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2012—2013年度第一学期高三数学文科期末试卷


2012—2013 年度第一学期高三数学文科期末试卷
一选择题(每个 5 分共 12 题 60 分) 1、 log 2 9 ? log3 4 ? ( ) A.

1 4

B. ?

C. ?

D. D. 10?

1 2

2、正方体的边长为 2,则其外接球的面积为( ) 12? 8? 4? A. B. C. 3、双曲线 A.

2x y ? ? ?2 则其焦点坐标为( ) 9 8 B. C. ? 0, ?3? ? ?5,0? ? ?3,0?
1 B. 5 1 C. 4

2

2

D.

? 0, ?5?
( )

4、四张卡片上面分别标有数字 1、2、3、3 则由这四张卡片组成的四位数中,偶数的概率是

1 D. 3 a 1 11 ? a13 ?( ) 5、已知各项均为正数的等比数列中, 3a1 , a3 , 2 a2 成等差数列,则 a8 ? a10 2
A. -1 或 3 B. 27 C. 3 D. 1 或 27 )

1 A. 6

6、设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 向量 m ? ( 3sin A,sin B), n ? (cos B, 3 cos A) 若 m ? n ? 1 ? cos( A ? B) 则 C=( A、

? 6

B、

? 3

C、

2? 3

D、

5? 6

7、已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形, 俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于

2 3 4 2 (C) 3
(A)

(B)

2 3 3 3 (D) 3

3

正视图

1
侧视图

8、 设x, y ? 0, A、16

1 9 ? ? 1, 则x ? y的最小值为 ( x y
B、12 C、20

) D、24

俯视图

9、设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,有以下四个命题:

? // ? ? ? ? ?? ??m? ? ? ? ? // ? (2) m // ? ? ? // ? ? m ??? m // n ? (3) ? ? ? ? ? (4) ? ? m // ? ,其中,假命题是 m // ? ? n ???
(1) A、 (1) (2) B、 (2) (4) C、 (1) (3) D、 (2) (3) ) 10、在 ?ABC 中, AD 为 BC 边上的中线, AC ? 2 AB ? 2 AD ? 4 ,则 BD ? ( A. 3 B. 2 11、设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论: ① C. 6 D. 3

c c > a b

;② a < b

c

c

; ③ logb (a ? c) ? loga (b ? c) , ( ) C.② ③ D.①②③

其中所有的正确结论的序号是 A.① B.① ②

12、设奇函数 f ( x ) 的定义域为R,最小正周期 T ? 3 ,若 f (1) ? 1, f (2) ? A. ?1 ? a ?

2 3

B. a ? ?1

C. a ? ?1或a ?

2 3

2a ? 3 ,则 a 的取值范围是 a ?1 2 D. a ? 3

二、填空题(本题共 4 小题每题 5 分共 20 分) 13、设 i 是虚数单位,复数 z1 ? 1 ? i , z 2 ? t ? 2i (t ? R ) ,若 z1 ? z 2 是实数,则 t ? _______. ( z 2为z2的共轭复数 ) 14、执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值 为 16 ,图中判断框内 ? 处应填的数为 15、过直线 x ? y ? 4 2 ? 0 ,上点 P 作圆 x ? y ? 4 的两条切线, 若两条切线的夹角是 60 ? ,则点 P 的坐标是__________。
2 2

开始

a = 1,b = 1

a? ?




16、点 P 是曲线 y = x - ln x 上任意一点,则点 P 到 直线 y = x - 2 的距离的最小值是

2

b = 2b
a = a+ 1

输出 b

结束

三、解答题(本题要求解答时写出必要的文字说明共 70 分)
17、 (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55 , a2 ? a7 ? 16 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列

?an ? 和数列 ?bn ? 满足等式: a ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn (n ? N * ) , n 2 3 n
2 2 2 2

求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

18、 (本小题满分 12 分已知集合 A ={-2,0,2}, B ={-1,1}. (Ⅰ)若 M={ ( x, y ) | x ? A , y ? B },用列举法表示集合 M ;

? x ? y ? 2 ≥ 0, ? (Ⅱ)在(Ⅰ)中的集合 M 内,随机取出一个元素 ( x, y ) ,求以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域 D:? x ? y ? 2 ≤ 0, 内的概率. ? y ≥ ?1 ?

