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甘肃省武威第十八中学高二数学上学期期末模拟试题文

甘肃省武威第十八中学 2017-2018 学年高二数学上学期期末模拟试

题文

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)

1. 已知条件 p : | x ?1|? 2 ,条件 q : x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,则 p 是 q 的 ( )

A.充分必要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

2. 已知命题 p:? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是

()

A. ?p:? x ? R,使 tan x ? 1

B. ?p:? x ? R,使 tan x ? 1

C. ?p:? x ? R,使 tan x ? 1

D. ?p:? x ? R,使 tan x ? 1

3. 已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

()

A. 2

B. 3

C. 5

D. 7

4. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( )

A.4

B.6

C.8

D.12

5.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨

迹为( )

A.圆

B.椭圆 C.双曲线

D.抛物线

6. 已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于(

) ∴∴∴。,、

A.23

B.

3 3

C.

2 3

1 D.3∴∴∴。,、

7.若抛物线 y2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( )

A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

8.直线 l:ax-y+b=0,圆 M:x2+y2-2ax+2by=0,则 l 与 M 在同一坐标系中的图形可

能是(

) ∴∴∴。,、

1

9.曲线 x2 ? y2 ? 1(m ? 6) 与曲线 x2 ? y2 ? 1(5 ? m ? 9) 的( )

10 ? m 6 ? m

5?m 9?m

A.焦距相等

B.离心率相等

C.焦点相同

D.准线相同 ∴∴∴。,、

10.已知实数 4, m, 9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 x2 ? y2 ? 1的离心率为( ) m

A. 30 6

B. 7

C. 30 或 7 D. 5 或 7

6

6

11.

已知

F1



F2

分别为

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一

点,若 PF1 2 的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) ∴∴∴。,、 PF2

A. (1, 2]

B. (1,3]

C. [2, 3]

D.[3, ??)

12.若点

O

和点

F

x2 y2 分别为椭圆 4 + 3 =1

的中心和左焦点,点

P

为椭圆上的任意一点,则→OP·→FP

的最大值为( ) ∴∴∴。,、

A.2

B.3 C.6

D.8

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 抛物线 y2 ? 6x 的准线方程为_____。

14. 已知正方形 ABCD,则以 A, B 为焦点,且过 C, D 两点的椭圆的离心率为 ___

_______。

15.若曲线 x2 ? y2 ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是



4? k 1?k

16. 如图,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正

四棱锥形实心装饰块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经

过正四棱锥的顶点 P。如果将容器倒置,水面也恰好过点

P 。有下列三个命题:

A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

2

P P

B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P

C.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满;

其中正确的序号是:

(请将所有正确的序号都写上)。

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本题满分 10 分)

已知双曲线与椭圆 x2 ? y2 ? 1 有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率 36 49

之比为 3 ,求双曲线的方程. 7

18.(本小题满分 12 分)已知点 P(x, y) 在圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1上运动.
(1)求 y ? 1 的最大值与最小值;(2)求 2x ? y 的最大值 x?2
与最小值.

19. (本题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AC ? 3, AB ? 5, BC ? 4, AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中
点.

(1)求证: AC ? BC1;

(2)求证: AC1 / / 平面 CDB1 . 20.(本题满分 12 分)已知抛物线 C : y2 ? 2 px ( p ? 0) 过点 A(1, ? 2) 。
(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线 l ,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且
直线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. ∴∴∴。,、 5

21.(本题满分 12 分)

已知椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点为 A(0,

1) ,离心率为

3

2 ,过点 B(0, 2

? 2) 及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,

D F 两点,右焦点设为 .

2

∴∴∴。,、

(1)求椭圆的方程;

(2)求 ?CDF2 的面积.

