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【优化指导】高考数学总复习 4.1角的概念及任意角的三角函数课件 人教版_图文

第一讲 角的概念及任意角的三角函数 考点 弧度制; 三角函 任意角; 数的有 终边相同 关概念 的角;象 限角 考纲要求 能进行弧度 与角度的互 化;理解三 角函数的定 义;会推导 并应用诱导 公式 考查角度 判断三角函数的 符号;用诱导公 式化简求值等; 已知角的终边上 一点的坐标,求 角的三角函数值 一、角的概念 1.角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到 另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角的始边; 旋转终止时的射线叫做角的终边;射线的端点叫做角的顶点. 2.角的分类 按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角;按照顺时针方 向旋转形成的角叫做负角;如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个零角. 3.终边相同的角的集合 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个 {β|β=k·360°+α,k∈Z} .即任何一个与角α终 集合S= 边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和. 相等的角终边一定相同,但终边相同时角却不一定相 等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍. 4.象限角和轴线角 在直角坐标系中研究和讨论角,要使角的顶点与坐标原 点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.此时,角的终边在 第几象限,我们就说这个角是第几象限角;如果角的终边与 坐标轴重合,就说这个角不属于任何象限,称之为轴线角或 象限界角. 角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在y轴的非正 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 {x|x = k·360° - 90° , k∈Z},也可以表示为{x|x=k·360°+270°,k∈Z}. 5.象限角的分类 象限角 集合表示 {α| k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z } {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°, k∈Z} {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°, k∈Z} {α|270°+k·360°<α<360°+k·360°, k∈Z} 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 二、弧度制 1.角度制 1 规定周角的 为 1 度的角,这种用度作单位来衡量角 360 的大小的制度叫做角度制.角度制的单位是“° ”(写在数值 的右上角),读作度. 2.弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,这 种用弧度来度量角的大小的制度叫做弧度制.弧度的单位符 号是“rad”,读作弧度(用弧度制表示角时单位rad常常省略不 写). 角的概念推广之后,无论是用角度制还是用弧度制来表 示,都能在角的集合与实数的集合之间建立一个一一对应关 系.每一个角都有唯一的实数和它对应;反过来,每一个实 数,也都有唯一的角和它对应. 3.角度与弧度的互化公式 角度化成弧度: 360° = 2π rad π ,180° = π rad,1° = 180 rad≈0.017 45 rad; 弧度化成角度: 2π rad=360° , π rad=180° , 180° 1 rad= π ≈57.30° . 在表示角的同一个表达式中,角度制和弧度制两种制度 不能混用,如与 30° 角终边相同的角不能表示为{α|α=k· 360° π +6,k∈Z}或{α|α=2kπ+30° ,k∈Z}. 4.常用特殊角的互化 角度 弧度 0° 15° 30° 45° 0 60° 75° 90° 105° π 3 π 12 π 6 π 4 5π 12 π 2 7π 12 角度 120° 135° 150° 165° 180° 270° 360° 弧度 2π 3 3π 4 5π 6 11π 12 π 3π 2 2π 5.扇形的弧长与面积公式 扇形的弧长公式:l=|α|r; 1 2 1 扇形的面积公式:S=2lr= 2|α|r . 三、任意角的三角函数 设 α 是一个任意角,α 的终边上任意一点 P(x,y)与原点 x y 的距离是 r(r= x2+y2>0),则 sin α= r ,cos α= r ,tan α y = x 称为角 α 的正弦、余弦、正切,它们都可以看成是从一 个角的集合到一个比值的集合的映射,所以都是以角为自变 量,以比值为函数值的函数,这样的函数称为三角函数. 上述三个比值不随点P在终边上的位置改变而改变; 三角函数在各个象限内的符号: 在三角函数中,角和三角函数值的对应关系是多对一, 即给定一个角,它的各个三角函数值是唯一确定的(不存在的 情况除外);反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和 它对应,如:α=0时,sin α=0,但当sin α=0时,α=kπ, k∈Z. 四、单位圆中的三角函数线 设角 α 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 P( 如图 ) , 则图中的有向线段 MP , OM , AT 的数量分别等于角 α 的正 弦、余弦、正切的值,这些有向线段叫做角α的正弦线、余弦 线、正切线. 单位圆中的三角函数线实质是三角函数的一种几何定 义,它和三角函数的坐标定义相辅相成,体现了数形结合的 思想. 要特别注意三角函数线的方向,即其数量取值的正 负.当有向线段的方向与 x 轴、y 轴的正方向相同时值为正; 当有向线段的方向与 x 轴、y 轴的正方向相反时值为负;而正 切线的一个端点是单位圆与x轴的正半轴的交点,另一个端点 是从单位圆与 x轴的正半轴的交点所作的圆的切线与角 α的终 边或其反向延长线的交点. 1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针转过的角的弧度数 是( ) π A. 3 π C.- 3 π B. 6 π D.- 6 解析:将分针拨快 10 分钟,应按顺时针方向旋转,则 10 π 角为负角,转角的弧度数为-60×2π=-3,故选 C. 答案:C α 2.已知 α 为第三象限的角,则2所在的象限是( A.第一或第二象限 C.第一或第三


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