19、 (本小题满分 12 分如图, PDCE 为矩形, ABCD 为梯形,平面 PDCE ^ 平面 ABCD , ? BAD

? ADC

90 ,

1 AB = AD = CD = a , PD = 2 (Ⅰ)求证: AC // 平面 MDE ;
(Ⅱ)求三棱锥 D-BME 的体积

2a , M 为 PA 中点。
P E

M D

C

A
2 2

B

20、 (本小题满分 12 分 P 是圆 x ? y ? 1上的一个动点,过点 P 作 PQ ? x 轴于点 Q ,设 OM ? OP ? OQ (1)求点 M 的轨迹方程 y (2)求向量 OP 和 OM 夹角最大时的余弦值和 P 点的坐标

P

O

Q

x

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2 . (Ⅰ)若 a ? ?1 ,令函数 g ( x) ? 2 x ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 (?1, 2) 上的极大值、极小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,求实数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E , D ,连接 EC, CD . (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ?

1 3

1 , ⊙ O 的半径为 3 ,求 OA 的长. 2

E O D

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ?

A

C

B

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,定点 A(0,? 3) , F1 , F2 是圆 ? y ? 3 sin ?

锥曲线 C 的左,右焦点. (Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线

AF2 的直线 l 的极坐标方程;
(Ⅱ)在(I)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E , F 两点,求弦 EF 的长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ) ?x ? R ,使 f ( x ) ? t ?
2

11 t ,求实数 t 的取值范围. 2

2012——2013 年度第一学期高三数学期末答案(文)
一、选择题 1-——5 BADCB 6——10 CDABC 二、填空题 13、2 三、解答题 17、 (本小题满分 12 分) 解:17、解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d (? 0) , 由 a2 ? a7 ? 16 ,得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 易得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ?1(n ? N * ) 备注:也可以由 a2 ? a7 ? a3 ? a6 得 ? (2)令 cn ? ①----------------2 分 ②----------------4 分 ----------------5 分 14、 3 15、 2 2, 2 2 (2, 2) 11——12 DA 16、 2

?

?

?a3 ? a6 ? a2 ? a7 ? 16 ? a3 ? 5 ?a1 ? 1 ,由 ? ,得到 ? a3a6 ? 55 ?d ? 2 ? ?a6 ? 11
cn , an?1 ? c1 ? c2 ?

bn ,则有 an ? c1 ? c2 ? 2n

cn?1 (n ? N * , n ? 2)
bn ? 2, 2n

?an ? an?1 ? cn ,由(1)得? an ? an?1 ? 2 ,故 cn ? 2(n ? N * , n ? 2) ,即
而 a1 ? 1 ,所以可得 bn ? ? 于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3

?2 , n ? 1 . n ?1 ?2 , n ? 2

------------------------ 8 分

? bn ? 2 ? 23 ? 24 ?

? 2n?1

------------------------10 分

=2?2 ?2 ?2 ?
2 3 4

? 2n?1 ?4 =

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6, 即Sn ? 2n? 2 ? 6 .-----12 分 2 ?1
?????6 分

18、 (本小题满分 12 分) (Ⅰ)M ={(-2, -1),(-2, 1),(0, -1),(0, 1),(2, -1),(2, 1)}. (Ⅱ)记“以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内”为事件 A. 集合 M 中共有 6 个元素,即基本事件总数为 6,区域 D 含有集合 M 中的元素 4 个, 所以 P ( A) ?

4 2 ? . 6 3
2 . ???????????12 分 3

故以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内的概率为 19.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ) 证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN , ?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中 点 ∴ MN // AC …………2 分 …………5 分

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE (Ⅱ)

点D到平面BME的距离为RT?ADP边AP上的高 在RT ?ADP中AD ? a, PD ? 2a所以AP上的高为 ?BME的面积为 a ? 2a 6a ? 3 3a
……………12 分

3 3a 2 所以三棱锥D ? BME的体积为 4 1 3 3a 2 6a 2a 3 V? ? ? ? 3 4 3 4
20(本小题满分 12 分)解:

(1)设 P( x , y ) , M ( x, y ) ,则 OP ? ( x , y ) , OQ ? ( x ,0) , OM ? OP ? OQ ? (2x , y )

1 ? ?x ? 2x x2 ?x ? x 2 2 2 ?? ?? 2 , x ? y ? 1,? ? y ? 1 4 ?y?y ? ? y ?y
(2)设向量 OP 与 OM 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

……………………5 分

2 x2 ? y2 ( x2 ? 1)2 OP ? OM ? ? 3x 2 ? 1 | OP | ? | OM | 4 x2 ? y 2
……………………8 分

1 (t ? 2)2 1 4 2 2 令 t ? 3x ? 1 ,则 cos ? ? ? t? ?4 ? 3 t 3 t 3
2

当且仅当 t ? 2 时,即 P 点坐标为 (?

