

M 、 N 分别为 BB1 、 A1C1 的中点.
(Ⅰ)求证: CB1 ? 平面ABC1 ; (Ⅱ)求证: MN // 平面ABC1 .

第 5 页共 8 页(数学必修二试题)

解析: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 BB1C1C ⊥底面 ABC ,且侧面 BB1C1C ∩底面 ABC = BC , ∵∠ ABC =90° ,即 AB ? BC , ∴ AB ? 平面 BB1C1C ∵ CB1 ? 平面 BB1C1C ,∴ CB1 ? AB . ……2 分

∵ BC ? CC1 , CC1 ? BC ,∴ BCC1 B1 是正方形, ∴ CB1 ? BC1 ,∴ CB1 ? 平面ABC1 . …………… 4 分 (Ⅱ)取 AC1 的中点 F ,连 BF 、 NF . ………………5 分 在△ AA 1C1 中, N 、 F 是中点,

1 1 AA1 ,又∵ BM // AA AA1 ,∴ 1 , BM ? 2 2 NF // BM , NF ? BM ,………6 分 故四边形 BMNF 是平行四边形,∴ MN // BF ,…………8 分
∴ NF // AA 1 , NF ? 而 BF ? 面 ABC 1 , MN ? 平面 ABC 1 ,∴ MN // 面 ABC 1 ……10 分 17.(本题 12 分)已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 . (1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ( O 为坐标 原点),求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 解析:(1)方程 x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ,可化为 (x-1)2+(y-2)2=5-m, ∵此方程表示圆, ∴5-m>0,即 m<5. 2 2 ? ?x +y -2x-4y+m=0, (2)? ?x+2y-4=0, ? 消去 x 得(4-2y)2+y2-2× (4-2y)-4y+m=0, 化简得 5y2-16y+m+8=0.
2 2

第 6 页共 8 页(数学必修二试题)

?y +y = 5 , 设 M(x ,y ),N(x ,y ),则? m+8 ?y y = 5 . ②
1 2 1 1 2 2 1 2

16



由 OM⊥ON 得 y1y2+x1x2=0, 即 y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0, ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0. 将①②两式代入上式得 m+8 16 8 16-8× +5× =0,解之得 m= . 5 5 5 8 2 (3)由 m= ,代入 5y -16y+m+8=0, 5 12 4 化简整理得 25y2-80y+48=0,解得 y1= ,y2= . 5 5 4 12? 4 12 ?12 4? ∴x1=4-2y1=- ,x2=4-2y2= . ∴M ? ?-5, 5 ?, N ? 5 ,5?, 5 5 4 8? ∴ MN 的中点 C 的坐标为? ?5,5?. 12 4?2 ?4 12?2 8 5 又|MN|= ? ? 5 +5? +?5- 5 ? = 5 , 4 5 ∴所求圆的半径为 . 5 4?2 ? 8?2 16 ∴所求圆的方程为? ?x-5? +?y-5? = 5 . 18. (本题 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD, 底面 ABCD 是 ?A ? 60 、 边长为 a 的菱形,
?

又 PD ? 底面ABCD,且 PD=CD,点 M、N 分别是棱 AD、PC 的中点. (1)证明:DN//平面 PMB; (2)证明:平面 PMB ? 平面 PAD; (3)求点 A 到平面 PMB 的距离. 解析: (1)证明:取 PB 中点 Q,连结 MQ、NQ,因为 M、N 分别是棱 AD、PC 中点,所以 QN//BC//MD,且 QN=MD,于是 DN//MQ.
P

N

D M A B

C

? ? MQ ? 平面PMB? ? DN // 平面PMB . DN ? 平面PMB ? ? DN // MQ
…………………4 分

(2)

PD ? 平面ABCD ? ? ? PD ? MB MB ? 平面ABCD?
第 7 页共 8 页(数学必修二试题)

又因为底面 ABCD 是 ?A ? 60? ,边长为 a 的菱形,且 M 为 AD 中点, 所以 MB ? AD .又 所以 MB ? 平面PAD .

MB ? 平面PAD ? ? ? 平面PMB ? 平面PAD. ………………8 分 MB ? 平面PMB?
(3)因为 M 是 AD 中点,所以点 A 与 D 到平面 PMB 等距离. 过点 D 作 DH ? PM 于 H, 由 (2) 平面 PMB ? 平面 PAD, 所以 DH ? 平面PMB . 故 DH 是点 D 到平面 PMB 的距离.

a ?a 5 5 2 a .………12 分 DH ? ? a. 所以点 A 到平面 PMB 的距离为 5 5 5 a 2

第 8 页共 8 页(数学必修二试题)


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