22.(本题满分 12 分) 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点 M (1,0) 、 N(0,?2) ,

点 P 满足 OP ? ?OM ? ?ON ,其中 ? 、 ? ? R ,且 ? ? 2? ? 1

(1)求点 P 的轨迹方程;

(2)设点

P

的轨迹与椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 交于两点 A,B,且以 AB 为直径的

圆过原点 O,求证: 1 ? 1 为定值; a2 b2

4

5

高二数学答案(文科)

一、 选择题 BCDAD ACBAC BC

填空题 13、x ? ? 3 错误!未找到引用源。;14, 2 ?1;15、(??, ?4) (1, ??) 错误!
二、
2
未找到引用源。;16、BC ∴∴∴。,、

三、 解答题

x2 y2

13

17. 解析:椭圆36+49=1 的焦点为(0,±

13),离心率为 e1=

7

. ∴∴∴。,、

13

由题意可知双曲线的焦点为(0,±

13),离心率 e 2=

3

,所以双曲线的实轴长为 6. ∴∴∴。,、

y2 x2 所以双曲线的方程为 9 - 4 =1.

y ?1 ? k 18. 解:(1)设 x ? 2 ,则 k 表示点 P(x, y) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与

圆相切时, k 取得最大值与最小值.由

2k

k?? 3

y ?1

? 1 ,解得

3 ,∴ x ? 2 的最大值为

k2 ?1

3

?3

3 ,最小值为 3 .

∴∴∴。,、

(2)设 2x ? y ? m ,则 m 表示直线 2x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切

1? m

时, m 取得最大值与最小值.由

? 1,解得 m ? 1 ?

5 ,∴ 2x ? y 的最大值为

5

1? 5 ,最小值为1? 5 . ∴∴∴。,、

19. (1)∵三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC. 又∵CC1⊥底面 ABC,∴CC1⊥AC. ∵CC1∩BC=C,∴AC⊥平面 BCC1B1, 又 B1C? 平面 BCC1B1,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE. ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE∥AC1. ∵DE? 平面 CDB1,AC1?平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1. 20. 解(1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.
6

(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t.

由?????yy= 2=-4x2x+t,

得 y2+2y-2t=0. ∴∴∴。,、

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ =4+8t≥0,解得 t≥-12.

5 |t| 1

另一方面,由直线 OA 到 l 的距离 d= 5 可得

= 5

,解得 t=±1.

5

∴∴∴。,、

因为-1?[-12,+∞),1∈[-12,+∞),

所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

21. 解(1)易得椭圆方程为x22+y2=1.

??y=-2x-2

(2)∵F1(-1,0),∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2 由???x22+y2=1

得 9x2+16x+6=0. ∴∴∴。,、

∵Δ =162-4×9×6=40>0,所以直线与椭圆有两个公共点,

??x1+x2=-196,

? 设为 C(x1,y1),D(x2,y2),则

2

∴∴∴。,、

??x1·x2=3,

∴|CD|=

1+(-2)2|x1-x2|=



(x +x ) -4x x = 2

1

2

12

∴∴∴。,、



(-196)2-4×23=190

2, ∴∴∴。,、

45

1

4

又点 F2 到直线 BF1 的距离 d=

5

,故 S△CDF2=2|CD|·d=9

10. ∴∴∴。,、

22. 解:(1)设 P(x, y) ,则 (x, y) ? ?(1,0) ? ?(0,?2) ,∴ ? ? x ,? ? ? y ,∴ x ? y ? 1 2

点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 1.

(2)设交点 A,B 的坐标为 (x1, y1 ) , (x2 , y2 ) ,由于以 AB 为直径的圆过原点 O,则

?x ? y ? 1

OA ? OB ,∴ x1x2

? y1 y2

? 0 ,即 2x1x2

?

( x1

?

x2

)

?

1

?

0

.由

? ?

x

2

?? a2

?

y2 b2

得:
?1

(a 2

? b2)x2

? 2a2 x ? a2

?a 2b 2

?

0 ,∴ x1

?

x2

?

2a 2 a2 ? b2

, x1 x2

?

a2 ? a2b2 a2 ? b2

2(a 2 ? a 2b 2 ) ? 2a 2 ? 1 ? 0 ,整理得 1 ? 1 ? 2 ,所以, 1 ? 1 为定值.

a2 ? b2

a2 ? b2

a2 b2

a2 b2

7

8



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