3 6 ,? ) 时,等号成立。 3 3
…………………………………12 分

? OP 与 OM 夹角最大时余弦值
21. (本小题满分 12 分)

2 2 3

解:(Ⅰ) g ( x) ? 2 x ? ( x ? x ? x ? 2) ? ? x ? x ? x ? 2 ,所以 g ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 1
3 2 3 2 2

由 g ?( x) ? 0 得 x ? ? 或 x ? 1 ………………………………………2 分

1 3

x
g ?( x) g ( x)

1 (??, ? ) 3

?

1 3

1 ( ? ,1) 3

1

(1, ??)

?
? 1 3

0

?

0
?1

?

59 27

所以函数 g ( x) 在 x ? ? 处取得极小值 ?

59 ;在 x ? 1 处取得极大值 ?1 ……………6 分 27 a 3

2 (Ⅱ) 因为 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 的对称轴为 x ? ?

(1)若 ?

a 1 1 ? ? 即 a ? 1 时,要使函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,则有 ? ? 4a 2 ? 12 ? 0 ,解得: 3 3 3

? 3 ? a ? 3 ,所以 ? 3 ? a ? 1 ;………………………8 分
(2)若 ?

a 1 1 ? ? 即 a ? 1 时,要使函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,则有 3 3 3

1 1 1 f (? ) ? 3 ? (? ) 2 ? 2a ? (? ) ? 1 ? 0 ,解得: a ? 2 ,所以 1 ? a ? 2 ;…………10 分 3 3 3
综上,实数 a 的取值范围为 ? 3 ? a ? 2 22. (本小题满分 10 分) 证明: (1)如图,连接 OC,? OA ? OB, CA ? CB,? OC ? AB E O D
? ?

………………………………………12 分

? OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线.-------------3 分
( 2) ED 是直径,? ?ECD ? 90 ,? ?E ? ?EDC ? 90
?

A

C

B

又 ?BCD ? ?OCD ? 90 , ?OCD ? ?ODC,? ?BCD ? ?E, 又?CBD ? ?EBC ,

? ?BCD ∽ ?BEC ,?

BC BD ? ? BC 2 ? BD ? BE ,-----------5 分 BE BC

CD 1 ? , EC 2 BD CD 1 ?BCD ∽ ?BEC , ? ? -----------------------7 分 BC EC 2 tan ?CED ?
设 BD ? x, 则BC ? 2 x, ? BC ? BD ? BE ? (2x) ? x( x ? 6) ? BD ? 2 --------9 分
2 2

? OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 ------------------------10 分
23. (本小题满分 10 分) 解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?

所以普通方程为 C :

x2 y2 ? ? 1 ----------------------------------------------2 分 4 3

A(0,? 3), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3, l : y ? 3( x ? 1)

? ? 直线 l 极坐标方程为: ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ? ) ? 3 ---5 分 3
x2 y2 ? ? ?1 ? 5x 2 ? 8x ? 0 , (2) ? 4 3 ? y ? 3 ( x ? 1)
MN ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
24. (本小题满分 10 分)

16 ---------------------------------------------------10 分 5

1 ? ? ? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? 解: (1) f ( x ) ? ?3 x ? 1,? ? x ? 2 ,----------------------------------------------------------2 分 2 ? x ? 3 , x?2 ? ? ? 1 当 x ? ? ,? x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2 1 当 ? ? x ? 2,3 x ? 1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2
当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2 综上所述

?x | x ? 1或x ? ?5?

----------------------5 分

(2)易得 f ( x ) min ? ? 则只需 f ( x) min

5 11 2 ,若 ?x ? R , f ( x ) ? t ? t 恒成立, 2 2 5 11 1 ? ? ? t 2 ? t ? 2t 2 ? 11t ? 5 ? 0 ? ? t ? 5 , 2 2 2

综上所述

1 ? t ? 5 ------------------------------10 分 2



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